Was sind die Chancen? So funktioniert die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine statistische Funktion, die alle möglichen Werte und Wahrscheinlichkeiten beschreibt, dass a zufällige Variable in einem bestimmten Bereich nehmen kann. Dieser Bereich wird zwischen den minimal und maximal möglichen Werten begrenzt, aber genau dort, wo die möglicher Wert wird wahrscheinlich auf der Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgetragen hängt von einer Anzahl von ab Faktoren. Zu diesen Faktoren gehören der Mittelwert der Verteilung (Durchschnitt), Standardabweichung, Schiefe, und kurtosis.

Wie Wahrscheinlichkeitsverteilungen funktionieren

Die vielleicht gebräuchlichste Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Normalverteilung oder "Glockenkurve,", obwohl es mehrere Distributionen gibt, die häufig verwendet werden. Typischerweise diktiert der Datenerzeugungsprozess eines Phänomens dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dieser Vorgang wird Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion genannt.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen können auch verwendet werden, um kumulative Verteilungsfunktionen (CDFs) zu erstellen, die die Eintrittswahrscheinlichkeiten kumulativ aufsummieren und immer bei Null beginnen und bei 100% enden.

Akademiker, Finanzanalysten und Fondsmanager gleichermaßen können die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer bestimmten Aktie bestimmen, um die möglichen erwarteten Renditen zu bewerten, die die Aktie in der Zukunft erzielen könnte. Die Renditehistorie der Aktie, die aus jedem Zeitintervall gemessen werden kann, wird wahrscheinlich nur aus einem Bruchteil der Aktienrenditen bestehen, was die Analyse unterzieht Stichprobenfehler. Von Erhöhung der Stichprobengröße, dieser Fehler kann drastisch reduziert werden.

Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Es gibt viele verschiedene Klassifikationen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Einige von ihnen umfassen die Normalverteilung, Chi-Quadrat Verteilung, Binomialverteilung, und Poisson-Verteilung. Die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen dienen unterschiedlichen Zwecken und repräsentieren unterschiedliche Datengenerierungsprozesse. Die Binomialverteilung wertet beispielsweise die Wahrscheinlichkeit aus, dass ein Ereignis während einer gegebenen Anzahl von Versuchen mehrmals auftritt, und gibt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in jedem Versuch an. und kann erzeugt werden, indem man verfolgt, wie viele Freiwürfe ein Basketballspieler in einem Spiel macht, wobei 1 = ein Korb und 0 = ein Fehlschuss ist. Ein weiteres typisches Beispiel wäre die Verwendung einer fairen Münze und die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass diese Münze in 10 geraden Flips Kopf gewinnt. Eine Binomialverteilung ist diskret, im Gegensatz zu kontinuierlich, da nur 1 oder 0 eine gültige Antwort ist.

Die am häufigsten verwendete Verteilung ist die Normalverteilung, die häufig in den Bereichen Finanzen, Investitionen, Wissenschaft und Technik verwendet wird. Die Normalverteilung ist vollständig durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung charakterisiert, dh die Verteilung ist nicht verzerrt und weist eine Kurtosis auf. Dadurch ist die Verteilung symmetrisch und wird beim Auftragen als glockenförmige Kurve dargestellt. Eine Normalverteilung wird durch einen Mittelwert (Durchschnitt) von Null und eine Standardabweichung von 1,0 mit einer Schiefe von Null und einer Kurtosis = 3 definiert. Bei einer Normalverteilung liegen etwa 68 % der gesammelten Daten innerhalb von +/- einer Standardabweichung vom Mittelwert; ca. 95 % innerhalb von +/- zwei Standardabweichungen; und 99,7% innerhalb von drei Standardabweichungen. Im Gegensatz zur Binomialverteilung ist die Normalverteilung stetig, was bedeutet, dass alle möglichen Werte dargestellt werden (im Gegensatz zu nur 0 und 1 ohne dazwischen).

Beim Investieren verwendete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Aktienrenditen werden oft als normalverteilt angenommen, aber in Wirklichkeit zeigen sie eine Kurtosis mit große negative und positive Renditen scheinen häufiger aufzutreten, als von einem normalen vorhergesagt würde Verteilung. Da die Aktienkurse durch Null begrenzt sind, aber ein potenziell unbegrenztes Aufwärtspotenzial bieten, wurde die Verteilung der Aktienrenditen beschrieben als log-normal. Dies zeigt sich in einem Diagramm der Aktienrenditen, wobei die Ausläufer der Verteilung eine größere Dicke aufweisen.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden auch im Risikomanagement häufig verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu bewerten und Höhe der Verluste, die einem Anlageportfolio aufgrund einer Verteilung der historischen kehrt zurück. Eine beliebte Risikomanagement-Kennzahl, die beim Investieren verwendet wird, ist der Value-at-Risk (VaR). VaR gibt den minimalen Verlust an, der bei gegebener Wahrscheinlichkeit und Zeitrahmen für ein Portfolio auftreten kann. Alternativ kann ein Anleger mithilfe des VaR eine Verlustwahrscheinlichkeit für eine Verlusthöhe und einen Zeitrahmen erhalten. Missbrauch und übermäßige Abhängigkeit von VaR wurde als eine der Hauptursachen der Finanzkrise von 2008 angesehen.

Beispiel einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Als einfaches Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung betrachten wir die Zahl, die beim Würfeln mit zwei standardmäßigen sechsseitigen Würfeln beobachtet wird. Jeder Würfel hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, eine einzelne Zahl von eins bis sechs zu würfeln, aber die Summe von zwei Würfeln bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Abbildung unten dargestellt ist. Sieben ist das häufigste Ergebnis (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3). Zwei und zwölf sind dagegen weitaus weniger wahrscheinlich (1+1 und 6+6).