Hypothesentests im Finanzwesen: Konzept und Beispiele

Ihre Anlageberater schlägt Ihnen einen monatlichen Einkommensinvestitionsplan vor, der jeden Monat eine variable Rendite verspricht. Sie werden nur investieren, wenn Sie ein durchschnittliches monatliches Einkommen von 180 USD haben. Ihr Berater sagt Ihnen auch, dass das Programm in den letzten 300 Monaten Anlagerenditen mit einem durchschnittlichen Wert von 190 USD und a. erzielt hat Standardabweichung von 75 Dollar. Sollten Sie in dieses System investieren? Hypothesentest hilft bei solchen Entscheidungen.

Was ist ein Hypothesentest?

Hypothesen- oder Signifikanztests sind ein mathematisches Modell zum Testen einer Behauptung, Idee oder Hypothese über einen interessierenden Parameter in einem bestimmten Populationssatz unter Verwendung von in einem Stichprobensatz gemessenen Daten. An ausgewählten Proben werden Berechnungen durchgeführt, um entscheidendere Informationen über die Merkmale der gesamten Bevölkerung, die eine systematische Überprüfung von Behauptungen oder Vorstellungen über die gesamten Datensatz.

Hier ein einfaches Beispiel: Ein Schulleiter gibt an, dass Schüler in ihrer Schule durchschnittlich 7 von 10 in Prüfungen abschneiden. Um diese „Hypothese“ zu testen, erfassen wir die Noten von beispielsweise 30 Schülern (Stichprobe) aus der gesamten Schülerpopulation der Schule (z. B. 300) und berechnen den Mittelwert dieser Stichprobe. Wir können dann den (berechneten) Stichprobenmittelwert mit dem (gemeldeten) Grundgesamtheitsmittelwert vergleichen und versuchen, die Hypothese zu bestätigen.

Um ein anderes Beispiel zu nehmen, die jährliche Rendite eines bestimmten Investmentfonds beträgt 8%. Angenommen, der Investmentfonds besteht seit 20 Jahren. Wir nehmen eine Zufallsstichprobe der Jahresrenditen des Investmentfonds für beispielsweise fünf Jahre (Stichprobe) und berechnen deren Mittelwert. Anschließend vergleichen wir den (berechneten) Stichprobenmittelwert mit dem (behaupteten) Grundgesamtheitsmittelwert, um die Hypothese zu überprüfen.

Es gibt verschiedene Methoden zum Testen von Hypothesen, aber es sind die gleichen vier grundlegenden Schritte erforderlich:

Schritt 1: Definieren Sie die Hypothese

Normalerweise wird der gemeldete Wert (oder die Schadenstatistik) als Hypothese angegeben und als wahr angenommen. Für die obigen Beispiele lautet die Hypothese:

• Beispiel A: Schüler in der Schule erzielen in Prüfungen durchschnittlich 7 von 10 Punkten.
• Beispiel B: Die jährliche Rendite des Investmentfonds beträgt 8% pro Jahr.

Diese angegebene Beschreibung stellt die „Nullhypothese (H₀)" und ist vermutet um wahr zu sein – die Art und Weise, wie ein Angeklagter in einem Geschworenenprozess für unschuldig gehalten wird, bis seine Schuld durch die vor Gericht vorgelegten Beweise bewiesen ist. Ähnlich, Hypothesentest beginnt mit der Angabe und Annahme eines „Nullhypothese“, und dann bestimmt der Prozess, ob die Annahme wahrscheinlich wahr oder falsch ist.

Der wichtige Punkt ist, dass wir die Nullhypothese testen, da Zweifel an ihrer Gültigkeit bestehen. Alle Informationen, die gegen die angegebene Nullhypothese verstoßen, werden im erfasst Alternative Hypothese (H₁). Für die obigen Beispiele lautet die Alternativhypothese:

• Die Schüler erreichen einen Durchschnitt, der nicht gleich 7.
• Die jährliche Rendite des Investmentfonds beträgt nicht gleich 8% pro Jahr.

Mit anderen Worten, die Alternativhypothese ist ein direkter Widerspruch zur Nullhypothese.

Wie in einem Prozess gehen die Geschworenen von der Unschuld des Angeklagten aus (Nullhypothese). Der Staatsanwalt muss das Gegenteil beweisen (Alternativhypothese). Ebenso muss der Forscher beweisen, dass die Nullhypothese entweder wahr oder falsch ist. Kann der Staatsanwalt die Alternativhypothese nicht beweisen, muss das Geschworenengericht den Angeklagten gehen lassen (Entscheidung auf Grundlage der Nullhypothese). In ähnlicher Weise wird angenommen, dass die Nullhypothese wahr ist, wenn der Forscher eine alternative Hypothese nicht beweisen kann (oder einfach nichts tut).

Schritt 2: Legen Sie die Kriterien fest

Die Entscheidungskriterien müssen sich an bestimmten Parametern von Datensätzen orientieren und hier kommt der Bezug zur Normalverteilung ins Spiel.

Gemäß der Standard-Statistik-Postulat Über Stichprobenverteilung, „Für jede Stichprobengröße n ist die Stichprobenverteilung von X̅ normal, wenn die Grundgesamtheit X, aus der die Stichprobe gezogen wird, normalverteilt ist.“ Daher sind die Wahrscheinlichkeiten von alle anderen möglichen Stichprobenmittelwerte die man auswählen könnte, sind normalverteilt.

Bestimmen Sie beispielsweise, ob die durchschnittliche Tagesrendite einer an XYZ notierten Aktie Aktienmarkt, um den Neujahrstag ist größer als 2%.

h₀: Nullhypothese: Mittelwert = 2%

h₁: Alternativhypothese: Mittelwert > 2% (das wollen wir beweisen)

Nehmen Sie die Stichprobe (z. B. von 50 Aktien von insgesamt 500) und berechnen Sie den Mittelwert der Stichprobe.

Bei einer Normalverteilung sind 95 % der Werte innerhalb liegen zwei Standardabweichungen des Mittelwerts der Grundgesamtheit. Daher erlaubt uns diese Normalverteilung und zentrale Grenzwertannahme für den Stichprobendatensatz, 5% als Signifikanzniveau festzulegen. Dies ist sinnvoll, da unter dieser Annahme mit weniger als 5 % (100-95) Ausreißer auftreten, die über zwei Standardabweichungen vom Mittelwert der Grundgesamtheit liegen. Je nach Art der Datensätze können andere Signifikanzniveaus von 1 %, 5 % oder 10 % verwendet werden. Für Finanzberechnungen (einschließlich Behavioral Finance) ist 5 % die allgemein akzeptierte Grenze. Wenn wir Berechnungen finden, die über die üblichen zwei Standardabweichungen hinausgehen, haben wir einen starken Fall von Ausreißern, um die Nullhypothese abzulehnen.

Grafisch wird es wie folgt dargestellt:

Wenn im obigen Beispiel der Mittelwert der Stichprobe viel größer als 2% ist (sagen wir 3,5%), dann verwerfen wir die Nullhypothese. Die Alternativhypothese (Mittelwert >2%) wird akzeptiert, die bestätigt, dass die durchschnittliche Tagesrendite der Aktien tatsächlich über 2% liegt.

Wenn der Mittelwert der Stichprobe jedoch wahrscheinlich nicht signifikant größer als 2% ist (und beispielsweise bei etwa 2,2% bleibt), können wir die Nullhypothese NICHT ablehnen. Die Herausforderung besteht darin, wie in solchen Nahbereichsfällen zu entscheiden ist. Um aus ausgewählten Stichproben und Ergebnissen eine Aussage treffen zu können, ist ein Signifikanzniveau zu bestimmen, das einen Rückschluss auf die Nullhypothese ermöglicht. Die Alternativhypothese ermöglicht die Festlegung des Signifikanzniveaus oder des Konzepts des „kritischen Werts“ für die Entscheidung über solche Nahbereichsfälle.

Laut Lehrbuch Standarddefinition, „Ein kritischer Wert ist ein Cutoff-Wert, der die Grenzen definiert, jenseits derer weniger als 5 % der Stichprobenmittelwerte erhalten werden können, wenn die Nullhypothese wahr ist. Über einen kritischen Wert hinaus erhaltene Stichprobenmittelwerte führen zu einer Entscheidung, die Nullhypothese abzulehnen."Wenn wir im obigen Beispiel den kritischen Wert mit 2,1% definiert haben und der berechnete Mittelwert 2,2% beträgt, verwerfen wir die Nullhypothese. Ein kritischer Wert setzt eine klare Abgrenzung zwischen Akzeptanz oder Ablehnung.

Schritt 3: Berechnen Sie die Statistik

In diesem Schritt wird die erforderliche Zahl (s) berechnet, die als Teststatistik bekannt ist (wie Mittelwert, Z-Score, p-Wert, usw.), für die ausgewählte Probe. (Wir werden darauf in einem späteren Abschnitt eingehen.)

Schritt 4: Ein Fazit ziehen

Entscheiden Sie sich mit den berechneten Werten für die Nullhypothese. Wenn die Wahrscheinlichkeit, einen Stichprobenmittelwert zu erhalten, weniger als 5 % beträgt, lautet die Schlussfolgerung: ablehnen die Nullhypothese. Andernfalls, annehmen und behalte die Nullhypothese bei.

Arten von Fehlern

Im Hinblick auf die korrekte Anwendbarkeit auf die Gesamtbevölkerung kann es bei der stichprobenbasierten Entscheidungsfindung vier mögliche Ergebnisse geben:

Entscheidung zu behalten	Entscheidung zur Ablehnung
Gilt für die gesamte Bevölkerung	Richtig	Falsch (Fehler TYP 1 - a)
Gilt nicht für die gesamte Bevölkerung	Falsch (Fehler TYP 2 - b)	Richtig

Die „richtigen“ Fälle sind die Fälle, in denen die Entscheidungen über die Stichproben wirklich auf die gesamte Bevölkerung anwendbar sind. Die Fehlerfälle treten auf, wenn man sich aufgrund der Stichprobenrechnungen für die Beibehaltung (oder Ablehnung) der Nullhypothese entscheidet, diese Entscheidung jedoch nicht wirklich für die gesamte Grundgesamtheit gilt. Diese Fälle bilden Typ 1 (Alpha) und Typ 2 (Beta) Fehler, wie in der obigen Tabelle angegeben.

Die Auswahl des richtigen kritischen Wertes ermöglicht es, die Alphafehler vom Typ 1 zu eliminieren oder auf einen akzeptablen Bereich zu begrenzen.

Alpha bezeichnet den Fehler auf der Signifikanzebene und wird vom Forscher bestimmt. Um das standardmäßige Signifikanz- oder Konfidenzniveau von 5 % für Wahrscheinlichkeitsberechnungen beizubehalten, wird dieses bei 5 % beibehalten.

Gemäß den geltenden Entscheidungsmaßstäben und Definitionen:

• „Dieses (Alpha-)Kriterium wird normalerweise auf 0,05 (a = 0,05) gesetzt und wir vergleichen das Alpha-Niveau mit dem p-Wert. Wenn die Wahrscheinlichkeit von a Fehler Typ I kleiner als 5 % ist (p < 0,05), entscheiden wir uns, die Nullhypothese abzulehnen; andernfalls behalten wir die Nullhypothese bei.“
• Der Fachausdruck für diese Wahrscheinlichkeit ist der p-Wert. Sie ist definiert als „die Wahrscheinlichkeit, ein Stichprobenergebnis zu erhalten, wenn der in der Nullhypothese angegebene Wert wahr ist. Der p-Wert zum Erhalten eines Stichprobenergebnisses wird mit dem Signifikanzniveau verglichen."
• Ein Typ-II-Fehler oder Beta-Fehler ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese fälschlicherweise beizubehalten, obwohl sie tatsächlich nicht auf die gesamte Grundgesamtheit anwendbar ist.

Einige weitere Beispiele werden diese und andere Berechnungen demonstrieren.

Beispiel 1

Es gibt ein monatliches Einkommensanlagesystem, das variable monatliche Renditen verspricht. Ein Anleger wird nur dann investieren, wenn ihm ein durchschnittliches monatliches Einkommen von 180 USD zugesichert wird. Der Anleger hat eine Stichprobe von 300-Monats-Renditen mit einem Mittelwert von 190 USD und einer Standardabweichung von 75 USD. Sollten sie in dieses System investieren?

Stellen wir das Problem auf. Der Anleger wird in das Programm investieren, wenn ihm die vom Anleger gewünschte durchschnittliche Rendite von 180 USD zugesichert ist.

h₀: Nullhypothese: Mittelwert = 180.

h₁: Alternativhypothese: Mittelwert > 180.

Methode 1: Kritischer Wertansatz

Identifizieren Sie einen kritischen Wert X_L für den Stichprobenmittelwert, der groß genug ist, um die Nullhypothese abzulehnen – d. h. die Nullhypothese abzulehnen, wenn der Stichprobenmittelwert >= kritischer Wert X_L

P (identifiziere einen Alpha-Fehler vom Typ I) = P (H ablehnen₀ da H₀ ist wahr),

Dies würde erreicht, wenn der Stichprobenmittelwert die kritischen Grenzen überschreitet.

= P (vorausgesetzt, H₀ ist wahr) = Alpha.

Grafisch sieht es wie folgt aus:

Unter Annahme von Alpha = 0,05 (d. h. 5% Signifikanzniveau), Z_0.05 = 1,645 (aus der Z-Tabelle oder Normalverteilungstabelle)

= > X_L = 180 +1,645*(75/Quadrat (300)) = 187,12.

Da der Stichprobenmittelwert (190) größer als der kritische Wert (187.12) ist, wird die Nullhypothese verworfen und die Die Schlussfolgerung ist, dass die durchschnittliche monatliche Rendite tatsächlich mehr als 180 USD beträgt, sodass der Anleger eine Investition in diese Option in Betracht ziehen kann planen.

Methode 2: Verwenden von standardisierten Teststatistiken

Man kann auch standardisierte Werte z verwenden.

Teststatistik, Z = (Stichprobenmittel – Bevölkerungsmittelwert) / (std-dev / sqrt (Nr. von Proben).

Dann wird der Ablehnungsbereich wie folgt:

Z= (190 – 180) / (75 / Quadrat (300)) = 2,309.

Unsere Ablehnungsregion auf einem Signifikanzniveau von 5% ist Z> Z_0.05 = 1.645.

Da Z= 2,309 größer als 1,645 ist, kann die Nullhypothese mit einer ähnlichen Schlussfolgerung wie oben erwähnt verworfen werden.

Methode 3: P-Wert-Berechnung

Unser Ziel ist es, P zu identifizieren (Stichprobenmittelwert >= 190, wenn Mittelwert = 180).

= P (Z >= (190-180) / (75 / Quadrat (300))

= P (Z >= 2,309) = 0,0084 = 0,84%

Die folgende Tabelle zur Ableitung von p-Wert-Berechnungen kommt zu dem Schluss, dass es bestätigte Beweise dafür gibt, dass die durchschnittliche monatliche Rendite über 180 liegt:

p-Wert	Inferenz
weniger als 1%	Bestätigte Beweise unterstützende Alternativhypothese
zwischen 1% und 5%	Starker Beweis unterstützende Alternativhypothese
zwischen 5 % und 10 %	Schwache Beweise unterstützende Alternativhypothese
mehr als 10 %	Kein Beweis unterstützende Alternativhypothese

Beispiel 2

Ein neuer Börsenmakler (XYZ) behauptet, dass seine Maklergebühren niedriger sind als die Ihres aktuellen Börsenmaklers (ABC). Von einem unabhängigen Forschungsunternehmen verfügbare Daten zeigen, dass der Mittelwert und die Standardabweichung aller ABC-Broker-Kunden 18 USD bzw. 6 USD betragen.

Eine Stichprobe von 100 Kunden von ABC wird gezogen und die Maklergebühren werden mit den neuen Sätzen des XYZ-Brokers berechnet. Wenn der Mittelwert der Stichprobe 18,75 USD beträgt und std-dev gleich ist (6 USD), können dann Rückschlüsse auf den Unterschied in der durchschnittlichen Maklerrechnung zwischen ABC- und XYZ-Broker gezogen werden?

h₀: Nullhypothese: Mittelwert = 18.

h₁: Alternativhypothese: mean <> 18 (Das wollen wir beweisen.)

Ablehnungsbereich: Z <= - Z_2.5 und Z>=Z_2.5 (unter Annahme eines Signifikanzniveaus von 5%, jeweils 2,5 auf beiden Seiten aufteilen).

Z = (Stichprobenmittel – Mittelwert) / (std-dev / sqrt (Nr. von Proben))

= (18,75 – 18) / (6/(Quadrat (100)) = 1,25.

Dieser berechnete Z-Wert liegt zwischen den beiden Grenzen definiert durch:

- Z_2.5 = -1,96 und Z_2.5 = 1.96.

Dies kommt zu dem Schluss, dass es keine ausreichenden Beweise dafür gibt, dass es einen Unterschied zwischen den Tarifen Ihres bestehenden Brokers und des neuen Brokers gibt.

Alternativ: Der p-Wert = P(Z< -1.25)+P(Z >1.25)

= 2 * 0,1056 = 0,2112 = 21,12 %, was größer als 0,05 oder 5 % ist, was zu derselben Schlussfolgerung führt.

Grafisch wird es wie folgt dargestellt:

Kritikpunkte an der hypothetischen Testmethode:

• Eine auf Annahmen basierende statistische Methode
• Fehleranfällig wie im Detail in Bezug auf Alpha- und Beta-Fehler beschrieben
• Die Interpretation des p-Wertes kann mehrdeutig sein und zu verwirrenden Ergebnissen führen

Die Quintessenz

Hypothesentests ermöglichen es einem mathematischen Modell, eine Behauptung oder Idee mit einem bestimmten Konfidenzniveau zu validieren. Wie die meisten statistischen Werkzeuge und Modelle unterliegt es jedoch einigen Einschränkungen. Der Einsatz dieses Modells für finanzielle Entscheidungen ist kritisch zu hinterfragen und dabei alle Abhängigkeiten zu berücksichtigen. Alternative Methoden wie Bayes'sche Inferenz sind ebenfalls eine Untersuchung für eine ähnliche Analyse wert.