Arbitrage-Pricing-Theorie: Es ist nicht nur ausgefallene Mathematik

Arbitrage-Pricing-Theorie (APT) ist eine Alternative zu den Capital Asset Pricing Model (CAPM) zur Erklärung von Renditen von Vermögenswerten oder Portfolios. Es wurde von Ökonomen entwickelt Stephen Ross in den 1970ern. Im Laufe der Jahre hat die Arbitrage-Preistheorie aufgrund ihrer relativ einfacheren Annahmen an Popularität gewonnen. Die Arbitrage-Pricing-Theorie ist jedoch in der Praxis viel schwieriger anzuwenden, da sie viele Daten und komplexe statistische Analysen erfordert.

Sehen wir uns an, was Arbitrage-Pricing-Theorie ist und wie wir sie in die Praxis umsetzen können.

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Arbitrage-Pricing-Theorie

Was ist APT?

APT ist ein technisches Multi-Faktor-Modell, das auf der Beziehung zwischen der erwarteten Rendite eines finanziellen Vermögenswerts und seinem Risiko basiert. Das Modell soll die Sensitivität der Renditen des Vermögenswerts gegenüber Veränderungen in bestimmten makroökonomisch Variablen. Anleger und Finanzanalysten können diese Ergebnisse verwenden, um die Preisbildung von Wertpapieren zu unterstützen.

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Der Arbitrage-Pricing-Theorie liegt die Überzeugung zugrunde, dass fehlbewertete Wertpapiere kurzfristige, risikofreie Gewinnchancen darstellen können. APT unterscheidet sich von den konventionelleren CAPM, die nur einen einzigen Faktor verwendet. Wie CAPM geht der APT jedoch davon aus, dass ein Faktormodell die Korrelation zwischen Risiko und Rendite effektiv beschreiben kann.

Drei zugrunde liegende Annahmen von APT

Im Gegensatz zum Capital Asset Pricing Model geht die Arbitrage-Pricing-Theorie nicht davon aus, dass Anleger effiziente Portfolios halten.

Die Theorie folgt jedoch drei zugrunde liegenden Annahmen:

Die Renditen von Vermögenswerten werden durch systematische Faktoren erklärt.
Anleger können ein Portfolio von Vermögenswerten aufbauen, bei denen spezifisches Risiko wird durch Diversifikation eliminiert.
Bei gut diversifizierten Portfolios besteht keine Arbitragemöglichkeit. Sollten Arbitragemöglichkeiten bestehen, werden diese von den Anlegern verwertet. (So hat die Theorie ihren Namen bekommen.)

Annahmen des Capital Asset Pricing Modells

Wir sehen, dass dies lockerere Annahmen sind als die des Capital Asset Pricing Modells. Dieses Modell geht davon aus, dass alle Anleger homogene Erwartungen an bedeuten zurück und Vermögensveränderungen. Es wird auch davon ausgegangen, dass das gleiche Effiziente Grenze steht allen Anlegern zur Verfügung.

Für ein gut diversifiziertes Portfolio kann eine grundlegende Formel zur Beschreibung der Arbitrage-Preistheorie wie folgt geschrieben werden:

$\begin{matrix} E. ({R.}_{P.}) = {R.}_{F.} + {β.}_{1.} {F.}_{1.} + {β.}_{2.} {F.}_{2.} + \dots + {β.}_{n.} {F.}_{n.} \\ wo: \\ E. ({R.}_{P.}) = Erwartete Rückkehr. \\ {R.}_{F.} = Risikofreie Rückkehr. \\ {β.}_{n.} = Empfindlichkeit gegenüber dem Faktor von. n. \\ {F.}_{n.} = {n.}^{T. h.} Faktor Preis. \end{matrix}$ E(RP)=RF+β1F1+β2F2+…+βnFnwo:E(RP)=Erwartete RückkehrRF=Risikofreie Rückkehrβn=Empfindlichkeit gegenüber dem Faktor nFn=nTh Faktorpreis

R_F ist die Rendite, wenn der Vermögenswert keinen Faktoren ausgesetzt war, d. h. allen.

${β.}_{n.} = 0.$ βn=0

Anders als beim Capital Asset Pricing Model spezifiziert die Arbitrage-Pricing-Theorie die Faktoren nicht. Nach den Recherchen von Stephen Ross und Richard Roll sind die wichtigsten Faktoren jedoch die folgenden:

Verändern in Inflation
Änderung des Niveaus von industrielle Produktion
Verschiebungen in Risikoprämien
Formänderung der Laufzeitstruktur der Zinssätze

Laut den Forschern Ross und Roll entspricht die tatsächliche Rendite der erwarteten Rendite, wenn die Änderung der oben genannten Faktoren nicht überraschend ist. Bei unerwarteten Änderungen der Faktoren wird die tatsächliche Rendite jedoch wie folgt definiert:

$\begin{matrix} {R.}_{P.} = E. ({R.}_{P.}) + {β.}_{1.} {F.}_{1.}^{'} + {β.}_{2.} {F.}_{2.}^{'} + \dots + {β.}_{n.} {F.}_{n.}^{'} + e. \\ wo: \\ \begin{matrix} {F.}_{n.}^{'} = & Die unerwartete Änderung des Faktors bzw. \\ Überraschungsfaktor. \end{matrix} \\ e. = Der verbleibende Teil der tatsächlichen Rendite. \\ 7. % = 2. % + 3.45. * {F.}_{1.} + 0.033. * {F.}_{2.} \\ {F.}_{1.} = 1.43. % \\ {F.}_{2.} = 2.47. % \\ E. ({R.}_{ich.}) = 2. % + 1.43. % * {β.}_{1.} + 2.47. % * {β.}_{2.} \end{matrix}$ RP=E(RP)+β1F1′+β2F2′+…+βnFn′+ewo:Fn′= Die unerwartete Änderung des Faktors oder Überraschungsfaktore=Der verbleibende Teil der tatsächlichen Rendite7%=2%+3.45∗F1+0.033∗F2F1=1.43%F2=2.47%E(Rich)=2%+1.43%∗β1+2.47%∗β2

Beachten Sie, dass f'_nist die unerwartete Änderung des Faktors oder Überraschungsfaktors, e ist der Restanteil der tatsächlichen Rendite.

Schätzung von Faktorsensitivitäten und Faktorprämien

Wie können wir tatsächlich Faktorsensitivitäten ableiten? Denken Sie daran, dass wir im Capital Asset Pricing-Modell das Asset-Beta, das die Asset-Sensitivität gegenüber der Marktrendite misst, abgeleitet haben, indem wir einfach die tatsächlichen Asset-Renditen mit den Marktrenditen regressieren. Die Ableitung des Betas der Faktoren ist ziemlich ähnlich.

Zur Veranschaulichung der Schätztechnik ß_n(Empfindlichkeit gegenüber dem Faktor n) und F_n(der n-te Faktorpreis), nehmen wir die S&P 500 Total Return Index und das NASDAQ Composite Total Return Index als Stellvertreter für gut diversifizierte Portfolios, für die wir suchen ß_n und F_n. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass wir wissen R_F(die risikofreie Rendite) beträgt 2 Prozent. Wir gehen außerdem davon aus, dass die erwartete jährliche Rendite der Portfolios 7 Prozent für den S&P 500 Total Return Index und 9 Prozent für den NASDAQ Composite Total Return Index beträgt.

Schritt 1: Bestimmen Sie systematische Faktoren

Wir müssen die systematischen Faktoren bestimmen, mit denen die Portfoliorenditen erklärt werden. Nehmen wir an, die reale Bruttoinlandsprodukt (BIP) Wachstumsrate und die Renditeveränderung 10-jähriger Staatsanleihen sind die Faktoren, die wir brauchen. Da wir uns für zwei Indizes mit großen Bestandteilen entschieden haben, können wir sicher sein, dass unsere Portfolios gut diversifiziert sind und das spezifische Risiko nahe Null liegt.

Schritt 2: Erhalten Sie Betas

Wir sind gelaufen Rückschritt auf historischen vierteljährlichen Daten jedes Index gegenüber den vierteljährlichen realen BIP-Wachstumsraten und vierteljährlichen Veränderungen der T-Bond-Rendite. Beachten Sie, dass wir die technischen Seiten der Regressionsanalyse überspringen, da diese Berechnungen nur zur Veranschaulichung dienen.

Hier sind die Ergebnisse:

Indizes (Proxys für Portfolios)	ß₁der BIP-Wachstumsrate	ß₂ der T-Bond-Renditeänderung
S&P 500 Total Return Index	3.45	0.033
NASDAQ Composite Total Return Index	4.74	0.098

Regressionsergebnisse zeigen, dass beide Portfolios viel höhere Sensitivitäten gegenüber BIP-Wachstumsraten aufweisen (was logisch ist, da sich das BIP-Wachstum normalerweise in die Aktienmarktveränderung) und sehr geringe Empfindlichkeiten gegenüber T-Bond-Renditeänderungen (auch dies ist logisch, da Aktien weniger empfindlich auf Renditeänderungen reagieren als Fesseln).

Schritt 3: Erhalten Sie Faktorpreise oder Faktorprämien

Nachdem wir nun Betafaktoren erhalten haben, können wir die Faktorpreise schätzen, indem wir die folgenden Gleichungen lösen:

$7. % = 2. % + 3. . 4. 5. * {F.}_{1.} + 0. . 0. 3. 3. * {F.}_{2.}$ 7%=2%+3.45∗F1+0.033∗F2

$9. % = 2. % + 4. . 7. 4. * {F.}_{1.} + 0. . 0. 9. 8. * {F.}_{2.}$ 9%=2%+4.74∗F1+0.098∗F2
Durch Lösen dieser Gleichungen erhalten wir:

${F.}_{1.} = 1. . 4. 3. %$ F1=1.43%und.

${F.}_{2.} = 2. . 4. 7. %$ F2=2.47%

Daher ein allgemeines ex anteGleichung der Arbitrage-Preistheorie für alle ich Portfolio wird wie folgt aussehen:

$E. ({R.}_{ich.}) = 2. % + 1. . 4. 3. % * {β.}_{1.} + 2. . 4. 7. % * {β.}_{2.}$ E(Rich)=2%+1.43%∗β1+2.47%∗β2

Nutzen von Arbitrage-Möglichkeiten

Die Idee hinter einer No-Arbitrage-Bedingung ist, dass Anleger, wenn es ein falsch bewertetes Wertpapier auf dem Markt gibt, immer die Möglichkeit haben Bauen Sie ein Portfolio mit Faktorsensitivitäten auf, die denen von fehlbewerteten Wertpapieren ähneln, und nutzen Sie die Arbitrage Gelegenheit.

Nehmen wir beispielsweise an, dass es neben unseren Index-Portfolios ein ABC-Portfolio mit den entsprechenden Daten in der folgenden Tabelle gibt:

Portfolios	Erwartete Rückkehr	ß₁	ß₂
S&P 500 Total Return Index	7%	3.45	0.033
NASDAQ Composite Total Return Index	9%	4.74	0.098
ABC-Portfolio (oder Arbitrage-Portfolio)	8%	3.837	0.0525
*Kombiniertes Indexportfolio = 0,7S&P500+0,3NASDAQ*	7.6%	3.837	0.0525

Wir können ein Portfolio aus den ersten beiden Indexportfolios zusammenstellen (mit einer Gewichtung im S&P 500 Total Return Index von 70 Prozent und NASDAQ Composite Total Return Index Gewichtung von 30 Prozent) mit ähnlichen Faktorsensitivitäten wie das ABC-Portfolio, wie in der letzten Rohfassung der Tisch. Nennen wir dies das kombinierte Indexportfolio. Das kombinierte Indexportfolio weist die gleichen Betas zu den systematischen Faktoren auf wie das ABC-Portfolio, jedoch eine niedrigere erwartete Rendite.

Dies impliziert, dass das ABC-Portfolio unterbewertet ist. Wir werden dann das Kombinierte Indexportfolio leerverkaufen und mit diesen Erlösen Aktien des ABC. kaufen Portfolio, das auch Arbitrageportfolio genannt wird (weil es die Arbitrage ausnutzt) Gelegenheit). Da alle Anleger ein überbewertetes und ein unterbewertetes Portfolio verkaufen würden, würde dies jegliche Arbitragegewinne vertreiben. Aus diesem Grund wird die Theorie Arbitrage-Preis-Theorie genannt.

Die Quintessenz

Die Arbitrage-Pricing-Theorie als alternatives Modell zum Capital Asset Pricing-Modell versucht, Erklären Sie Vermögens- oder Portfoliorenditen mit systematischen Faktoren und Vermögens-/Portfolio-Sensitivitäten gegenüber solchen Faktoren. Die Theorie schätzt die erwarteten Renditen eines gut diversifizierten Portfolios mit der zugrunde liegenden Annahme, dass Portfolios gut diversifiziert und jede Abweichung vom Gleichgewichtspreis auf dem Markt würde sofort beseitigt durch Investoren. Jeder Unterschied zwischen der tatsächlichen und der erwarteten Rendite wird durch Faktorüberraschungen (Unterschiede zwischen erwarteten und tatsächlichen Werten von Faktoren) erklärt.

Der Nachteil der Arbitrage-Preistheorie besteht darin, dass sie die systematischen Faktoren nicht spezifiziert, aber Analysten können diese durch Regression historischer Portfoliorenditen gegen Faktoren wie reales BIP Wachstumsraten, Inflationsänderungen, Änderungen der Laufzeitstruktur, Änderungen der Risikoprämien und so weiter. Anhand von Regressionsgleichungen lässt sich abschätzen, welche systematischen Faktoren Portfoliorenditen erklären und welche nicht.