Wie man Bewertungsmodelle wie Black-Scholes erstellt

Die Bewertung von Optionen kann eine schwierige Angelegenheit sein. Stellen Sie sich das folgende Szenario vor: Im Januar 2015 IBM Die Aktie wurde bei 155 US-Dollar gehandelt und Sie erwarteten, dass sie im nächsten Jahr steigen würde. Sie beabsichtigen zu kaufen Call-Option auf die IBM-Aktie mit einem GeldautomatAusübungspreis von 155 USD, in der Erwartung, von hohen prozentualen Renditen zu profitieren, basierend auf geringen Optionskosten (Optionsprämie), verglichen mit dem Aktienkauf mit hohem Kaufpreis.

Heutzutage stehen eine Reihe von verschiedenen vorgefertigten Methoden zur Verfügung, um Optionen zu bewerten – einschließlich der Black-Scholes-Modell und Binomialbaummodell– die schnelle Antworten liefern können. Doch was sind die zugrunde liegenden Faktoren und die treibenden Konzepte, um zu solchen Bewertungsmodellen zu gelangen? Lässt sich anhand des Konzepts dieser Modelle etwas Ähnliches vorbereiten?

Hier behandeln wir die Bausteine, zugrunde liegenden Konzepte und die Faktoren, die als Rahmen für den Aufbau eines Bewertungsmodell für einen Vermögenswert wie Optionen, das einen direkten Vergleich mit den Ursprüngen der Black-Scholes (BS) ermöglicht Modell.

Dieser Artikel beabsichtigt nicht, die Annahmen oder andere Faktoren des BS-Modells (das ein ganz anderes Thema ist) in Frage zu stellen; Vielmehr soll das zugrundeliegende Konzept des Black-Scholes-Modells sowie die Idee der Bewertungsmodellentwicklung erläutert werden.

Die Welt vor Black-Scholes

Vor Black-Scholes war die gleichgewichtsbasierte Capital Asset Pricing Model (CAPM) wurde weithin verfolgt. Die Renditen und Risiken wurden entsprechend der Anlegerpräferenz, d. h. einem hohen Von risikofreudigen Anlegern wurde erwartet, dass sie mit (dem Potenzial von) höheren Renditen in ähnlicher Weise entschädigt werden Anteil.

Das BS-Modell findet seine Wurzeln in CAPM. Fischer Black sagt: „Ich habe das Capital Asset Pricing Model auf jeden Moment im Leben eines Optionsscheins angewendet, z jeden möglichen Aktienkurs und Optionsscheinwert.“ Leider konnte das CAPM die Anforderung von Gewährleistung (Option) Preis.

Black-Scholes bleibt das erste Modell, basierend auf dem Konzept von Arbitrage, wodurch ein Paradigmenwechsel von risikobasierten Modellen (wie CAPM) vollzogen wird. Diese neue BS-Modellentwicklung ersetzte das CAPM Stock Return Konzept mit der Erkenntnis, dass ein perfekt abgesichert Position verdient a risikofreier Zinssatz. Dies beseitigte die Risiko- und Renditeschwankungen und etablierte das Konzept der Arbitrage, bei der Bewertungen werden unter Annahmen eines risikoneutralen Konzepts durchgeführt – eine abgesicherte (risikofreie) Position sollte zu einem risikolos Rendite.

Die Entwicklung von Black-Scholes

Beginnen wir damit, das Problem zu ermitteln, zu quantifizieren und einen Rahmen für seine Lösung zu entwickeln. Wir fahren mit unserem Beispiel zur Bewertung der ATM-Call-Option auf IBM mit einem Ausübungspreis von 155 US-Dollar mit einem Jahr vor Ablauf fort.

Ausgehend von der Grunddefinition von a Call-Option, es sei denn, der Aktienkurs erreicht das Ausübungspreisniveau, die Auszahlung bleibt null. Nach diesem Level steigt die Auszahlung linear (d. h. ein Anstieg des Basiswerts um einen Dollar führt zu einer Auszahlung von einem Dollar aus der Call-Option).

Unter der Annahme, dass Käufer und Verkäufer eine faire Bewertung (einschließlich Nullpreis) vereinbaren, beträgt der theoretische faire Preis für diese Call-Option:

• Call-Optionspreis = 0 $, wenn Basiswert < Strike (rote Grafik)
• Call-Optionspreis = (Basiswert – Basiswert), wenn Basiswert > = Basiswert (blauer Graph)

Dies repräsentiert die innerer Wert der Option und sieht aus der Sicht eines Käufers einer Call-Option perfekt aus. Im roten Bereich haben sowohl der Käufer als auch der Verkäufer eine faire Bewertung (Null-Preis für den Verkäufer, Null-Auszahlung an den Käufer). Die Bewertungsherausforderung beginnt jedoch im blauen Bereich, da der Käufer den Vorteil eines a positive Auszahlung, während der Verkäufer einen Verlust erleidet (vorausgesetzt, der zugrunde liegende Preis liegt über dem Basispreis) Preis). Hier hat der Käufer einen Vorteil gegenüber dem Verkäufer mit Nullpreis. Der Preis muss nicht Null sein, um den Verkäufer für das von ihm eingegangene Risiko zu entschädigen.

Im ersteren Fall (rote Grafik) erhält der Verkäufer theoretisch einen Nullpreis und für den Käufer gibt es kein Auszahlungspotenzial (für beide fair). Im letzteren Fall (blaue Grafik) ist die Differenz zwischen Basiswert und Basispreis vom Verkäufer an den Käufer zu zahlen. Das Risiko des Verkäufers erstreckt sich über die Dauer eines ganzen Jahres. Zum Beispiel kann der zugrunde liegende Aktienkurs sehr hoch steigen (z. B. auf 200 US-Dollar in vier Monaten) und der Verkäufer muss dem Käufer die Differenz von 45 US-Dollar zahlen.

Es läuft also auf:

1. Wird der Kurs des Basiswerts den Ausübungspreis kreuzen?
2. Wenn ja, wie hoch kann der zugrunde liegende Preis steigen (da dies die Auszahlung an den Käufer bestimmt)?

Dies weist auf das große Risiko hin, das der Verkäufer eingeht, was zu der Frage führt: Warum sollte jemand einen solchen Anruf verkaufen, wenn er für das eingegangene Risiko nichts bekommt?

Unser Ziel ist es, einen einzigen Preis zu erzielen, den der Verkäufer dem Käufer in Rechnung stellen sollte, der ihn für die Gesamtrisiko, das er über ein Jahr übernimmt – sowohl im Nullzahlungsbereich (rot) als auch im linearen Zahlungsbereich (Blau). Der Preis sollte für Käufer und Verkäufer fair und akzeptabel sein. Wenn nicht, wird derjenige, der in Bezug auf die Zahlung oder den Erhalt eines unfairen Preises benachteiligt ist, nicht am Markt teilnehmen, wodurch der Zweck des Handelsgeschäfts zunichte gemacht wird. Das Black-Scholes-Modell zielt darauf ab, diesen fairen Preis zu ermitteln, indem es die konstante Preisschwankung der Aktie berücksichtigt Zeitwert des Geldes, den Ausübungspreis der Option und die Zeit bis zum Verfall der Option. Sehen wir uns, ähnlich wie beim BS-Modell, an, wie wir dies für unser Beispiel mit unseren eigenen Methoden bewerten können.

Wie bewertet man den intrinsischen Wert in der blauen Region?

Es gibt eine Reihe von Methoden, um die erwartete Preisbewegung in der Zukunft während eines bestimmten Zeitrahmens vorherzusagen:

• Man kann ähnliche Kursbewegungen gleicher Dauer in der jüngeren Vergangenheit analysieren. Der historische IBM-Schlusskurs zeigt, dass im vergangenen Jahr (Jan. 2, 2014 bis Dez. 31, 2014) fiel der Preis von 185,53 USD auf 160,44 USD, was einem Rückgang von 13,5% entspricht.Können wir eine Preisbewegung von -13,5 % für IBM abschließen?
• Eine weitere detaillierte Überprüfung zeigt, dass er ein Jahreshoch von 199,21 $ (am 10. April 2014) und ein Jahrestief von 150,5 $ (am 10. 16, 2014). Basierend auf dem Starttag, Jan. 2, 2014, und dem Schlusskurs von 185,53 USD, variiert die prozentuale Veränderung von +7,37 % bis -18,88 %. Jetzt sieht die Variationsbreite im Vergleich zum früher berechneten Rückgang von 13,5% viel breiter aus.

Ähnliche Analysen und Beobachtungen zu historischen Daten können durchgeführt werden. Um unsere Preismodellentwicklung fortzusetzen, nehmen wir diese einfache Methode an, um zukünftige Preisschwankungen zu messen.

Angenommen, IBM steigt jedes Jahr um 10 % (basierend auf den historischen Daten der letzten 20 Jahre). Grundlegende Statistiken zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die IBM-Aktienkursänderung um +10% schwankt, sehr hoch sein wird höher als die Wahrscheinlichkeit, dass der IBM-Preis um 20 % steigt oder um 30 % sinkt, vorausgesetzt, dass historische Muster wiederholen. Sammeln ähnlicher historischer Datenpunkte mit Wahrscheinlichkeitswerten, eine Gesamt erwartete Rückkehr auf den Aktienkurs von IBM in einem Zeitraum von einem Jahr berechnet werden als a gewichteter Durchschnitt von Wahrscheinlichkeiten und damit verbundenen Renditen. Nehmen wir beispielsweise an, dass historische Preisdaten von IBM die folgenden Bewegungen anzeigen:

• (-10%) in 25% der Fälle,
• +10% in 35% der Fälle,
• +15% in 20% der Fälle,
• +20%in 10% der Fälle,
• +25% in 5% der Fälle und
• (-15%) in 5% der Fälle.

Somit ergibt sich der gewichtete Durchschnitt (oder der Erwartungswert) zu:

(-10%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5% – 15%*5%)/100% = 6.5%

Das heißt, im Durchschnitt soll der Kurs der IBM-Aktie in einem Jahr pro Dollar um 6,5% zurückgehen. Wenn jemand die IBM-Aktie mit einer Laufzeit von einem Jahr und einem Kaufpreis von 155 US-Dollar kauft, kann man eine Nettorendite von 155 * 6,5% = 10,075 US-Dollar erwarten.

Dies ist jedoch für die Aktienrendite. Wir müssen nach ähnlichen erwarteten Renditen für die Call-Option suchen.

Basierend auf der Nullauszahlung des Calls unter dem Ausübungspreis (bestehender $155 – ATM Call), alle negativen Bewegungen wird null Auszahlungen generieren, während alle positiven Bewegungen über dem Ausübungspreis gleichwertige Ergebnisse generieren auszahlen. Die erwartete Rendite für die Call-Option beträgt somit:

(-0%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5%—0%*5%)/100% = 9.75%

Das heißt, für jede 100 US-Dollar, die in den Kauf dieser Option investiert wird, kann man mit 9,75 US-Dollar rechnen (basierend auf den obigen Annahmen).

Dies bleibt jedoch weiterhin auf die faire Bewertung des inneren Optionsbetrags beschränkt und erfasst das Risiko nicht korrekt zu Lasten des Optionsverkäufers für die zwischenzeitlich auftretenden hohen Ausschläge (bei o.g. unterjährigen Hochs und Tiefs Preise). Welcher Preis kann neben dem inneren Wert zwischen Käufer und Verkäufer vereinbart werden, damit der Verkäufer das Risiko, das er über den Zeitraum von einem Jahr eingeht, angemessen entschädigt wird?

Diese Schwankungen können stark variieren und der Verkäufer kann seine eigene Interpretation davon haben, wie viel er dafür entschädigt werden möchte. Das Black-Scholes-Modell geht von Optionen europäischer Art aus, d. h. keine Ausübung vor dem Verfallsdatum. Somit bleibt er von zwischenzeitlichen Preisschwankungen unberührt und orientiert sich bei seiner Bewertung an den End-to-End-Handelstagen.

Im echten Daytrading ist dies Volatilität spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Optionspreise. Die blaue Auszahlungsfunktion, die wir häufig sehen, ist eigentlich die Auszahlung am Verfallsdatum. Realistischerweise ist der Optionspreis (rosa Grafik) immer höher als die Auszahlung (blaue Grafik), was den Preis angibt, den der Verkäufer zum Ausgleich seiner Risikobereitschaft einnimmt. Aus diesem Grund wird der Optionspreis auch als Option „Prämie“ bezeichnet, was im Wesentlichen auf die Risikoprämie.

Dies kann in unserem Bewertungsmodell berücksichtigt werden, je nachdem, wie viel Volatilität im Aktienkurs erwartet wird und wie viel erwarteter Wert daraus resultieren würde.

Das Black-Scholes-Modell macht dies effizient (natürlich innerhalb seiner eigenen Annahmen) wie folgt:

​C=S×n(D1​)−x×e−RTn(D2​)​

Das BS-Modell geht von einer lognormalen Verteilung der Aktienkursbewegungen aus, was die Verwendung von N(d1) und N(d2) rechtfertigt.

• Im ersten Teil gibt S den aktuellen Kurs der Aktie an.
• N(d1) gibt die Wahrscheinlichkeit der aktuellen Kursbewegung der Aktie an.

Wenn diese Option ins Geld geht und der Käufer diese Option ausüben kann, erhält er eine Aktie der zugrunde liegenden IBM-Aktie. Wenn der Händler es heute ausübt, repräsentiert das S*N(d1) den heutigen Tag erwarteter Wert der Option.

Im zweiten Teil gibt X den Ausübungspreis an.

• N(d2) stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass der Aktienkurs über dem Ausübungspreis liegt.
• X*N(d2) repräsentiert also den Erwartungswert des verbleibenden Aktienkurses Oben der Ausübungspreis.

Da das Black-Scholes-Modell Optionen nach europäischem Vorbild unterstellt, bei denen die Ausübung nur zu den Ende sollte der oben durch X*N(d2) dargestellte Erwartungswert um den Zeitwert von diskontiert werden Geld. Daher wird der letzte Teil mit dem exponentiellen Term multipliziert, der über den Zeitraum auf den Zinssatz erhöht wird.

Die Nettodifferenz der beiden Laufzeiten gibt den Preiswert der Option zum heutigen Tag an (wobei die zweite Laufzeit abgezinst wird)

In unserem Rahmen können solche Preisbewegungen auf verschiedene Weise genauer berücksichtigt werden:

• Weitere Verfeinerung der Berechnungen der erwarteten Rendite durch Erweiterung des Bereichs auf feinere Intervalle, um Intraday-/Intrayear-Preisbewegungen einzubeziehen 
• Einbeziehung aktueller Marktdaten, da sie das aktuelle Tagesgeschehen widerspiegeln (ähnlich wie bei implizite Volatilität)
• Erwartete Renditen am Verfallsdatum, die für realistische Bewertungen auf den heutigen Tag zurückdiskontiert und vom aktuellen Wert weiter reduziert werden können

Daher sehen wir, dass den Annahmen, Methoden und Anpassungen, für die ausgewählt werden kann, keine Grenzen gesetzt sind quantitative Analyse. Je nach zu handelndem Vermögenswert oder zu erwägender Investition kann an einem selbst entwickelten Modell gearbeitet werden. Es ist wichtig zu beachten, dass die Volatilität der Kursbewegungen verschiedener Anlageklassen stark variiert – Aktien haben Volatilitätsverzerrung, Forex verfügt über Volatilität Stirnrunzeln– und Benutzer sollten die anwendbaren Volatilitätsmuster in ihre Modelle einbeziehen. Annahmen und Nachteile sind integraler Bestandteil jedes Modells und eine sachkundige Anwendung von Modellen in realen Handelsszenarien kann bessere Ergebnisse liefern.

Die Quintessenz

Mit komplexen Vermögenswerten, die in die Märkte eintreten oder sogar einfache Vanille Vermögenswerte, die in komplexe Handelsformen geraten, quantitative Modellierung und Analyse werden für die Bewertung obligatorisch. Leider kommt kein mathematisches Modell ohne eine Reihe von Nachteilen und Annahmen aus. Der beste Ansatz besteht darin, die Annahmen auf ein Minimum zu beschränken und sich der implizierten Nachteile bewusst zu sein, was dabei helfen kann, die Grenzen der Verwendung und Anwendbarkeit der Modelle zu ziehen.