Einfache & Zinseszins-Definition & Formel

Zinsen werden als die Kosten für die Kreditaufnahme definiert, wie im Fall der Zinsen für einen Kreditsaldo. Umgekehrt können Zinsen auch der für Einlagen gezahlte Zinssatz sein, wie im Fall einer Einlagenbescheinigung. Zinsen können auf zwei Arten berechnet werden: einfaches Interesse oder Zinseszins.

• Einfaches Interesse wird auf der berechnet Rektoroder Originalbetrag eines Darlehens.
• Zinseszins ist berechnet auf den Kapitalbetrag und die aufgelaufenen Zinsen früherer Perioden und können daher als „Zinsen“ betrachtet werden.

Es kann ein großer Unterschied in Höhe der für ein Darlehen zu zahlenden Zinsen, wenn die Zinsen nicht auf einfacher Basis, sondern auf einer Zinseszinsbasis berechnet werden. Auf der positiven Seite kann die Magie der Aufzinsung bei Ihren Investitionen zu Ihrem Vorteil und ein wichtiger Faktor bei der Vermögensbildung sein.

Während Einfacher Zins und Zinseszins sind grundlegende Finanzkonzepte, deren gründliches Kennenlernen Ihnen helfen kann, fundiertere Entscheidungen bei der Aufnahme eines Kredits oder der Investition zu treffen.

Einfache Zinsformel

Die Formel zur Berechnung der einfachen Zinsen lautet:

​Einfaches Interesse=P×ich×nwo:P=Rektorich=Zinsraten=Laufzeit des Darlehens​

Wenn also für einen Kredit von 10.000 USD, der für drei Jahre aufgenommen wird, einfache Zinsen in Höhe von 5% berechnet werden, wird der vom Kreditnehmer zu zahlende Gesamtzinsbetrag als 10.000 USD x 0,05 x 3 = 1.500 USD berechnet.

Die Zinsen für dieses Darlehen sind mit 500 US-Dollar jährlich oder 1.500 US-Dollar über die dreijährige Kreditlaufzeit zahlbar.

Zinseszinsformel

Die Formel zur Berechnung des Zinseszinses in einem Jahr lautet:

​Zinseszins=(P(1+ich)n)−PZinseszins=P((1+ich)n−1)wo:P=Rektorich=Zinssatz in Prozentn=Anzahl der Aufzinsungsperioden für ein Jahr​

Zinseszinsen = Gesamtbetrag von Kapital und Zinsen in der Zukunft (oder fZeitwert) abzüglich des gegenwärtigen Kapitalbetrags, genannt Barwert (PV). PV ist der aktuelle Wert einer zukünftigen Geldsumme oder eines Stroms von Zahlungsströme gegeben ein spezifiziertes Rendite.

Um mit dem einfachen Zinsbeispiel fortzufahren, wie hoch wären die Zinsen, wenn sie auf Zinsbasis berechnet werden? In diesem Fall wäre es:

Interesse​=$10,000((1+0.05)3−1)=$10,000(1.157625−1)=$1,576.25​

Während die über den Dreijahreszeitraum dieses Darlehens zu zahlenden Gesamtzinsen 1.576,25 USD betragen, beträgt der Zinsbetrag im Gegensatz zu einfachen Zinsen nicht für alle drei Jahre gleich, da der Zinseszins auch die aufgelaufenen Zinsen der Vorperioden berücksichtigt. Die am Jahresende zu zahlenden Zinsen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Jahr	Eröffnungsbilanz (P)	Zinsen bei 5% (I)	Schlussbilanz (P+I)
1	$10,000.00	$500.00	$10,500.00
2	$10,500.00	$525.00	$11,025.00
3	$11,025.00	$551.25	$11,576.25
Gesamtzinsen	$1,576.25

Aufzinsungsperioden

Bei der Berechnung des Zinseszinses macht die Anzahl der Verzinsungsperioden einen wesentlichen Unterschied. Generell gilt: Je höher die Anzahl der Verzinsungsperioden, desto höher der Zinseszins. Also für jede 100 $ eines Darlehens über einen bestimmten Zeitraum die Höhe der Zinsen aufgelaufenen mit 10 % jährlich niedriger sein wird als die halbjährlich aufgelaufenen Zinsen von 5 %, die wiederum niedriger sind als die vierteljährlich aufgelaufenen Zinsen von 2,5 %.

In der Formel zur Berechnung des Zinseszinses müssen die Variablen „i“ und „n“ angepasst werden, wenn die Anzahl der Verzinsungsperioden mehr als einmal im Jahr beträgt.

Das heißt, innerhalb der Klammern muss „i“ oder der Zinssatz durch „n“, die Anzahl der Verzinsungsperioden pro Jahr, geteilt werden. Außerhalb der Klammern muss „n“ mit „t“, der Gesamtlänge der Investition, multipliziert werden.

Daher gilt für ein 10-jähriges Darlehen mit 10 %, bei dem die Zinsen halbjährlich aufgezinst werden (Anzahl der Zinsperioden = 2), i = 5 % (d. h. 10 % ÷ 2) und n = 20 (d. h. 10 x 2).

Um den Gesamtwert mit Zinseszins zu berechnen, würden Sie diese Gleichung verwenden:

​Gesamtwert mit Zinseszins=(P(n1+ich​)nT)−PZinseszins=P((n1+ich​)nT−1)wo:P=Rektorich=Zinssatz in Prozentn=Anzahl der Aufzinsungsperioden pro JahrT=Gesamtzahl der Jahre für die Investition oder das Darlehen​

Die folgende Tabelle zeigt den Unterschied, den die Anzahl der Aufzinsungsperioden im Laufe der Zeit für einen Kredit von 10.000 USD für einen Zeitraum von 10 Jahren ausmachen kann.

Compoundierungshäufigkeit	Anzahl der Aufzinsungsperioden	Werte für i/n und nt	Gesamtzinsen
Jährlich	1	i/n = 10%, nt = 10	$15,937.42
Halbjährlich	2	i/n = 5%, nt = 20	$16,532.98
Vierteljährlich	4	i/n = 2,5%, nt = 40	$16,850.64
Monatlich	12	i/n = 0,833%, nt = 120	$17,059.68

Andere Zinseszinskonzepte

Zeitwert des Geldes

Da Geld nicht „umsonst“ ist, sondern Kosten in Form von Zinsen entstehen, folgt daraus, dass ein Dollar heute mehr wert ist als ein Dollar in der Zukunft. Dieses Konzept ist als bekannt Zeitwert des Geldes und bildet die Grundlage für relativ fortgeschrittene Techniken wie Discounted Cashflow (DCF) Analyse. Das Gegenteil von Compounding ist bekannt als Rabatt. Der Abzinsungsfaktor kann als Kehrwert des Zinssatzes angesehen werden und ist der Faktor, mit dem ein zukünftiger Wert multipliziert werden muss, um den Barwert zu erhalten.

Die Formeln zur Ermittlung des Zukunftswerts (FV) und des Barwerts (PV) lauten wie folgt:

​FV=PV×(n1+ich​)nTPV=FV÷(n1+ich​)nTwo:ich=Zinssatz in Prozentn=Anzahl der Aufzinsungsperioden pro JahrT=Gesamtzahl der Jahre für die Investition oder das Darlehen​

Zum Beispiel der zukünftige Wert von 10.000 US-Dollar, der drei Jahre lang mit 5 % jährlich verzinst wird:

= $10,000 (1 + 0.05)³

= $10,000 (1.157625)

= $11,576.25.

Der Barwert von 11.576,25 $, abgezinst mit 5 % für drei Jahre:

= $11,576.25 / (1 + 0.05)³

= $11,576.25 / 1.157625.

= $10,000.

Der Kehrwert von 1,157625, was 0,8638376 entspricht, ist in diesem Fall der Diskontierungsfaktor.

Die Regel von 72

Das Regel von 72 berechnet die ungefähre Zeit, über die sich eine Anlage bei einer bestimmten Rendite oder einem bestimmten Zinssatz „i“ verdoppelt und wird durch (72 ÷ i) angegeben. Es kann nur für die jährliche Aufzinsung verwendet werden, kann aber sehr hilfreich sein, um zu planen, wie viel Geld Sie im Ruhestand erwarten können.

Beispielsweise verdoppelt sich eine Anlage mit einer jährlichen Rendite von 6 % in 12 Jahren (72 ÷ 6 %).

Eine Anlage mit einer jährlichen Rendite von 8 % verdoppelt sich in neun Jahren (72 ÷ 8 %).

Durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR)

Das durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR) wird für die meisten Finanzanwendungen verwendet, die die Berechnung einer einzelnen Wachstumsrate über einen Zeitraum erfordern.

Wenn Ihr Anlageportfolio beispielsweise in fünf Jahren von 10.000 auf 16.000 US-Dollar gewachsen ist, wie hoch ist dann die CAGR? Im Wesentlichen bedeutet dies PV = 10.000 $, FV = 16.000 $ und nt = 5, also muss die Variable „i“ berechnet werden. Mit einem Finanzrechner oder Excel Tabelle, kann gezeigt werden, dass i = 9,86 % ist.

Bitte beachten Sie, dass Ihre anfängliche Investition (PV) von 10.000 USD gemäß der Cashflow-Konvention mit einem negativen Vorzeichen angezeigt wird, da es sich um einen Mittelabfluss handelt. PV und FV müssen notwendigerweise entgegengesetzte Vorzeichen haben, um „i“ in der obigen Gleichung zu lösen.

Real-Life-Anwendungen

CAGR wird häufig verwendet, um Renditen über Zeiträume zu berechnen für Aktien, Investmentfonds und Anlageportfolios. CAGR wird auch verwendet, um festzustellen, ob ein Investmentfondsmanager oder Portfoliomanager die Rendite des Marktes über einen Zeitraum überschritten hat. Wenn beispielsweise ein Marktindex über fünf Jahre Gesamtrenditen von 10 % erzielt hat, ein Fondsmanager jedoch im gleichen Zeitraum nur eine Jahresrendite von 9 % erzielt hat, dann hat der Manager unterdurchschnittlich der Markt.

CAGR kann auch verwendet werden, um die erwartete Wachstumsrate von Anlageportfolios über lange Zeiträume zu berechnen, was beispielsweise für die Altersvorsorge nützlich ist. Betrachten Sie die folgenden Beispiele:

1. Ein risikoaverser Anleger ist mit einer bescheidenen jährlichen Rendite von 3 % für sein Portfolio zufrieden. Ihr derzeitiges Portfolio von 100.000 US-Dollar würde daher nach 20 Jahren auf 180.611 US-Dollar anwachsen. Im Gegensatz dazu würde ein risikotoleranter Anleger, der eine jährliche Rendite von 6% seines Portfolios erwartet, nach 20 Jahren 100.000 USD auf 320.714 USD anwachsen sehen.
2. CAGR kann verwendet werden, um abzuschätzen, wie viel verstaut werden muss, um für ein bestimmtes Ziel zu sparen. Ein Paar, das über 10 Jahre hinweg 50.000 US-Dollar für eine Anzahlung für eine Eigentumswohnung sparen möchte, müsste 4.165 US-Dollar pro Jahr sparen, wenn es eine jährliche Rendite (CAGR) von 4% auf seine Ersparnisse annimmt. Wenn sie bereit sind, zusätzliche Risiken einzugehen und eine CAGR von 5 % erwarten, müssten sie jährlich 3.975 US-Dollar sparen.
3. CAGR kann auch verwendet werden, um die Tugenden zu demonstrieren, eher früher als später im Leben zu investieren. Wenn das Ziel darin besteht, bis zum Renteneintritt im Alter von 65 eine Million US-Dollar zu sparen, müsste ein 25-Jähriger, basierend auf einer jährlichen Wachstumsrate von 6%, 6.462 US-Dollar pro Jahr sparen, um dieses Ziel zu erreichen. Ein 40-Jähriger müsste dagegen 18.227 US-Dollar oder fast das Dreifache dieses Betrags sparen, um dasselbe Ziel zu erreichen.

Zusätzliche Interessenüberlegungen

Stellen Sie sicher, dass Sie den genauen jährlichen Zahlungssatz kennen (APR) auf Ihr Darlehen, da sich die Berechnungsmethode und die Anzahl der Aufzinsungsperioden auf Ihre monatlichen Zahlungen auswirken können. Während Banken und Finanzinstitute über standardisierte Methoden zur Berechnung der Zinsen für Hypotheken und andere Kredite verfügen, können die Berechnungen von Land zu Land leicht abweichen.

Die Aufzinsung kann sich bei Ihren Investitionen zu Ihren Gunsten auswirken, aber auch bei der Kreditrückzahlung für Sie. Zum Beispiel, zweimal im Monat die Hälfte Ihrer Hypothekenzahlung zu leisten, anstatt die volle Zahlung einmal pro Monat zu leisten Monat, verkürzt Ihre Amortisationszeit und spart Ihnen erhebliche Zinsen.

Die Aufzinsung kann gegen Sie arbeiten, wenn Sie Kredite mit sehr hohen Zinssätzen wie Kreditkarten- oder Kaufhausschulden tragen. Zum Beispiel würde ein Kreditkartenguthaben von 25.000 US-Dollar bei einem Zinssatz von 20 % – monatlich berechnet – zu einer Gesamtzinsbelastung von 5.485 US-Dollar über ein Jahr oder 457 US-Dollar pro Monat führen.

Die Quintessenz

Lassen Sie die Magie des Zinseszinseffekts für sich arbeiten, indem Sie regelmäßig investieren und die Häufigkeit Ihrer Kreditrückzahlungen erhöhen. Sich mit den Grundkonzepten des einfachen Zinses und des Zinseszinses vertraut zu machen, wird Ihnen helfen Treffen Sie bessere finanzielle Entscheidungen, sparen Sie Tausende von Dollar und steigern Sie Ihr Nettovermögen um mehr Zeit.