Ορισμός πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης (MLR)

Τι είναι η Πολλαπλή Γραμμική Παλινδρόμηση (MLR);

Η πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση (MLR), γνωστή και ως πολλαπλή παλινδρόμηση, είναι μια στατιστική τεχνική που χρησιμοποιεί αρκετές επεξηγηματικές μεταβλητές για να προβλέψει το αποτέλεσμα μιας μεταβλητής απόκρισης. Ο στόχος της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης (MLR) είναι να μοντελοποιήσει το γραμμική σχέση μεταξύ των επεξηγηματικών (ανεξάρτητων) μεταβλητών και της απόκρισης (εξαρτώμενων) μεταβλητών.

Στην ουσία, η πολλαπλή παλινδρόμηση είναι η επέκταση των συνηθισμένων ελάχιστων τετραγώνων (OLS) οπισθοδρόμηση επειδή περιλαμβάνει περισσότερες από μία επεξηγηματικές μεταβλητές.

Τύπος και υπολογισμός της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης

​yΕγώ​=β0​+β1​ΧΕγώ1​+β2​ΧΕγώ2​+...+βΠ​ΧΕγώΠ​+ϵπου, για Εγώ=ν παρατηρήσεις:yΕγώ​=εξαρτημένη μεταβλητήΧΕγώ​=επεξηγηματικές μεταβλητέςβ0​=y-intercept (σταθερός όρος)βΠ​=συντελεστές κλίσης για κάθε επεξηγηματική μεταβλητήϵ=ο όρος σφάλματος του μοντέλου (γνωστός και ως υπολειπόμενα)​

Τι μπορεί να σας πει η πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση

Η απλή γραμμική παλινδρόμηση είναι μια συνάρτηση που επιτρέπει σε έναν αναλυτή ή στατιστικολόγο να κάνει προβλέψεις για μια μεταβλητή με βάση τις πληροφορίες που είναι γνωστές για μια άλλη μεταβλητή. Η γραμμική παλινδρόμηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο όταν κάποιος έχει δύο συνεχείς μεταβλητές - μια ανεξάρτητη μεταβλητή και μια εξαρτημένη μεταβλητή. Η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι η παράμετρος που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της εξαρτημένης μεταβλητής ή του αποτελέσματος. Ένα μοντέλο πολλαπλής παλινδρόμησης επεκτείνεται σε πολλές επεξηγηματικές μεταβλητές.

Το μοντέλο πολλαπλής παλινδρόμησης βασίζεται στις ακόλουθες παραδοχές:

• Υπάρχει ένα γραμμική σχέση μεταξύ των εξαρτημένων μεταβλητών και των ανεξάρτητων μεταβλητών
• Οι ανεξάρτητες μεταβλητές δεν είναι πολύ υψηλές συσχετίζεται ο ένας με τον άλλο
• y_Εγώ οι παρατηρήσεις επιλέγονται ανεξάρτητα και τυχαία από τον πληθυσμό
• Τα υπολείμματα πρέπει να είναι κανονικά κατανέμεται με μέσο όρο 0 και διαφοράσ

ο συντελεστής προσδιορισμού (Τετραγωνικό R) είναι μια στατιστική μέτρηση που χρησιμοποιείται για να μετρήσει πόση από τη διακύμανση στο αποτέλεσμα μπορεί να εξηγηθεί από τη διακύμανση στις ανεξάρτητες μεταβλητές. R² αυξάνεται πάντα καθώς προστίθενται περισσότεροι προγνωστικοί παράγοντες στο μοντέλο MLR, παρόλο που οι προγνωστικοί παράγοντες μπορεί να μην σχετίζονται με τη μεταβλητή αποτελέσματος.

R² Από μόνη της δεν μπορεί έτσι να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό των προγνωστικών που πρέπει να συμπεριληφθούν σε ένα μοντέλο και ποιοι πρέπει να αποκλειστούν. R² μπορεί να είναι μόνο μεταξύ 0 και 1, όπου 0 δείχνει ότι το αποτέλεσμα δεν μπορεί να προβλεφθεί από κανένα από τα ανεξάρτητες μεταβλητές και 1 υποδεικνύει ότι το αποτέλεσμα μπορεί να προβλεφθεί χωρίς σφάλμα από το ανεξάρτητο μεταβλητές.

Κατά την ερμηνεία των αποτελεσμάτων της πολλαπλής παλινδρόμησης, οι συντελεστές βήτα είναι έγκυροι ενώ διατηρούν σταθερές όλες τις άλλες μεταβλητές ("όλα τα άλλα ίσα"). Η έξοδος από μια πολλαπλή παλινδρόμηση μπορεί να εμφανιστεί οριζόντια ως εξίσωση ή κάθετα σε μορφή πίνακα.

Παράδειγμα του τρόπου χρήσης πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης

Για παράδειγμα, ένας αναλυτής μπορεί να θέλει να μάθει πώς η κίνηση της αγοράς επηρεάζει την τιμή της ExxonMobil (XOM). Σε αυτήν την περίπτωση, η γραμμική τους εξίσωση θα έχει την τιμή του δείκτη S&P 500 ως ανεξάρτητη μεταβλητή ή προγνωστική και την τιμή του XOM ως εξαρτημένη μεταβλητή.

Στην πραγματικότητα, υπάρχουν πολλοί παράγοντες που προβλέπουν την έκβαση ενός γεγονότος. Η κίνηση των τιμών της ExxonMobil, για παράδειγμα, εξαρτάται από κάτι περισσότερο από την απόδοση της συνολικής αγοράς. Άλλοι προγνωστικοί παράγοντες όπως η τιμή του πετρελαίου, τα επιτόκια και η κίνηση των τιμών του πετρελαίου μελλοντικά μπορεί να επηρεάσει την τιμή του XOM και τις τιμές των μετοχών άλλων εταιρειών πετρελαίου. Για την κατανόηση μιας σχέσης στην οποία υπάρχουν περισσότερες από δύο μεταβλητές, χρησιμοποιείται πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση.

Η πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση (MLR) χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό μιας μαθηματικής σχέσης μεταξύ ενός αριθμού τυχαίων μεταβλητών. Με άλλους όρους, το MLR εξετάζει πώς πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές σχετίζονται με μία εξαρτημένη μεταβλητή. Μόλις καθοριστεί κάθε ένας από τους ανεξάρτητους παράγοντες για την πρόβλεψη της εξαρτημένης μεταβλητής, οι πληροφορίες για το πολλαπλές μεταβλητές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δημιουργήσουν μια ακριβή πρόβλεψη για το επίπεδο επίδρασης που έχουν στο αποτέλεσμα μεταβλητός. Το μοντέλο δημιουργεί μια σχέση με τη μορφή μιας ευθείας (γραμμικής) που προσεγγίζει καλύτερα όλα τα επιμέρους σημεία δεδομένων.

Αναφερόμενοι στην εξίσωση MLR παραπάνω, στο παράδειγμά μας:

• y_Εγώ = εξαρτώμενη μεταβλητή - η τιμή του XOM
• Χ_i1 = επιτόκια
• Χ_i2 = τιμή πετρελαίου
• Χ_i3 = τιμή του δείκτη S&P 500
• Χ_i4= τιμή συμβολαίων μελλοντικής εκπλήρωσης πετρελαίου
• σι₀ = y-παρεμβολή τη στιγμή μηδέν
• σι₁ = συντελεστής παλινδρόμησης που μετρά μια μεταβολή μονάδας στην εξαρτημένη μεταβλητή όταν x_i1 αλλαγές - η αλλαγή στην τιμή XOM όταν αλλάζουν τα επιτόκια
• σι₂ = τιμή συντελεστή που μετρά μια μεταβολή μονάδας στην εξαρτημένη μεταβλητή όταν x_i2 αλλαγές - η αλλαγή στην τιμή XOM όταν αλλάζουν οι τιμές του πετρελαίου

Οι εκτιμήσεις των ελάχιστων τετραγώνων, Β₀, Β₁, Β₂…ΣΙ_Π, συνήθως υπολογίζονται από στατιστικό λογισμικό. Όσες μεταβλητές μπορούν να συμπεριληφθούν στο μοντέλο παλινδρόμησης στο οποίο κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή διαφοροποιείται με έναν αριθμό - 1,2, 3, 4... σελ. Το μοντέλο πολλαπλής παλινδρόμησης επιτρέπει σε έναν αναλυτή να προβλέψει ένα αποτέλεσμα με βάση τις πληροφορίες που παρέχονται σε πολλές επεξηγηματικές μεταβλητές.

Ωστόσο, το μοντέλο δεν είναι πάντα απόλυτα ακριβές, καθώς κάθε σημείο δεδομένων μπορεί να διαφέρει ελαφρώς από το αποτέλεσμα που προβλέπει το μοντέλο. Η υπολειμματική τιμή E, η οποία είναι η διαφορά μεταξύ του πραγματικού αποτελέσματος και του προβλεπόμενου αποτελέσματος, περιλαμβάνεται στο μοντέλο για να ληφθούν υπόψη αυτές οι μικρές διακυμάνσεις.

Ας υποθέσουμε ότι τρέχουμε το μοντέλο παλινδρόμησης τιμών XOM μέσω ενός λογισμικού υπολογισμού στατιστικών, το οποίο επιστρέφει αυτήν την έξοδο:

Ένας αναλυτής θα ερμηνεύσει αυτήν την παραγωγή ως εάν οι άλλες μεταβλητές διατηρούνται σταθερές, η τιμή του XOM θα αυξηθεί κατά 7,8% εάν η τιμή του πετρελαίου στις αγορές αυξηθεί κατά 1%. Το μοντέλο δείχνει επίσης ότι η τιμή του XOM θα μειωθεί κατά 1,5% μετά από αύξηση 1% στα επιτόκια. R² δείχνει ότι το 86,5% των διακυμάνσεων στην τιμή της μετοχής της Exxon Mobil μπορεί να εξηγηθεί από τις αλλαγές στο επιτόκιο, την τιμή του πετρελαίου, τα συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης πετρελαίου και τον δείκτη S&P 500.

Η διαφορά μεταξύ γραμμικής και πολλαπλής παλινδρόμησης

Συνήθη γραμμικά τετράγωνα Η παλινδρόμηση (OLS) συγκρίνει την απόκριση μιας εξαρτημένης μεταβλητής δεδομένης μιας αλλαγής σε ορισμένες επεξηγηματικές μεταβλητές. Ωστόσο, είναι σπάνιο μια εξαρτημένη μεταβλητή να εξηγείται μόνο από μία μεταβλητή. Σε αυτή την περίπτωση, ένας αναλυτής χρησιμοποιεί πολλαπλή παλινδρόμηση, η οποία επιχειρεί να εξηγήσει μια εξαρτημένη μεταβλητή χρησιμοποιώντας περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές. Οι πολλαπλές παλινδρόμηση μπορεί να είναι γραμμικές και μη γραμμικές.

Οι πολλαπλές παλινδρομήσεις βασίζονται στην υπόθεση ότι υπάρχει μια γραμμική σχέση τόσο μεταξύ των εξαρτημένων όσο και των ανεξάρτητων μεταβλητών. Δεν υποθέτει επίσης καμία σημαντική συσχέτιση μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών.

Συχνές Ερωτήσεις

Τι κάνει μια πολλαπλή παλινδρόμηση «πολλαπλή»;

Μια πολλαπλή παλινδρόμηση εξετάζει την επίδραση περισσοτέρων της μιας επεξηγηματικής μεταβλητής σε κάποιο αποτέλεσμα ενδιαφέροντος. Αξιολογεί τη σχετική επίδραση αυτών των επεξηγηματικών ή ανεξάρτητων μεταβλητών στην εξαρτημένη μεταβλητή όταν διατηρεί σταθερές όλες τις άλλες μεταβλητές στο μοντέλο.

Γιατί να χρησιμοποιήσει κανείς μια πολλαπλή παλινδρόμηση έναντι μιας απλής παλινδρόμησης OLS;

Είναι σπάνιο μια εξαρτημένη μεταβλητή να εξηγείται μόνο από μία μεταβλητή. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ένας αναλυτής χρησιμοποιεί πολλαπλή παλινδρόμηση, η οποία επιχειρεί να εξηγήσει μια εξαρτημένη μεταβλητή χρησιμοποιώντας περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές. Το μοντέλο, ωστόσο, υποθέτει ότι δεν υπάρχουν σημαντικοί συσχετισμοί μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών.

Μπορώ να κάνω πολλαπλή παλινδρόμηση με το χέρι;

Πιθανώς όχι. Τα πολλαπλά μοντέλα παλινδρόμησης είναι πολύπλοκα και γίνονται ακόμη περισσότερο όταν περιλαμβάνονται περισσότερες μεταβλητές στο μοντέλο ή όταν αυξάνεται ο όγκος των δεδομένων προς ανάλυση. Για να εκτελέσετε πολλαπλή παλινδρόμηση, πιθανότατα θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε εξειδικευμένο στατιστικό λογισμικό ή λειτουργίες εντός επιχειρηματικών προγραμμάτων όπως το Excel.

Τι σημαίνει για μια πολλαπλή παλινδρόμηση να είναι «γραμμική»;

Σε μια πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση, το μοντέλο υπολογίζει το γραμμή της καλύτερης εφαρμογής που ελαχιστοποιεί τις διακυμάνσεις κάθε μεταβλητής που περιλαμβάνεται καθώς σχετίζεται με την εξαρτώμενη μεταβλητή. Επειδή ταιριάζει σε μια γραμμή, είναι ένα γραμμικό μοντέλο. Υπάρχουν επίσης μη γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης που περιλαμβάνουν πολλαπλές μεταβλητές, όπως λογιστική παλινδρόμηση, τετραγωνική παλινδρόμηση και μοντέλα probit.

Πώς χρησιμοποιούνται μοντέλα πολλαπλής παλινδρόμησης στη χρηματοδότηση;

Κάθε οικονομετρικό μοντέλο που εξετάζει περισσότερες από μία μεταβλητές μπορεί να είναι πολλαπλή παλινδρόμηση. Μοντέλα παραγόντων, για παράδειγμα, συγκρίνετε δύο ή περισσότερους παράγοντες για να αναλύσετε τις σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών και της προκύπτουσας απόδοσης. ο Fama and French Three-Factor Mod είναι ένα τέτοιο μοντέλο που επεκτείνεται στο υπόδειγμα αποτίμησης περιουσιακών στοιχείων (CAPM) προσθέτοντας παράγοντες κινδύνου μεγέθους και κινδύνου αξίας στον παράγοντα κινδύνου αγοράς στην CAPM (ο οποίος είναι από μόνος του μοντέλο παλινδρόμησης). Συμπεριλαμβανομένων αυτών των δύο πρόσθετων παραγόντων, το μοντέλο προσαρμόζεται σε αυτήν την τάση υπεραπόδοσης, η οποία θεωρείται ότι το καθιστά καλύτερο εργαλείο για την αξιολόγηση της απόδοσης του διευθυντή.