Teoría de juegos: más allá de lo básico
Utilizando teoría de juego, se pueden diseñar escenarios del mundo real para situaciones tales como competencia de precios y lanzamientos de productos (y muchos más) y predecir sus resultados. Las empresas que utilizan (y se adhieren a) este dispositivo para determinar el Equilibrio de Nash ven un gran beneficio en sus estrategias presupuestarias.
¿De quién es el turno?
Mientras que los juegos secuenciales se juegan por turnos, los juegos simultáneos se juegan con cada jugador tomando su decisión al mismo tiempo. Con los juegos simultáneos, ya no usamos el método introductorio común de inducción hacia atrás. Defensores de teoría de juego a menudo tabula los diferentes resultados en lo que se llama una matriz (a continuación).
| Jugador uno / Jugador dos | Izquierda | Correcto |
| Arriba | (1, 3) | (4, 2) |
| Abajo | (3, 2) | (3, 1) |
Esta matriz se conoce como forma normal. Las opciones del jugador uno se muestran en el eje vertical izquierdo y las opciones del jugador dos se muestran en el eje horizontal superior. Los pagos para cada jugador están en sus intersecciones correspondientes y se muestran de la siguiente manera (jugador uno, jugador dos).
El equilibrio de Nash
El Equilibrio de Nash es un resultado alcanzado que, una vez logrado, significa que ningún jugador puede aumentar la recompensa cambiando las decisiones unilateralmente. También se puede considerar como "sin arrepentimientos", en el sentido de que una vez que se toma una decisión, el jugador no se arrepentirá de las decisiones que tengan en cuenta las consecuencias.
El equilibrio de Nash se alcanza con el tiempo, en la mayoría de los casos. Sin embargo, una vez que se alcanza el equilibrio de Nash, no se desviará de él. Después de que aprendamos a encontrar el equilibrio de Nash, observe cómo un movimiento unilateral afectaría la situación. ¿Tiene algún sentido? No debería, y es por eso que el Equilibrio de Nash se describe como "sin arrepentimientos".
Encontrar los equilibrios de Nash
Paso uno: Determine la mejor respuesta del jugador a las acciones del jugador dos.
Al examinar las opciones que pueden maximizar el pago de un jugador, debemos ver cómo el jugador uno debe responder a cada una de las opciones que tiene el jugador dos. Una forma fácil de hacer esto visualmente es ocultar las opciones del jugador dos. Considere la matriz descrita al principio de este artículo mientras aplicamos este método.
| Jugador uno / Jugador dos | Izquierda | Correcto |
| Arriba | (1, -) | (4, -) |
| Abajo | (3, -) | (3, -) |
El jugador uno tiene dos opciones posibles para jugar: "arriba" o "abajo". El jugador dos también tiene dos opciones para jugar: "izquierda o derecha." En este paso para determinar el Equilibrio de Nash, observamos las respuestas al jugador dos comportamiento. Si el jugador dos elige jugar "a la izquierda", podemos jugar "arriba" con la recompensa de 1, o jugar "abajo" con la recompensa de 3. Dado que 3 es mayor que 1, pondremos en negrita el 3 indicando la opción de jugar "abajo" aquí.
Si el jugador dos elige jugar "bien", podemos elegir jugar "arriba" para obtener una recompensa de 4 o jugar "abajo" para un desempate de 3. Como 4 es mayor que 3, ponemos en negrita el 4 para indicar la opción de jugar "arriba" aquí. Los resultados en negrita se muestran a continuación en la matriz completa.
| Jugador uno / Jugador dos | Izquierda | Correcto |
| Arriba | (1, 3) | (4, 2) |
| Abajo | (3, 2) | (3, 1) |
Paso dos: Determine la mejor respuesta del jugador dos a las acciones del jugador uno.
Como hicimos antes con los pagos del jugador dos para el jugador uno, ocultaremos los pagos del jugador uno al determinar las mejores respuestas para el jugador dos.
| Jugador uno / Jugador dos | Izquierda | Correcto |
| Arriba | (-, 3) | (-, 2) |
| Abajo | (-, 2) | (-, 1) |
Al igual que cuando se mira al jugador uno, cada jugador tiene dos opciones para jugar. Si el jugador uno elige jugar "arriba", podemos jugar "a la izquierda", con un pago de 3, o "a la derecha", con un pago de 2. Como 3 es mayor que 2, ponemos en negrita el 3 para mostrar la opción de jugar "izquierda" aquí. Si el jugador uno elige jugar "abajo", podemos jugar "izquierda", para una recompensa de 2, o "derecha", para una recompensa de 1. Como 2 es mayor que 1, el 2 en negrita indica la opción de jugar "izquierda" aquí. Los resultados en negrita se muestran a continuación en la matriz completa.
| Jugador uno / Jugador dos | Izquierda | Correcto |
| Arriba | (1, 3) | (4, 2) |
| Abajo | (3, 2) | (3, 1) |
Paso tres: Determine qué resultados tienen ambas recompensas en negrita. Ese resultado particular es el equilibrio de Nash.
Ahora, combinamos las opciones en negrita para ambos jugadores en la matriz completa.
| Jugador uno / Jugador dos | Izquierda | Correcto |
| Arriba | (1, 3) | (4, 2) |
| Abajo | (3, 2) | (3, 1) |
Busque intersecciones donde ambas recompensas estén en negrita. En este caso, encontramos que la intersección de (Abajo, Izquierda) con el pago de (3, 2) se ajusta a nuestros criterios. Esto indica nuestro equilibrio de Nash.
Este método de encontrar el equilibrio de Nash es adecuado para encontrar equilibrios en juegos que son simultáneos, ya que estamos viendo cómo respondería un jugador independientemente de cómo actúe el otro. Este escenario de un juego simultáneo a menudo se juega en empresas como las aerolíneas. A continuación se muestra un ejemplo, similar al juego anterior, de cómo se pueden desarrollar los precios de las aerolíneas. Los pagos son en miles de dólares. Recuerde, estos son los pagos, no los precios. El método que aplicamos anteriormente ya se aplica para mostrar dónde aparece el Equilibrio de Nash.
| Aerolínea uno / Aerolínea dos | Precio bajo | Precio alto |
| Precio bajo | (3,000, 3,000) | (4,000, 2,000) |
| Precio alto | (2,000, 4,000) | (3,500, 3,500) |
Mirando solo las opciones de A1, podemos ver que si A2 elige jugar a un precio bajo, elegimos entre un precio bajo por 3.000 o un precio alto por 2.000. Elegimos bajo, desde 3.000> 2.000. Hacemos lo mismo para A2 jugando a un precio alto y vemos que jugamos bajo porque 4,000> 3,500. Por el contrario, mirando solo las opciones de A2, podemos ver que si A1 elige jugar a un precio bajo, elegimos entre "precio bajo" para 3000 y "precio alto" para 2000. Desde 3000> 2000, elegimos aquí la opción de precio bajo. Si A1 tiene un precio alto, podemos cobrar un precio bajo por 4000 o un precio alto por 3500. Desde 4000> 3500, elegimos jugar a un precio bajo aquí.
El equilibrio de Nash es que ambas aerolíneas cobrarán un precio bajo (se muestra cuando las opciones para cada parte están resaltadas). Si ambas aerolíneas cobran un precio alto, cada una estaría mejor que en el Equilibrio de Nash.
Entonces, ¿por qué no aceptan hacer esto? En primer lugar, es ilegal confabularse. En segundo lugar, si esto ocurriera, una acción unilateral en nombre de una aerolínea para cobrar un precio bajo sería beneficiosa, lo que haría que esa aerolínea ganara más dinero a su vez. Esta lógica también muestra cómo se alcanza el equilibrio de Nash y por qué no es beneficioso desviarse de él una vez alcanzado.
Equilibrios de Nash múltiples
Generalmente, puede haber más de un equilibrio en un juego. Sin embargo, esto suele ocurrir en juegos con elementos más complejos que dos elecciones de dos jugadores. En juegos simultáneos que se repiten a lo largo del tiempo, uno de estos equilibrios múltiples se alcanza después de algún ensayo y error. Este escenario de elecciones diferentes a lo largo del tiempo antes de alcanzar el equilibrio es el que se desarrolla con mayor frecuencia en el mundo empresarial cuando dos empresas están determinando precios para productos altamente intercambiables, como pasajes aéreos o bebidas.
La línea de fondo
Con estos métodos avanzados, se pueden modelar y resolver más situaciones del mundo real. Los diferentes tipos de Equilibrios de Nash que discutimos son las soluciones más comúnmente encontradas para juegos modelados del mundo real. Un conocimiento práctico de la teoría de juegos puede ayudarlo a formar una estrategia, ya sea jugando al tic-tac-toe o compitiendo por las mayores ganancias.