Durata di Macaulay vs. Durata modificata: qual è la differenza?
Durata di Macaulay vs. Durata modificata: una panoramica
La durata di Macaulay e la durata modificata sono principalmente utilizzate per calcolare il durata di obbligazioni. La durata di Macaulay calcola il tempo medio ponderato prima che un detentore di obbligazioni riceva i flussi di cassa dell'obbligazione. Al contrario, la duration modificata misura la sensibilità al prezzo di un'obbligazione quando si verifica una variazione del rendimento alla scadenza.
Punti chiave
- Esistono diversi modi per affrontare il concetto di durata o la sensibilità del prezzo di un'attività a reddito fisso alle variazioni dei tassi di interesse.
- La duration di Macaulay è la durata media ponderata fino alla scadenza dei flussi di cassa di un'obbligazione ed è spesso utilizzata dai gestori di portafoglio che utilizzano una strategia di immunizzazione.
- La durata modificata di un'obbligazione è una versione rettificata della durata Macaulay e viene utilizzata per calcolare le variazioni della durata e del prezzo di un'obbligazione per ogni variazione percentuale del rendimento alla scadenza.
La durata di Macaulay
Il Macaulay durata è calcolato moltiplicando il periodo di tempo per il pagamento periodico della cedola e dividendo il valore risultante per 1 più il rendimento periodico elevato alla scadenza. Successivamente, il valore viene calcolato per ciascun periodo e sommato. Quindi, il valore risultante viene aggiunto al numero totale di periodi moltiplicato per valore nominale, diviso 1, più il rendimento periodico elevato al numero totale di periodi. Quindi il valore viene diviso per il prezzo corrente dell'obbligazione.
Durata Macaulay=Prezzo dell'obbligazione attuale(∑T=1n(1+sì)TT∗C+(1+sì)nn∗m)dove:C=pagamento periodico cedolasì=rendimento periodicom=il valore alla scadenza dell'obbligazionen=durata dell'obbligazione in periodi
Il prezzo di un'obbligazione viene calcolato moltiplicando il flusso di cassa per 1, meno 1 diviso per 1, più il rendimento alla scadenza, elevato al numero di periodi diviso per il rendimento richiesto. Il valore risultante viene aggiunto al valore nominale, o valore a scadenza, dell'obbligazione diviso 1, più il rendimento a scadenza elevato al numero totale di periodi.
Ad esempio, supponiamo che la durata Macaulay di un'obbligazione quinquennale con un valore di scadenza di $5.000 e un tasso di cedola del 6% sia di 4,87 anni ((1*60) / (1+0,06) + (2*60) / (1 + 0,06) ^ 2 + (3*60) / (1 + 0.06) ^ 3 + (4*60) / (1 + 0.06) ^ 4 + (5*60) / (1 + 0.06) ^ 5 + (5*5000) / (1 + 0.06) ^ 5) / (60*((1- (1 + 0.06) ^ -5) / (0.06)) + (5000 / (1 + 0.06) ^ 5)).
La duration modificata per questo titolo, con un rendimento alla scadenza del 6% per un periodo di cedola, è di 4,59 anni (4,87/(1+0,06/1). Pertanto, se il rendimento a scadenza aumenta dal 6% al 7%, la durata del titolo diminuirà di 0,28 anni (4,87 - 4,59).
La formula per calcolare la variazione percentuale del prezzo dell'obbligazione è la variazione del rendimento moltiplicata per il valore negativo della duration modificata moltiplicato per il 100%. Tale variazione percentuale risultante dell'obbligazione, per un aumento del rendimento dell'1%, è calcolata in -4,59% (0,01*- 4,59* 100%).
La durata modificata
Durata modificata=(1+nsìTm)Durata Macauleydove:sìTm=rendimento a scadenzan=numero di periodi di cedola all'anno
Il durata modificata è una versione rettificata della duration di Macaulay, che tiene conto della modifica del rendimento alle scadenze. La formula per la durata modificata è il valore della durata Macaulay diviso per 1, più il rendimento alla scadenza, diviso per il numero di periodi di cedola all'anno. La durata modificata determina le variazioni della durata e del prezzo di un'obbligazione per ciascuno variazione percentuale nel rendimento a scadenza.
Ad esempio, supponiamo che un'obbligazione a sei anni abbia un valore nominale di $ 1.000 e un tasso cedolare annuo dell'8%. La durata di Macaulay è calcolata in 4,99 anni ((1*80) / (1 + 0,08) + (2*80) / (1 + 0,08) ^ 2 + (3*80) / (1 + 0,08) ^ 3 + (4*80) / (1 + 0.08) ^ 4 + (5*80) / (1 + 0.08) ^ 5 + (6*80) / (1 + 0.08) ^ 6 + (6*1000) / (1 + 0.08) ^ 6) / (80*(1- (1 + 0.08) ^ -6) / 0.08 + 1000 / (1 + 0.08) ^ 6).
La duration modificata di tale obbligazione, con rendimento a scadenza dell'8% per un periodo cedolare, è di 4,62 anni (4,99 / (1 + 0,08 / 1). Pertanto, se il rendimento a scadenza aumenta dall'8% al 9%, la durata del titolo diminuirà di 0,37 anni (4,99 - 4,62).
La formula per calcolare la variazione percentuale del prezzo dell'obbligazione è la variazione del rendimento moltiplicata per il valore negativo della duration modificata moltiplicato per il 100%. Tale variazione percentuale dell'obbligazione risultante, per un aumento del tasso di interesse dall'8% al 9%, è calcolata in -4,62% (0,01* - 4,62* 100%).
Pertanto, se i tassi di interesse aumentano dell'1% durante la notte, il prezzo dell'obbligazione dovrebbe scendere del 4,62%.
La duration modificata e gli swap sui tassi di interesse
La durata modificata potrebbe essere estesa per calcolare il numero di anni necessari a uno swap sui tassi di interesse per rimborsare il prezzo pagato per lo swap. Un interest rate swap è lo scambio di una serie di flussi di cassa per un altro e si basa sulle specifiche dei tassi di interesse tra le parti.
La durata modificata è calcolata dividendo il valore in dollari di una variazione di un punto base di una gamba di swap su tassi di interesse, o serie di flussi di cassa, per il valore attuale della serie di flussi di cassa. Il valore viene quindi moltiplicato per 10.000. La durata modificata per ciascuna serie di flussi di cassa può essere calcolata anche dividendo il valore in dollari di una variazione in punti base della serie di flussi di cassa per il valore nozionale più il valore di mercato. La frazione viene quindi moltiplicata per 10.000.
La durata modificata di entrambe le gambe deve essere calcolata per calcolare la durata modificata del cambio del rateo d'interesse. La differenza tra le due durate modificate è la durata modificata dell'interest rate swap. La formula per la durata modificata dell'interest rate swap è la durata modificata della gamba ricevente meno la durata modificata della gamba pagante.
Ad esempio, supponiamo che la banca A e la banca B stipulino uno swap sui tassi di interesse. La durata modificata della gamba ricevente di uno swap è calcolata come nove anni e la durata modificata della gamba pagante è calcolata come cinque anni. La durata modificata risultante dell'interest rate swap è di quattro anni (9 anni – 5 anni).
Confronto tra la durata di Macaulay e la durata modificata
Poiché la durata di Macaulay misura il tempo medio ponderato in cui un investitore deve detenere un'obbligazione fino al valore attuale dell'obbligazione il flusso di cassa è uguale all'importo pagato per l'obbligazione, è spesso utilizzato dai gestori di obbligazioni che cercano di gestire il rischio del portafoglio obbligazionario con immunizzazione strategie.
Al contrario, la durata modificata identifica quanto cambia la durata per ogni variazione percentuale del rendimento misurando quanto una variazione dei tassi di interesse influisce sul prezzo di un'obbligazione. Pertanto, la durata modificata può fornire una misura del rischio per gli investitori obbligazionari approssimando quanto il prezzo di un'obbligazione potrebbe diminuire con un aumento dei tassi di interesse. È importante notare che i prezzi delle obbligazioni e i tassi di interesse hanno un relazione inversa insieme.