二項オプション価格モデルの定義

二項オプション価格モデルとは何ですか？

二項オプション価格モデルはオプションです 評価 1979年に開発された方法。 NS 二項オプション価格モデル 反復手順を使用して、評価日とオプションの間の期間中にノードまたは時点を指定できるようにします。 有効期限.

モデルは価格変更の可能性を減らし、 アービトラージ. の簡略化された例 二項ツリー 次のようになります。

二項オプション価格モデルの基本

二項オプション価格モデルでは、2つの可能な結果、つまりモデルの二項部分があると想定されます。 価格設定モデルでは、2つの結果は上への移動または下への移動です。 二項オプション価格モデルの主な利点は、数学的に単純なことです。 しかし、これらのモデルは、複数期間モデルでは複雑になる可能性があります。

とは対照的に ブラックショールズモデル、入力に基づいて数値結果を提供する二項モデルでは、次の計算が可能です。 資産と複数の期間のオプション、および各期間の可能な結果の範囲（を参照） 下）。

この複数期間ビューの利点は、ユーザーが期間ごとの資産価格の変化を視覚化し、さまざまな時点で行われた決定に基づいてオプションを評価できることです。 米国を拠点とする場合 オプション、前にいつでも行使することができます 有効期限、二項モデルは、オプションを行使することが推奨される場合と、それを長期間保持する必要がある場合についての洞察を提供できます。

を見て 二項ツリー 値の、トレーダーは事前に決定することができます エクササイズ 発生する可能性があります。 オプションの値が正の場合、行使される可能性がありますが、オプションの値がゼロ未満の場合は、より長い期間保持する必要があります。

二項モデルを使用した価格の計算

二項オプションモデルを計算する基本的な方法は、成功と失敗の期間ごとに同じ確率を使用することです。 オプションの有効期限が切れるまで. ただし、トレーダーは、時間の経過とともに取得した新しい情報に基づいて、期間ごとに異なる確率を組み込むことができます。

二項ツリーは、価格設定時に便利なツールです アメリカのオプション と 埋め込みオプション. その単純さは、同時にその長所と短所です。 ツリーは機械的にモデル化するのは簡単ですが、問題は、原資産が1つの期間に取ることができる可能な値にあります。 二項ツリーモデルでは、資産は任意の範囲内の任意の数の値に値する可能性があるため、原資産は2つの可能な値の1つにのみ値する可能性があります。これは現実的ではありません。

たとえば、原資産価格が1つの期間で30％上昇または下降する可能性が50/50である可能性があります。 ただし、第2期間では、原資産価格が上昇する可能性が70/30に上昇する可能性があります。

たとえば、投資家が評価している場合 油井、その投資家はその油井の価値が何であるかわからないが、価格が上がる可能性は50/50である。 もしも 石油価格 期間1に上昇し、石油の価値が高まり、市場が拡大します。 ファンダメンタルズ 現在、石油価格の継続的な上昇を指摘しているため、価格がさらに上昇する可能性は70％になる可能性があります。 二項モデルは、この柔軟性を可能にします。 ブラックショールズモデルはそうではありません。

二項オプション価格モデルの実際の例

の簡略化された例 二項ツリー ステップは1つだけです。 1株あたり100ドルの価格の株があると仮定します。 1か月で、この株の価格は10ドル上がるか、10ドル下がって、次のような状況になります。

• 株価 = $100
• 1ヶ月の株価（アップ状態） = $110
• 1ヶ月の株価（ダウン状態） = $90

次に、この株式で利用可能なコールオプションがあり、1か月で有効期限が切れ、行使価格が100ドルであると想定します。 アップ状態では、このコールオプションは$ 10の価値があり、ダウン状態では、$ 0の価値があります。 二項モデルは、コールオプションの今日の価格を計算できます。

簡単にするために、投資家が株式の半分を購入し、1つのコールオプションを作成または販売するとします。 今日の総投資額は、半株の価格からオプションの価格を差し引いたものであり、月末に発生する可能性のある見返りは次のとおりです。

• 今日の費用 = $ 50-オプション価格
• ポートフォリオの価値 （アップ状態）= $ 55-最大（$ 110- $ 100、0）= $ 45
• ポートフォリオの価値 （ダウン状態）= $ 45-max（$ 90- $ 100、0）= $ 45

株価がどのように変動しても、ポートフォリオのペイオフは等しくなります。 この結果を考えると、裁定取引の機会がないと仮定すると、投資家はその月の間にリスクフリーレートを獲得する必要があります。 今日のコストは、1か月間リスクフリーレートで割り引かれたペイオフと等しくなければなりません。 したがって、解く方程式は次のとおりです。

• オプション価格 = $ 50- $ 45 x e ^（-リスクフリーレートx T）、ここでeは数学定数2.7183です。

リスクフリーレートが年間3％で、Tが0.0833（1を12で割ったもの）に等しいと仮定すると、今日のコールオプションの価格は5.11ドルです。

二項オプション価格モデルは、ブラックショールズモデルに比べてオプション売り手に2つの利点をもたらします。 1つ目は、その単純さです。これにより、商用アプリケーションでのエラーが少なくなります。 2つ目は、バイヤーが裁定取引戦略を実行する機会を減らすためにタイムリーに価格を調整する反復操作です。

たとえば、それは評価の流れを提供するので デリバティブ ある期間の各ノードについて、それは便利です デリバティブを評価するため アメリカンオプションなど—購入日から有効期限までのいつでも実行できます。 また、ブラックショールズモデルなどの他の価格設定モデルよりもはるかにシンプルです。