Enkel og sammensatt rentedefinisjon og formel

Renter er definert som kostnaden for å låne penger, som i tilfelle renter på en lånebalanse. Motsatt kan renter også være prisen som betales for penger på innskudd, som for et depositumsbevis. Renter kan beregnes på to måter: enkel interesse eller sammensatt rente.

• Enkel interesse er beregnet på rektoreller originalt beløp på et lån.
• Sammensatt interesse er regnet ut på hovedbeløpet og akkumulerte renter fra tidligere perioder, og kan dermed betraktes som "renter på renter."

Det kan være en stor forskjell i rentebeløpet på et lån hvis renter beregnes på sammensatt basis i stedet for på et enkelt grunnlag. På den positive siden kan magien ved sammensetning fungere til din fordel når det gjelder investeringene dine og kan være en sterk faktor i verdiskaping.

Samtidig som enkel rente og sammensatt rente er grunnleggende økonomiske konsepter, kan det å bli grundig kjent med dem hjelpe deg med å ta mer informerte beslutninger når du tar opp et lån eller investerer.

Enkel renteformel

Formelen for å beregne enkel rente er:

​Enkel rente=P×Jeg×nhvor:P=RektorJeg=Renten=Lånetid​

Så hvis enkle renter belastes med 5% på et lån på $ 10.000 som tas opp i tre år, beregnes det totale rentebeløpet som låneren skal betale som $ 10.000 x 0,05 x 3 = $ 1500.

Renter på dette lånet betales med $ 500 årlig, eller $ 1500 over den treårige låneperioden.

Sammensatt renteformel

Formelen for beregning av sammensatt rente i et år er:

​Sammensatt rente=(P(1+Jeg)n)−PSammensatt rente=P((1+Jeg)n−1)hvor:P=RektorJeg=Rente i prosentn=Antall sammensatte perioder for et år​

Sammensatt rente = totalt hovedstolsbeløp og renter i fremtiden (eller fhøyeste verdi) fratrukket hovedbeløpet for tiden, kalt nåverdi (PV). PV er nåverdien av en fremtidig sum penger eller strøm av kontantstrømmer gitt en spesifisert avkastning.

Fortsatt med eksempelet med enkel rente, hva ville renten være hvis den belastes på sammensatt basis? I dette tilfellet vil det være:

Renter​=$10,000((1+0.05)3−1)=$10,000(1.157625−1)=$1,576.25​

Selv om den totale renten som skal betales i løpet av treårsperioden for dette lånet er $ 1.576,25, i motsetning til enkle renter, er rentebeløpet ikke det samme for alle tre årene fordi sammensatt rente også tar hensyn til akkumulerte renter fra tidligere perioder. Renter som skal betales ved slutten av hvert år er vist i tabellen nedenfor.

År	Åpningsbalanse (P)	Renter på 5% (I)	Avslutningsbalanse (P+I)
1	$10,000.00	$500.00	$10,500.00
2	$10,500.00	$525.00	$11,025.00
3	$11,025.00	$551.25	$11,576.25
Total rente	$1,576.25

Sammensatte perioder

Ved beregning av sammensatt rente utgjør antallet sammensetningsperioder en betydelig forskjell. Generelt, jo høyere antall sammensetningsperioder, jo større mengde sammensatt rente. Så for hver $ 100 av et lån over en bestemt periode, mengden renter påløpt med 10% årlig vil være lavere enn påløpte renter med 5% halvårlig, noe som igjen vil være lavere enn påløpte renter på 2,5% kvartalsvis.

I formelen for beregning av sammensatt rente må variablene "i" og "n" justeres hvis antallet sammensetningsperioder er mer enn en gang i året.

Det vil si, i parentes, må "i" eller renten deles med "n", antall sammensatte perioder per år. Utenfor parentesene må "n" multipliseres med "t", den totale lengden på investeringen.

Derfor, for et 10-årig lån på 10%, hvor renter sammensettes halvårlig (antall sammensetningsperioder = 2), er i = 5% (dvs. 10% ÷ 2) og n = 20 (dvs. 10 x 2).

For å beregne den totale verdien med sammensatt rente, vil du bruke denne ligningen:

​Totalverdi med sammensatt rente=(P(n1+Jeg​)nt)−PSammensatt rente=P((n1+Jeg​)nt−1)hvor:P=RektorJeg=Rente i prosentn=Antall sammensetningsperioder per årt=Totalt antall år for investeringen eller lånet​

Tabellen nedenfor viser forskjellen som antallet sammensatte perioder kan gjøre over tid for et lån på $ 10.000 som er tatt for en 10-års periode.

Sammensatt frekvens	Antall sammensatte perioder	Verdier for i/n og nt	Total rente
Årlig	1	i/n = 10%, nt = 10	$15,937.42
Halvårlig	2	i/n = 5%, nt = 20	$16,532.98
Kvartalsvis	4	i/n = 2,5%, nt = 40	$16,850.64
Månedlig	12	i/n = 0,833%, nt = 120	$17,059.68

Andre sammensatte rentekonsepter

Tidsverdi av penger

Siden penger ikke er "gratis", men har en kostnad i form av renter som skal betales, følger det at en dollar i dag er verdt mer enn en dollar i fremtiden. Dette konseptet er kjent som tidsverdi av penger og danner grunnlaget for relativt avanserte teknikker som nedsatt kontantstrøm (DCF) analyse. Det motsatte av sammensetning er kjent som rabatter. Diskonteringsfaktoren kan betraktes som den gjensidige av renten og er faktoren som en fremtidig verdi må multipliseres med for å få nåverdien.

Formlene for å oppnå fremtidig verdi (FV) og nåverdi (PV) er som følger:

​FV=PV×(n1+Jeg​)ntPV=FV÷(n1+Jeg​)nthvor:Jeg=Rente i prosentn=Antall sammensetningsperioder per årt=Totalt antall år for investeringen eller lånet​

For eksempel er den fremtidige verdien på $ 10 000 sammensatt med 5% årlig i tre år:

= $10,000 (1 + 0.05)³

= $10,000 (1.157625)

= $11,576.25.

Nåverdien på $ 11 576,25 rabattert med 5% i tre år:

= $11,576.25 / (1 + 0.05)³

= $11,576.25 / 1.157625.

= $10,000.

Det gjensidige av 1.157625, som tilsvarer 0.8638376, er rabattfaktoren i dette tilfellet.

Regelen om 72

De Regel 72 beregner den omtrentlige tiden investeringen vil doble med en gitt avkastning eller rente "i" og er gitt av (72 ÷ i). Det kan bare brukes til årlig sammensetning, men kan være veldig nyttig når du planlegger hvor mye penger du kan forvente å ha når du blir pensjonist.

For eksempel vil en investering som har en årlig avkastning på 6% doble på 12 år (72 ÷ 6%).

En investering med 8% årlig avkastning vil doble seg om ni år (72 ÷ 8%).

Sammensatt årlig vekstrate (CAGR)

De sammensatt årlig vekstrate (CAGR) brukes for de fleste økonomiske applikasjoner som krever beregning av en enkelt vekstrate over en periode.

For eksempel, hvis investeringsporteføljen din har vokst fra $ 10 000 til $ 16 000 over fem år, hva er CAGR? I hovedsak betyr dette at PV = $ 10.000, FV = $ 16.000 og nt = 5, så variabelen "i" må beregnes. Ved hjelp av en finansiell kalkulator eller Excel regneark, kan det vises at i = 9,86%.

Vær oppmerksom på at i henhold til kontantstrømskonvensjonen er din første investering (PV) på $ 10.000 vist med et negativt tegn siden det representerer en utstrømning av midler. PV og FV må nødvendigvis ha motsatte tegn for å løse "i" i ligningen ovenfor.

Virkelige applikasjoner

CAGR brukes mye til å beregne avkastning over perioder for aksjer, aksjefond og investeringsporteføljer. CAGR brukes også til å fastslå om en fondsforvalter eller porteføljeforvalter har overskredet markedets avkastning over en periode. For eksempel, hvis en markedsindeks har gitt total avkastning på 10% over fem år, men en fondsforvalter bare har generert en årlig avkastning på 9% i samme periode, har forvalteren underpresterte markedet.

CAGR kan også brukes til å beregne forventet vekstrate for investeringsporteføljer over lange perioder, noe som er nyttig for formål som å spare til pensjon. Vurder følgende eksempler:

1. En risikovillig investor er fornøyd med en beskjeden årlig avkastning på 3% på porteføljen. Hennes nåværende portefølje på 100 000 dollar vil derfor vokse til 180 611 dollar etter 20 år. Derimot vil en risikotolerant investor som forventer en årlig avkastning på 6% på porteføljen se $ 100 000 vokse til 320 714 dollar etter 20 år.
2. CAGR kan brukes til å estimere hvor mye som må stuves bort for å spare for et bestemt mål. Et par som ønsker å spare 50 000 dollar over 10 år mot en forskuddsbetaling på en leilighet, må spare 4 165 dollar per år hvis de antar en årlig avkastning (CAGR) på 4% på sparingen. Hvis de er forberedt på å ta ytterligere risiko og forventer en CAGR på 5%, må de spare 3 975 dollar årlig.
3. CAGR kan også brukes til å demonstrere dyder ved å investere tidligere enn senere i livet. Hvis målet er å spare 1 million dollar ved pensjonering ved 65 år, basert på en CAGR på 6%, ville en 25-åring måtte spare 6 462 dollar per år for å nå dette målet. En 40-åring, derimot, må spare 18 227 dollar, eller nesten tre ganger det beløpet, for å nå det samme målet.

Ytterligere rentehensyn

Sørg for at du vet den eksakte årlige betalingssatsen (APR) på lånet ditt siden beregningsmetoden og antall sammensatte perioder kan ha innvirkning på dine månedlige utbetalinger. Mens banker og finansinstitusjoner har standardiserte metoder for å beregne renter på boliglån og andre lån, kan beregningene variere noe fra land til land.

Compounding kan fungere til din fordel når det gjelder investeringene dine, men det kan også fungere for deg når du foretar nedbetaling av lån. For eksempel å betale halvparten av boliglånet ditt to ganger i måneden, i stedet for å betale hele beløpet en gang a måned, vil ende opp med å kutte ned amortiseringsperioden og spare deg for en betydelig rente.

Compounding kan virke mot deg hvis du har lån med svært høye renter, som kredittkort- eller varehusgjeld. For eksempel vil en kredittkortbalanse på 25 000 dollar med en rente på 20% - sammensatt månedlig - resultere i en total rentegebyr på 5 485 dollar over ett år eller 457 dollar per måned.

Bunnlinjen

Få magien med sammensetningen til å fungere for deg ved å investere regelmessig og øke hyppigheten av nedbetalingene av lånet ditt. Å gjøre deg kjent med de grunnleggende konseptene enkel rente og sammensatt rente vil hjelpe deg ta bedre økonomiske beslutninger, spare deg for tusenvis av dollar og øke din nettoverdi over tid.