Дізнайтеся про умовну ймовірність

Що таке умовна ймовірність?

Умовна ймовірність визначається як ймовірність настання події чи результату на основі настання попередньої події чи результату. Умовна ймовірність обчислюється множенням ймовірність попередньої події за оновленою ймовірністю наступної або умовної події.

Наприклад:

• Подія А полягає в тому, що особа, яка подає документи на навчання до коледжу, буде прийнята. Є 80% шанс, що ця особа буде прийнята до коледжу.
• Подія Б полягає в тому, що ця особа отримає житло в гуртожитку. Житло в гуртожитку буде надано лише 60% усіх прийнятих студентів.
• P (Прийняте житло та гуртожиток) = P (Житло гуртожитку | Прийнято) P (Прийнято) = (0,60)*(0,80) = 0,48.

Умовна ймовірність розглядає ці дві події у взаємозв'язку, наприклад, ймовірність того, що вас обох прийняли до коледжу, та вам надається житло в гуртожитку.

Умовні ймовірності можна протиставити безумовна ймовірність. Безумовна ймовірність означає ймовірність того, що подія відбудеться незалежно від того, чи відбулися якісь інші події, чи існують інші умови.

Розуміння умовної ймовірності

Як зазначалося раніше, умовні ймовірності залежать від a попередній результат. Це також робить ряд припущень. Наприклад, припустимо, що ви витягуєте з кульки три кульки - червоний, синій і зелений. Кожен мармур має рівні шанси бути витягнутим. Яка умовна ймовірність малювати червоний мармур після того, як він уже намалював синій?

По -перше, ймовірність витягнути блакитний мармур становить близько 33%, оскільки це один із трьох можливих результатів. Припускаючи, що ця перша подія відбудеться, залишиться два кульки, кожен з яких має 50% шанс бути витягнутим. Тож шанс намалювати синій мармур після того, як він уже намалював червоний мармур, складе приблизно 16,5% (33% х 50%).

Як ще один приклад, щоб надати більш детальне уявлення про цю концепцію, подумайте, що справедливу кубик було прокручено, і вас попросять надати ймовірність того, що це була п’ятірка. Є шість однаково ймовірних результатів, тому ваша відповідь - 1/6. Але уявіть собі, якщо перед тим, як відповісти, ви отримаєте додаткову інформацію про те, що прокручене число було непарним. Оскільки можливі лише три непарні числа, одне з яких - п’ять, ви неодмінно переглянули б свою оцінку на ймовірність того, що п’ятірка була скочена з 1/6 до 1/3.

Це переглянуто ймовірність того, що подія А. з урахуванням додаткової інформації про іншу подію B що неодмінно сталося під час цього випробування експерименту, називається умовна ймовірністьА.даноB і позначається P (A | B).

Формула умовної ймовірності

P (B | A) = P (A і B) / P (A)

Або:

P (B | A) = P (A∩B) / P (A)

Ще один приклад умовної ймовірності

Як інший приклад, припустимо, що студент подає заяву про вступ до університету і сподівається отримати академічну стипендію. Школа, до якої вони подаються, приймає 100 з кожних 1000 абітурієнтів (10%) і присуджує академічні стипендії 10 з кожних 500 прийнятих студентів (2%). З числа стипендіатів 50% з них також отримують університетські стипендії за книги, харчування та житло. Для нашого амбітного студента шанс, що їх приймуть після отримання стипендії, становить 0,2% (0,1 х 0,02). Шанс їх прийняти, отримати стипендію, потім також отримати стипендію за книги тощо. становить 0,1% (0,1 х 0,02 х 0,5). (Ви також можете перевірити Теорема Байєса.)

Умовна ймовірність проти Спільна ймовірність та гранична ймовірність

Умовна ймовірність: p (A | B) - це ймовірність настання події A, враховуючи, що подія B має місце. Приклад: враховуючи, що ви одержали червону картку, яка ймовірність того, що це четвірка (p (чотири | червона)) = 2/26 = 1/13. Отже, з 26 червоних карток (з урахуванням червоної картки) є дві четвірки, тому 2/26 = 1/13.

Гранична ймовірність: ймовірність настання події (p (A)), її можна розглядати як безумовну ймовірність. Це не обумовлено іншою подією. Приклад: ймовірність того, що картка витягнута червоним кольором (p (червоний) = 0,5). Інший приклад: ймовірність того, що витягнута карта - це 4 (p (чотири) = 1/13).

Спільна ймовірність: p (A і B). Ймовірність події А та відбувається подія В. Це ймовірність перетину двох або більше подій. Імовірність перетину A і B можна записати p (A ∩ B). Приклад: ймовірність того, що карта - це четвірка, а червоний = p (чотири і червоний) = 2/52 = 1/26. (У колоді з 52 є дві червоні четвірки, 4 серця і 4 ромби).

Теорема Байєса

Теорема Байєса, названа на честь британського математика XVIII століття Томаса Байєса,-це математична формула для визначення умовної ймовірності. Теорема дає можливість переглянути існуючі прогнози або теорії (ймовірність оновлення) з урахуванням нових або додаткових доказів. У фінансах теорема Байєса може бути використана для оцінки ризик кредитування потенційних позичальників.

Теорема Байєса також називається правилом Байєса або законом Байєса і є основою поля статистики Байєса. Цей набір правил ймовірності дозволяє оновлювати свої прогнози подій, що відбуваються, на основі нової інформації, яка була отримана, роблячи кращі та більш динамічні оцінки.