Теорія ігор: Поза межами основ
Використання теорія ігор, можуть бути викладені реальні сценарії таких ситуацій, як цінова конкуренція та випуск продукції (та багато інших), і передбачити їх результати. Компанії, які використовують (і дотримуються) цей пристрій для визначення Рівновага Неша бачать величезну користь у своїх стратегіях бюджетування.
Чия черга?
У той час як послідовні ігри граються по черзі, одночасно проводяться ігри з кожним гравцем, який приймає своє рішення одночасно. З одночасними іграми ми більше не використовуємо загальний вступний метод зворотної індукції. Прихильники теорія ігор часто описуйте різні результати в тому, що називається матрицею (нижче).
| Гравець один / Гравець два | Вліво | Правильно |
| Вгору | (1, 3) | (4, 2) |
| Вниз | (3, 2) | (3, 1) |
Ця матриця називається нормальною формою. Вибір гравця відображається на лівій вертикальній осі, а вибір другого гравця - на верхній горизонтальній осі. Виграші для кожного гравця знаходяться у відповідних перехрестях і відображаються наступним чином (гравець один, гравець другий).
Рівновага Неша
Рівновага Неша - це результат, який після досягнення означає, що жоден гравець не може збільшити виграш, змінюючи рішення в односторонньому порядку. Його також можна вважати "не шкодуючим" у тому сенсі, що як тільки рішення буде ухвалене, гравець не буде шкодувати щодо рішень з урахуванням наслідків.
У більшості випадків рівновага Неша досягається з плином часу. Однак, як тільки буде досягнута рівновага Неша, від неї не буде відхилятися. Після того, як ми дізнаємось, як знайти рівновагу Неша, подивіться, як односторонній рух вплине на ситуацію. Чи це має сенс? Це не повинно бути, і тому рівновага Неша описується як "без жалю".
Як знайти рівновагу Неша
Крок перший: Визначте найкращу реакцію гравця на дії другого гравця.
При вивченні варіантів, які можуть максимізувати виплати гравця, ми повинні подивитися, як гравець повинен реагувати на кожен із варіантів, які є у гравця двох. Найпростіший спосіб зробити це візуально - приховати вибір другого гравця. Розглянемо матрицю, зображену на початку цієї статті, коли ми застосовуємо цей метод.
| Гравець один / Гравець два | Вліво | Правильно |
| Вгору | (1, -) | (4, -) |
| Вниз | (3, -) | (3, -) |
Гравець один має два можливі варіанти гри: "вгору" або "вниз". У другого гравця також є два варіанти гри: "ліворуч" або "праворуч". На цьому етапі визначення рівноваги Неша ми розглядаємо відповіді гравців другого дії. Якщо гравець два вирішить зіграти "ліворуч", ми можемо зіграти "вгору" з виграшем 1 або зіграти "вниз" з виграшем 3. Оскільки 3 більше, ніж 1, ми виділимо жирним шрифтом 3, що вказує на можливість грати тут "вниз".
Якщо другий гравець вирішить зіграти "правильно", ми можемо або вибрати "зіграти" за виграш 4, або зіграти "вниз" за плей -оф 3. Оскільки 4 більше 3, ми виділяємо 4 жирним шрифтом, щоб вказати можливість відтворення тут "вгору". Товсті результати показані нижче на повній матриці.
| Гравець один / Гравець два | Вліво | Правильно |
| Вгору | (1, 3) | (4, 2) |
| Вниз | (3, 2) | (3, 1) |
Крок другий: Визначте найкращу реакцію гравця на дії його гравця.
Як ми робили раніше з гравцем з двома виграшами для одного гравця, ми будемо приховувати виплати гравця одного при визначенні найкращих відповідей для другого гравця.
| Гравець один / Гравець два | Вліво | Правильно |
| Вгору | (-, 3) | (-, 2) |
| Вниз | (-, 2) | (-, 1) |
Як і при розгляді першого гравця, кожен гравець має два варіанти гри. Якщо один гравець вирішить зіграти "вгору", ми можемо зіграти "вліво" з виграшем 3 або "вправо" з виграшем 2. Оскільки 3 більше 2, ми виділяємо жирний шрифт 3, щоб показати опцію грати тут "ліворуч". Якщо один гравець вирішив зіграти "вниз", ми можемо зіграти "вліво", для виплати 2 або "праворуч", для виплати 1. Оскільки 2 більше 1, ми виділяємо 2 жирним шрифтом, вказуючи на можливість грати тут "ліворуч". Товсті результати показані нижче на повній матриці.
| Гравець один / Гравець два | Вліво | Правильно |
| Вгору | (1, 3) | (4, 2) |
| Вниз | (3, 2) | (3, 1) |
Крок третій: Визначте, які результати мають обидві виплати жирним шрифтом. Цей особливий результат - рівновага Неша.
Тепер ми об’єднуємо жирні варіанти для обох гравців у повній матриці.
| Гравець один / Гравець два | Вліво | Правильно |
| Вгору | (1, 3) | (4, 2) |
| Вниз | (3, 2) | (3, 1) |
Шукайте перехрестя, де обидва виплати виділені жирним шрифтом. У цьому випадку ми знаходимо, що перетин (Вниз, Вліво) з виплатою (3, 2) відповідає нашим критеріям. Це свідчить про нашу рівновагу Неша.
Цей метод знаходження рівноваги Неша добре підходить для пошуку рівноваги в іграх, які є одночасними, оскільки ми дивимось, як гравець реагує незалежно від того, як діє інший. Цей сценарій одночасної гри часто відтворюється в таких компаніях, як авіакомпанії. Нижче наведено приклад, подібний до наведеної вище гри, про те, як можуть скластись ціни на авіакомпанії. Виплати складають тисячі доларів. Пам’ятайте, що це виплати, а не ціни. Спосіб, який ми застосовували раніше, уже застосовується, щоб показати, де з'являється рівновага Неша.
| Авіакомпанія 1 / Авіакомпанія 2 | Низька ціна | Висока ціна |
| Низька ціна | (3,000, 3,000) | (4,000, 2,000) |
| Висока ціна | (2,000, 4,000) | (3,500, 3,500) |
Дивлячись лише на вибір А1, ми можемо побачити, що якщо А2 вирішує грати за низькою ціною, ми вибираємо між низькою ціною за 3 000 або високою ціною за 2 000. Ми вибираємо низький рівень, оскільки 3000> 2000. Ми робимо те саме для A2, що грає за високу ціну, і бачимо, що ми граємо низько, тому що 4000> 3500. І навпаки, дивлячись лише на вибір А2, ми можемо побачити, що якщо А1 вирішує зіграти за низькою ціною, ми вибираємо між "низькою ціною" за 3000 і "високою ціною" за 2000. Оскільки 3000> 2000, ми обираємо тут варіант низької ціни. Якщо A1 має високу ціну, ми можемо стягнути низьку ціну за 4000 або високу ціну за 3500. Оскільки 4000> 3500, ми вирішили зіграти тут за низькою ціною.
Рівновага Неша полягає в тому, що обидві авіакомпанії стягуватимуть низьку ціну (відображається, коли виділено вибір для кожної сторони). Якби обидві авіакомпанії стягували високу ціну, кожному з них було б краще, ніж за рівновагою Неша.
То чому вони не погоджуються це зробити? По -перше, це незаконно змова. По -друге, якби це сталося, однобічна дія від імені однієї авіакомпанії щодо стягнення низької ціни була б вигідною, що призвело б до того, що ця авіакомпанія по черзі заробляла більше грошей. Ця логіка також показує, як досягається рівновага Неша, і чому не вигідно відхилятися від неї після її досягнення.
Множинні рівноваги Неша
Як правило, в грі може бути більше однієї рівноваги. Однак це зазвичай відбувається в іграх зі складнішими елементами, ніж два варіанти вибору двох гравців. В одночасних іграх, які повторюються з часом, одна з цих множинних рівноваг досягається після деякої спроби та помилки. Цей сценарій різного вибору з плином часу до досягнення рівноваги найчастіше відтворюється в ділового світу, коли дві фірми визначають ціни на високозамінні товари, такі як авіаквитки або пільгові послуги напої.
Суть
За допомогою цих передових методів можна моделювати та вирішувати більш реальні ситуації. Різні види рівноваги Неша, які ми обговорювали, є найбільш поширеними рішеннями модельованих ігор у реальному світі. Робочі знання теорії ігор можуть допомогти вам сформувати стратегію, будь то гра в нулики або боротьба за найбільший прибуток.