Jednoduchá a složená definice úroku a vzorec
Úroky jsou definovány jako náklady na půjčení peněz, jako v případě úroků účtovaných ze zůstatku úvěru. Úrokem může být naopak také sazba zaplacená za peníze při vkladu, jako v případě depozitního certifikátu. Úrok lze vypočítat dvěma způsoby: jednoduchý zájem nebo složený úrok.
- Jednoduchý zájem se počítá na ředitel školy, nebo původní částka půjčky.
- Složený úrok je vypočítané z částky jistiny a akumulovaného úroku předchozích období, a lze jej tedy považovat za „úrok z úroku“.
Může existovat a velký rozdíl ve výši úroku splatného z půjčky, pokud se úrok počítá spíše na složeném základě než na jednoduchém základě. Pozitivní je, že kouzlo skládání může ve vašich investicích fungovat ve váš prospěch a může být silným faktorem při vytváření bohatství.
Zatímco prostý úrok a složený úrok jsou základní finanční pojmy, jejich důkladné seznámení vám může pomoci činit informovanější rozhodnutí při čerpání půjčky nebo investování.
Jednoduchý vzorec zájmu
Vzorec pro výpočet jednoduchého úroku je:
Jednoduchý zájem=P×já×nkde:P=Ředitel školyjá=Úroková sazban=Doba půjčky
Pokud je tedy z půjčky 10 000 USD, která je čerpána na tři roky, účtován jednoduchý úrok ve výši 5%, pak se celková částka úroku splatného dlužníkem vypočítá jako 10 000 USD x 0,05 x 3 = 1 500 USD.
Úrok z této půjčky je splatný ve výši 500 USD ročně nebo 1 500 USD po dobu tříleté půjčky.
1:52
SLEDUJTE: Co je to složený úrok?
Složený úrokový vzorec
Vzorec pro výpočet složeného úroku za rok je:
Složený úrok=(P(1+já)n)−PSložený úrok=P((1+já)n−1)kde:P=Ředitel školyjá=Úroková sazba v procentechn=Počet období skládání za rok
Složený úrok = celková částka jistiny a úroků v budoucnosti (nebo fužitná hodnota) mínus částka jistiny v současnosti, tzv současná hodnota (PV). PV je současná hodnota budoucí částky peněz nebo proudu tok peněz daný specifikovaný míra návratnosti.
Pokračováním jednoduchého příkladu úroku, jaká by byla částka úroku, pokud je účtována na složeném základě? V tomto případě by to bylo:
Zájem=$10,000((1+0.05)3−1)=$10,000(1.157625−1)=$1,576.25
Zatímco celkový úrok splatný během tříletého období této půjčky je 1 576,25 USD, na rozdíl od jednoduchého úroku je výše úroku není stejné pro všechny tři roky, protože složený úrok také bere v úvahu kumulovaný úrok předchozích období. Úroky splatné na konci každého roku jsou uvedeny v následující tabulce.
| Rok | Počáteční zůstatek (P) | Úrok 5% (I) | Konečný zůstatek (P+I) |
| 1 | $10,000.00 | $500.00 | $10,500.00 |
| 2 | $10,500.00 | $525.00 | $11,025.00 |
| 3 | $11,025.00 | $551.25 | $11,576.25 |
| Celkový úrok | $1,576.25 |
Slučovací období
Při výpočtu složeného úroku je počet složených období významným rozdílem. Obecně platí, že čím vyšší je počet sloučených období, tím vyšší je množství složeného úroku. Takže za každých 100 $ půjčky na určité období částka úroku narostl na 10% ročně bude nižší než úrok naběhlý na 5% pololetně, což bude zase nižší než naakumulovaný úrok na 2,5% čtvrtletně.
Ve vzorci pro výpočet složeného úroku musí být proměnné „i“ a „n“ upraveny, pokud je počet období skládání více než jednou za rok.
To znamená, že v závorkách musí být „i“ nebo úroková sazba děleno „n“, což je počet složených období za rok. Mimo závorky musí být „n“ vynásobeno „t“, což je celková délka investice.
Proto u 10leté půjčky ve výši 10%, kde se úrok sráží pololetně (počet období skládání = 2), i = 5% (tj. 10% ÷ 2) a n = 20 (tj. 10 x 2).
Pro výpočet celkové hodnoty se složeným úrokem byste použili tuto rovnici:
Celková hodnota se složeným úrokem=(P(n1+já)nt)−PSložený úrok=P((n1+já)nt−1)kde:P=Ředitel školyjá=Úroková sazba v procentechn=Počet období skládání za rokt=Celkový počet let pro investici nebo půjčku
Následující tabulka ukazuje rozdíl v tom, že počet složených období může být v průběhu času u půjčky 10 000 USD přijaté na období 10 let.
| Slučovací frekvence | Počet složených období | Hodnoty pro i/n a nt | Celkový úrok |
| Každoročně | 1 | i/n = 10%, nt = 10 | $15,937.42 |
| Pololetně | 2 | i/n = 5%, nt = 20 | $16,532.98 |
| Čtvrtletní | 4 | i/n = 2,5%, nt = 40 | $16,850.64 |
| Měsíční | 12 | i/n = 0,833%, nt = 120 | $17,059.68 |
Další koncepty složeného úroku
Časová hodnota peněz
Vzhledem k tomu, že peníze nejsou „zdarma“, ale mají náklady z hlediska splatných úroků, vyplývá z toho, že dolar dnes má větší hodnotu než dolar v budoucnosti. Tento koncept je známý jako časová hodnota peněz a tvoří základ pro relativně pokročilé techniky jako diskontovaný peněžní tok (DCF) analýza. Opak spojování je známý jako diskontování. Diskontní faktor lze považovat za převrácenou hodnotu úrokové sazby a je faktorem, kterým je třeba vynásobit budoucí hodnotu, abychom získali současnou hodnotu.
Vzorce pro získání budoucí hodnoty (FV) a současné hodnoty (PV) jsou následující:
F V=PPROTI×(n1+já)ntPV=FPROTI÷(n1+já)ntkde:já=Úroková sazba v procentechn=Počet období skládání za rokt=Celkový počet let pro investici nebo půjčku
Například budoucí hodnota 10 000 $ se po dobu tří let kombinuje s 5% ročně:
= $10,000 (1 + 0.05)3
= $10,000 (1.157625)
= $11,576.25.
Současná hodnota 11 576,25 USD diskontovaná 5% po dobu tří let:
= $11,576.25 / (1 + 0.05)3
= $11,576.25 / 1.157625.
= $10,000.
Reciproční hodnota 1,157625, která se rovná 0,8638376, je v tomto případě diskontním faktorem.
Pravidlo 72
The Pravidlo 72 vypočítá přibližný čas, za který se investice při dané míře návratnosti nebo úroku „i“ zdvojnásobí, a je dán (72 ÷ i). Může být použit pouze pro roční kompilaci, ale může být velmi užitečný při plánování, kolik peněz byste mohli očekávat v důchodu.
Například investice, která má roční výnos 6%, se za 12 let zdvojnásobí (72 ÷ 6%).
Investice s roční návratností 8% se za devět let zdvojnásobí (72 ÷ 8%).
Složená roční míra růstu (CAGR)
The složené roční tempo růstu (CAGR) se používá pro většinu finančních aplikací, které vyžadují výpočet jediné míry růstu za období.
Pokud se například vaše investiční portfolio během pěti let rozrostlo z 10 000 na 16 000 dolarů, co je tedy CAGR? V zásadě to znamená, že PV = 10 000 $, FV = 16 000 $ a nt = 5, takže je třeba vypočítat proměnnou „i“. Pomocí finanční kalkulačky popř excelové tabulky, lze prokázat, že i = 9,86%.
Vezměte prosím na vědomí, že podle konvence o peněžních tocích je vaše počáteční investice (PV) 10 000 $ zobrazena se záporným znaménkem, protože představuje odliv finančních prostředků. PV a FV musí mít nutně opačné znaménka k vyřešení „i“ ve výše uvedené rovnici.
Real-Life aplikace
CAGR se široce používá k výpočtu výnosů za období pro akcie, podílové fondy a investiční portfolia. CAGR se také používá ke zjištění, zda správce podílového fondu nebo správce portfolia během určitého období překročil tržní výnos. Pokud například tržní index poskytl celkové výnosy 10% za pět let, ale správce fondu za stejné období generoval pouze roční výnosy 9%, pak správce nedostatečně výkonné trh.
CAGR lze také použít k výpočtu očekávané míry růstu investičních portfolií po dlouhá období, což je užitečné pro účely, jako je spoření na důchod. Zvažte následující příklady:
- Investor, který odmítá riskovat, je spokojený se skromnou 3% roční mírou návratnosti svého portfolia. Její současné portfolio 100 000 $ by tedy po 20 letech vzrostlo na 180 611 $. Naproti tomu investor tolerantní k riziku, který u svého portfolia očekává roční výnos 6%, by po 20 letech viděl růst 100 000 USD na 320 714 USD.
- CAGR lze použít k odhadu, kolik je třeba uložit, aby se šetřilo na konkrétní cíl. Pár, který by chtěl ušetřit 50 000 $ za 10 let na zálohu na byt, by musel ušetřit 4 165 $ ročně, pokud předpokládá roční návratnost (CAGR) 4% ze svých úspor. Pokud jsou připraveni přijmout další riziko a očekávat CAGR 5%, pak by museli ušetřit 3 975 USD ročně.
- CAGR lze také použít k demonstraci výhod investování dříve než později v životě. Pokud je cílem ušetřit 1 milion dolarů odchodem do důchodu ve věku 65 let, na základě CAGR 6%, 25letý člověk by k dosažení tohoto cíle musel ušetřit 6 462 dolarů ročně. Čtyřicetiletý člověk by naopak musel dosáhnout 18 227 dolarů, tedy téměř trojnásobek této částky, aby dosáhl stejného cíle.
Další úvahy o zájmu
Ujistěte se, že znáte přesnou roční sazbu plateb (APR) na vaší půjčce, protože způsob výpočtu a počet období skládání může mít dopad na vaše měsíční platby. Zatímco banky a finanční instituce mají standardizované metody pro výpočet úroků splatných z hypoték a jiných půjček, výpočty se mohou v každé zemi mírně lišit.
Sloučení může fungovat ve váš prospěch, pokud jde o vaše investice, ale může také fungovat pro vás při splácení půjčky. Například provést poloviční splátku hypotéky dvakrát za měsíc, než provést úplnou platbu jednou za měsíc, nakonec zkrátí dobu odepisování a ušetří vám značnou část úroků.
Sloučení může fungovat proti vám, pokud nosíte půjčky s velmi vysokými úrokovými sazbami, jako je dluh kreditní karty nebo obchodního domu. Například zůstatek kreditní karty ve výši 25 000 USD s úrokovou sazbou 20% - sráženo měsíčně - by mělo za následek celkový úrokový poplatek 5 485 USD za jeden rok nebo 457 USD za měsíc.
Sečteno a podtrženo
Získejte kouzlo kombinování práce za vás pravidelným investováním a zvýšením frekvence splácení půjčky. Seznámení se se základními pojmy jednoduchého úroku a složeného úroku vám pomůže činit lepší finanční rozhodnutí, ušetřit vám tisíce dolarů a zvýšit čistou hodnotu čas.