Optimer din portefølje ved hjælp af normal distribution

Det Normal fordeling er sandsynlighedsfordelingen, der tegner alle sine værdier på en symmetrisk måde med de fleste af resultaterne placeret omkring sandsynlighedens middel.

Normal distribution (Bell Curve)

Datasæt (som højden på 100 mennesker, mærker opnået af 45 elever i en klasse osv.) Har en tendens til at have mange værdier på det samme datapunkt eller inden for det samme område. Denne fordeling af datapunkter kaldes det normale eller klokkekurve fordeling.

For eksempel kan 10 i en gruppe på 100 individer være under 5 fod høje, 65 stå mellem 5 og 5,5 fod og 25 kan være over 5,5 fod. Denne områdebundne fordeling kan afbildes som følger:

Billede af Sabrina Jiang © Investopedia 2021

Tilsvarende kan datapunkter, der er afbildet i grafer for et givet datasæt, ligne forskellige distributionstyper. Tre af de mest almindelige er venstrejusterede, højrejusterede og blandede fordelinger:

Bemærk det røde trendlinje i hver af disse grafer. Dette angiver nogenlunde datadistributionstendensen. Den første, "LEFT Aligned Distribution", angiver, at et flertal af datapunkterne falder i det lavere område. I den anden “RIGHT Aligned Distribution” -graf falder størstedelen af datapunkter i den højere ende af intervallet, mens det sidste, "Jumbled Distribution", repræsenterer et blandet datasæt uden nogen klar trend.

instagram viewer

Der er mange tilfælde, hvor fordelingen af datapunkter har en tendens til at være omkring en central værdi, og at grafen viser a perfekt normal fordeling - lige afbalanceret på begge sider, med det højeste antal datapunkter koncentreret i centrum.

Her er et perfekt, normalt distribueret datasæt:

Den centrale værdi her er 50 (som har flest antal datapunkter), og fordelingen aftager ensartet mod ekstreme slutværdier på 0 og 100 (som har færrest antal datapunkter). Det Normal fordeling er symmetrisk omkring den centrale værdi med halvdelen af værdierne på hver side.

Mange virkelige eksempler passer til fordelingen af klokkekurven:

Kast en fair mønt mange gange (sig 100 gange eller mere), og du får en afbalanceret normal fordeling af hoveder og haler.
Kast et par fair terninger mange gange (sig 100 gange eller mere), og resultatet bliver en afbalanceret, normal fordeling centreret omkring tallet 7 og ensartet tilspidset mod ekstreme endeværdier på 2 og 12.
Højden på enkeltpersoner i en gruppe af betydelig størrelse og mærker opnået af mennesker i en klasse følger begge normale fordelingsmønstre.
I finansiering, ændringer i logværdieraf forex kurser, prisindeks og aktiekurser antages at være normalfordelt.

Risiko og afkast

Enhver investering har to aspekter: risiko og afkast. Investorer leder efter den lavest mulige risiko for det højest mulige afkast. Normalfordelingen kvantificerer disse to aspekter ved hjælp af betyde for retur og standardafvigelse for risiko.

Gennemsnitlig eller forventet værdi

En særlig gennemsnitlig ændring af en akties kurs kan være 1,5% på daglig basis - hvilket betyder, at den i gennemsnit stiger med 1,5%. Denne middelværdi eller forventet værdi kan betyde afkast ved at beregne gennemsnittet på et stort nok datasæt indeholdende historiske daglige prisændringer for denne aktie. Jo højere middelværdien er, jo bedre.

Standardafvigelse

Standardafvigelse angiver det beløb, hvormed værdier i gennemsnit afviger fra middelværdien. Jo højere standardafvigelsen er, desto mere risikabel er investeringen, da den fører til mere usikkerhed.

Her er en grafisk fremstilling af det samme:

Derfor muliggør den grafiske repræsentation af normalfordeling gennem middelværdi og standardafvigelse repræsentation af både afkast og risiko inden for et klart defineret område.

Det hjælper at vide (og være sikker med sikkerhed), at hvis nogle datasæt følger det normale fordelingsmønster, vil dets gennemsnit gøre det muligt for os at vide, hvad afkastet kan forventes, og dets standard afvigelse vil gøre os i stand til at vide, at omkring 68% af værdierne vil være inden for 1 standardafvigelse, 95% inden for 2 standardafvigelser og 99% af værdierne vil falde inden for 3 standarder afvigelser. Et datasæt, der har et gennemsnit på 1,5 og standardafvigelse på 1, er meget mere risikabelt end et andet datasæt, der har et gennemsnit på 1,5 og en standardafvigelse på 0,1.

At kende disse værdier for hvert valgt aktiv (dvs. aktier, obligationer og fonde) vil gøre en investor opmærksom på det forventede afkast og risici.

Det er let at anvende dette koncept og repræsentere risiko og afkast på en enkelt aktie, obligation eller fond. Men kan dette udvides til en portefølje med flere aktiver?

Enkeltpersoner begynder at handle med at købe en enkelt aktie eller obligation eller investere i en investeringsforening. Efterhånden har de en tendens til at øge deres beholdning og købe flere aktier, fonde eller andre aktiver og derved skabe en portefølje. I dette trinvise scenario opbygger enkeltpersoner deres porteføljer uden en strategi eller megen overvejelse. Professionelle fondsforvaltere, handlende og market-makers følger en systematisk metode til at opbygge deres portefølje ved hjælp af en matematisk tilgang kaldet moderne porteføljeteori (MPT), der er baseret på begrebet "normal distribution".

Moderne porteføljeteori

Moderne porteføljeteori (MPT) tilbyder en systematisk matematisk tilgang, der har til formål at maksimere en porteføljes forventet afkast for en given mængde porteføljerisiko ved at vælge andelen af forskellige aktiver. Alternativt tilbyder den også at minimere risikoen for et givet niveau af forventet afkast.

For at nå dette mål bør de aktiver, der skal indgå i porteføljen, ikke udelukkende vælges ud fra deres egen individuelle fortjeneste, men i stedet om hvordan hvert aktiv vil klare sig i forhold til de andre aktiver i portefølje.

I en nøddeskal definerer MPT, hvordan man bedst opnår porteføljespredning for de bedst mulige resultater: maksimalt afkast for et acceptabelt risikoniveau eller minimal risiko for et ønsket afkastniveau.

Byggeklodser

MPT var et så revolutionerende koncept, da det blev introduceret, at dets opfindere vandt en nobelpris. Denne teori gav med succes en matematisk formel til vejledning diversificering i at investere.

Diversificering er en Risikostyring teknik, der fjerner risikoen "alle æg i en kurv" ved at investere i ikke-korrelerede aktier, sektorer eller aktivklasser. Ideelt set vil den positive ydelse af et aktiv i porteføljen annullere den negative ydelse af andre aktiver.

At tage gennemsnitligt afkast af den portefølje, der har n forskellige aktiver, den forholdsvægtede kombination af bestanddel aktivernes afkast beregnes.

På grund af karakteren af statistiske beregninger og normalfordeling afkast det samlede portefølje (R_{s. s}) beregnes som:

${R.}_{s. s.} = \sum {w.}_{jeg.} {R.}_{jeg.}$ Rs. s=∑wjegRjeg

Summen (∑), hvor w_jeger den forholdsmæssige vægt af aktiv i i porteføljen, R_jeger afkastet (middelværdien) af aktiv i.

Porteføljerisikoen (eller standardafvigelsen) er en funktion af sammenhængene mellem de inkluderede aktiver for alle aktivpar (i forhold til hinanden i parret).

På grund af karakteren af statistiske beregninger og normalfordeling er den samlede porteføljerisiko (Std-dev)_{s. s} beregnes som:

$\begin{matrix} {(S. t. d. - d. e. v.)}_{s. s.} = \\ s. q. r. t. [\sum_{jeg.} \sum_{j.} {w.}_{jeg.} {w.}_{j.} {(s. t. d. - d. e. v.)}_{jeg.} {(s. t. d. - d. e. v.)}_{j.} (c. o. r. - c. o. {f.}_{jeg. j.})] \end{matrix}$ (Std−dev)s. s=sqrt[jeg∑j∑wjegwj(std−dev)jeg(std−dev)j(cor−cofjegj)]

Her er cor-cof korrelationskoefficient mellem returnering af aktiver i og j, og sqrt er kvadratroden.

Dette tager sig af den relative ydelse af hvert aktiv i forhold til det andet.

Selvom dette virker matematisk komplekst, omfatter det enkle koncept, der anvendes her, ikke kun standardafvigelser for individuelle aktiver, men også de relaterede i forhold til hinanden.

Et godt eksempel er tilgængeligt her fra University of Washington.

Et hurtigt eksempel på MPT

Som et tankeeksperiment, lad os forestille os, at vi er en porteføljeforvalter der har fået kapital og har til opgave at tildele meget kapital til to tilgængelige aktiver (A & B), så det forventede afkast maksimeres og risikoen sænkes.

Vi har også følgende værdier til rådighed:

R_-en = 0.175.

R_b = 0.055.

(Std-dev)_-en = 0.258.

(Std-dev)_b = 0.115.

(Std-dev)_ab = -0.004875.

(Cor-cof)_ab = -0.164.

Startende med lige 50-50 tildeling til hvert aktiv A & B, er R_{s. s} beregner til 0,115 og (Std-dev)_{s. s} kommer til 0,1323. En simpel sammenligning fortæller os, at for denne 2 aktivportefølje er afkast samt risiko midtvejs mellem individuelle værdier for hvert aktiv.

Imidlertid er vores mål at forbedre porteføljens afkast ud over det gennemsnitlige af enten det enkelte aktiv og reducere risikoen, så den er lavere end de enkelte aktivers.

Lad os nu tage en 1,5 kapitaltildeling position i aktiv A og en -0,5 kapitaltildelingsposition i aktiv B. (Negativ kapitaltildeling betyder kortslutning, at lager og modtaget kapital bruges til at købe overskud af det andet aktiv med positiv kapitaltildeling. Med andre ord forkorter vi lager B for 0,5 gange kapital og bruger disse penge til at købe aktie A for beløb 1,5 gange kapital.)

Ved hjælp af disse værdier får vi R_{s. s} som 0.1604 og (Std-dev)_{s. s} som 0,4005.

På samme måde kan vi fortsætte med at bruge forskellige tildelingsvægte til aktiv A & B og nå frem til forskellige sæt Rp og (Std-dev) s. Ifølge det ønskede afkast (Rp) kan man vælge det mest acceptable risikoniveau (std-dev) s. Alternativt kan man for det ønskede risikoniveau vælge det bedst tilgængelige porteføljeafkast. Uanset hvad, gennem denne matematiske model af porteføljeteori er det muligt at opfylde målet om at skabe en effektiv portefølje med den ønskede risiko- og afkastkombination.

Brugen af automatiserede værktøjer gør det let og let at opdage de bedst mulige tildelte proportioner let uden behov for lange manuelle beregninger.

Det effektiv grænse, det Kapitalværdiprismodel (CAPM) og prissætning af aktiver ved hjælp af MPT udvikler sig også fra den samme normale distributionsmodel og er en udvidelse til MPT.

Udfordringer til MPT (og underliggende normalfordeling)

Desværre er ingen matematisk model perfekt, og hver har utilstrækkeligheder og begrænsninger.

Den grundlæggende antagelse om, at aktiekursafkast følger normal distribution i sig selv, stilles spørgsmålstegn ved gang på gang. Der er tilstrækkeligt empirisk bevis på tilfælde, hvor værdier ikke overholder den formodede normalfordeling. At basere komplekse modeller på sådanne antagelser kan føre til resultater med store afvigelser.

Går vi videre ind i MPT, beregningerne og antagelserne om korrelationskoefficient og kovarians resterende faste (baseret på historiske data) er muligvis ikke nødvendigvis gældende for fremtidige forventede værdier. For eksempel viste obligations- og aktiemarkederne en perfekt sammenhæng på det britiske marked fra perioden 2001 til 2004, hvor afkastet fra begge aktiver faldt samtidigt. I virkeligheden er det omvendte blevet observeret over lange historiske perioder før 2001.

Investoradfærd tages ikke i betragtning i denne matematiske model. Skatter og transaktionsomkostninger negligeres, selv om der forudsættes fraktioneret kapitalallokering og mulighed for shorting af aktiver.

I virkeligheden kan ingen af disse antagelser holde stik, hvilket betyder, at realiseret økonomisk afkast kan afvige væsentligt fra forventet overskud.

Bundlinjen

Matematiske modeller giver en god mekanisme til at kvantificere nogle variabler med enkelte, sporbare tal. Men på grund af antagelsens begrænsninger kan modeller mislykkes.

Normalfordelingen, der danner grundlag for porteføljeteorien, gælder muligvis ikke nødvendigvis for aktier og andet finansielt aktiv prismønstre. Porteføljeteori har i sig selv masser af antagelser, som bør undersøges kritisk, inden der tages vigtige økonomiske beslutninger.