Θεωρία Παιγνίων: Πέρα από τα Βασικά
Χρησιμοποιώντας θεωρία παιχνιδιών, μπορούν να διατυπωθούν σενάρια πραγματικού κόσμου για καταστάσεις όπως ο ανταγωνισμός τιμολόγησης και οι εκδόσεις προϊόντων (και πολλά άλλα) και τα αποτελέσματα τους να προβλέπονται. Οι εταιρείες που χρησιμοποιούν (και τηρούν) αυτήν τη συσκευή για τον προσδιορισμό της Nash Equilibrium βλέπουν ένα τεράστιο όφελος στις στρατηγικές προϋπολογισμού τους.
Ποιανου ΣΕΙΡΑ ειναι?
Ενώ τα διαδοχικά παιχνίδια παίζονται με τη σειρά, παίζονται ταυτόχρονα παιχνίδια με κάθε παίκτη να παίρνει την απόφασή του ταυτόχρονα. Με τα ταυτόχρονα παιχνίδια, δεν χρησιμοποιούμε πλέον την κοινή εισαγωγική μέθοδο της επαγωγής προς τα πίσω. Οι υποστηρικτές του θεωρία παιχνιδιών Συχνά καταγράφουν τα διαφορετικά αποτελέσματα σε αυτό που ονομάζεται μήτρα (παρακάτω).
| Παίκτης πρώτος / Παίκτης δύο | Αριστερά | σωστά |
| Πάνω | (1, 3) | (4, 2) |
| Κάτω | (3, 2) | (3, 1) |
Αυτή η μήτρα αναφέρεται ως κανονική μορφή. Οι επιλογές του παίκτη εμφανίζονται στον αριστερό κάθετο άξονα και οι επιλογές του παίκτη δύο στον επάνω οριζόντιο άξονα. Οι αποδόσεις για κάθε παίκτη βρίσκονται στις αντίστοιχες διασταυρώσεις τους και εμφανίζονται ως εξής (παίκτης πρώτος, παίκτης δύο).
Η ισορροπία Nash
Το Nash Equilibrium είναι ένα αποτέλεσμα που, μόλις επιτευχθεί, σημαίνει ότι κανένας παίκτης δεν μπορεί να αυξήσει την απόδοση με την αλλαγή μονομερών αποφάσεων. Μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως "χωρίς τύψεις", με την έννοια ότι μόλις ληφθεί μια απόφαση, ο παίκτης δεν θα μετανιώσει για αποφάσεις λαμβάνοντας υπόψη τις συνέπειες.
Η ισορροπία Nash επιτυγχάνεται με την πάροδο του χρόνου, στις περισσότερες περιπτώσεις. Ωστόσο, μόλις επιτευχθεί η ισορροπία Nash, δεν θα παρεκκλίνει από αυτό. Αφού μάθουμε πώς να βρούμε την ισορροπία Nash, ρίξτε μια ματιά στο πώς μια μονομερής κίνηση θα επηρεάσει την κατάσταση. Έχει νόημα; Δεν θα έπρεπε και γι 'αυτό το Nash Equilibrium περιγράφεται ως "χωρίς τύψεις".
Εύρεση ισορροπίας Nash
Βήμα πρώτο: Προσδιορίστε την καλύτερη απάντηση του παίκτη στις ενέργειες του παίκτη δύο.
Κατά την εξέταση των επιλογών που μπορούν να μεγιστοποιήσουν την απόδοση ενός παίκτη, πρέπει να δούμε πώς πρέπει να ανταποκρίνεται ο παίκτης σε κάθε μία από τις επιλογές που έχει ο παίκτης δύο. Ένας εύκολος τρόπος για να το κάνετε αυτό οπτικά είναι να καλύψετε τις επιλογές του παίκτη δύο. Εξετάστε τη μήτρα που απεικονίζεται στην αρχή αυτού του άρθρου καθώς εφαρμόζουμε αυτήν τη μέθοδο.
| Παίκτης πρώτος / Παίκτης δύο | Αριστερά | σωστά |
| Πάνω | (1, -) | (4, -) |
| Κάτω | (3, -) | (3, -) |
Ο παίκτης πρώτος έχει δύο πιθανές επιλογές για να παίξει: "πάνω" ή "κάτω". Ο παίκτης δύο έχει επίσης δύο επιλογές για να παίξει: "αριστερά ή δεξιά." Σε αυτό το βήμα καθορισμού της ισορροπίας Nash, εξετάζουμε τις απαντήσεις στα δύο παίκτες Ενέργειες. Εάν ο παίκτης δύο επιλέξει να παίξει "αριστερά", μπορούμε να παίξουμε "πάνω" με το κέρδος 1, ή να παίξουμε "κάτω" με την απόδοση 3. Δεδομένου ότι το 3 είναι μεγαλύτερο από 1, θα γράψουμε με έντονο γράμμα το 3 υποδεικνύοντας την επιλογή να παίξετε "κάτω" εδώ.
Εάν ο παίκτης δύο επιλέξει να παίξει "δεξιά", μπορούμε είτε να παίξουμε "πάνω" για αποπληρωμή 4 ή να παίξουμε "κάτω" για πλέι οφ 3. Δεδομένου ότι το 4 είναι μεγαλύτερο από 3, γράφουμε με έντονο γράμμα το 4 για να υποδείξουμε την επιλογή να παίξετε "επάνω" εδώ. Τα έντονα αποτελέσματα εμφανίζονται παρακάτω στην πλήρη μήτρα.
| Παίκτης πρώτος / Παίκτης δύο | Αριστερά | σωστά |
| Πάνω | (1, 3) | (4, 2) |
| Κάτω | (3, 2) | (3, 1) |
Βήμα Δεύτερο: Καθορίστε την καλύτερη απάντηση του παίκτη δύο στις ενέργειες του παίκτη.
Όπως κάναμε πριν με τον παίκτη δύο αποδόσεις για τον παίκτη ένα, θα κρύψουμε τις αποδόσεις του παίκτη ένα όταν καθορίζουμε τις καλύτερες απαντήσεις για τον παίκτη δύο.
| Παίκτης πρώτος / Παίκτης δύο | Αριστερά | σωστά |
| Πάνω | (-, 3) | (-, 2) |
| Κάτω | (-, 2) | (-, 1) |
Όπως ακριβώς κοιτάζοντας τον παίκτη ένα, κάθε παίκτης έχει δύο επιλογές να παίξει. Εάν ένας παίκτης επιλέξει να παίξει "επάνω", μπορούμε να παίξουμε "αριστερά", με αποπληρωμή 3 ή "δεξιά", με απόδοση 2. Δεδομένου ότι το 3 είναι μεγαλύτερο από 2, γράφουμε με έντονο γράμμα το 3 για να δείξουμε την επιλογή να παίζουμε "αριστερά" εδώ. Εάν ένας παίκτης επιλέξει να παίξει "κάτω", μπορούμε να παίξουμε "αριστερά", για αποπληρωμή 2 ή "δεξιά", για αποπληρωμή 1. Δεδομένου ότι το 2 είναι μεγαλύτερο από 1, γράφουμε με έντονα γράμματα το 2 υποδεικνύοντας την επιλογή να παίξετε "αριστερά" εδώ. Τα έντονα αποτελέσματα εμφανίζονται παρακάτω στην πλήρη μήτρα.
| Παίκτης πρώτος / Παίκτης δύο | Αριστερά | σωστά |
| Πάνω | (1, 3) | (4, 2) |
| Κάτω | (3, 2) | (3, 1) |
Βήμα τρίτο: Καθορίστε ποια αποτελέσματα έχουν έντονα και τα δύο κέρδη. Το συγκεκριμένο αποτέλεσμα είναι η ισορροπία Nash.
Τώρα, συνδυάζουμε τις τολμηρές επιλογές και για τους δύο παίκτες στην πλήρη μήτρα.
| Παίκτης πρώτος / Παίκτης δύο | Αριστερά | σωστά |
| Πάνω | (1, 3) | (4, 2) |
| Κάτω | (3, 2) | (3, 1) |
Αναζητήστε διασταυρώσεις όπου και οι δύο αποδόσεις είναι έντονες. Σε αυτήν την περίπτωση, βρίσκουμε ότι η διασταύρωση του (Κάτω, Αριστερά) με την απόδοση του (3, 2) ταιριάζει με τα κριτήριά μας. Αυτό δείχνει την ισορροπία Nash.
Αυτή η μέθοδος εύρεσης ισορροπίας Nash είναι κατάλληλη για εύρεση ισορροπίες σε παιχνίδια που είναι ταυτόχρονα, καθώς εξετάζουμε πώς θα απαντούσε ένας παίκτης ανεξάρτητα από το πώς ενεργεί ο άλλος. Αυτό το σενάριο ενός ταυτόχρονου παιχνιδιού παίζεται συχνά σε επιχειρήσεις όπως οι αεροπορικές εταιρείες. Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα, παρόμοιο με το παραπάνω παιχνίδι, για το πώς μπορεί να διαμορφωθεί η τιμή των αεροπορικών εταιρειών. Οι πληρωμές είναι σε χιλιάδες δολάρια. Θυμηθείτε, αυτές είναι οι πληρωμές και όχι οι τιμές. Η μέθοδος που εφαρμόσαμε προηγουμένως εφαρμόζεται ήδη για να δείξει πού εμφανίζεται η ισορροπία Nash.
| Αεροπορική εταιρεία μία / Αεροπορική εταιρεία δύο | Χαμηλή τιμή | Υψηλή τιμή |
| Χαμηλή τιμή | (3,000, 3,000) | (4,000, 2,000) |
| Υψηλή τιμή | (2,000, 4,000) | (3,500, 3,500) |
Κοιτάζοντας μόνο τις επιλογές του Α1, μπορούμε να δούμε ότι εάν το Α2 επιλέξει να παίξει χαμηλή τιμή, επιλέγουμε μεταξύ χαμηλής τιμής για 3.000 ή υψηλής τιμής για 2.000. Επιλέγουμε χαμηλά, αφού 3.000> 2.000. Κάνουμε το ίδιο πράγμα για το Α2 παίζοντας υψηλή τιμή και βλέπουμε ότι παίζουμε χαμηλά επειδή 4.000> 3.500. Αντιστρόφως, κοιτάζοντας μόνο τις επιλογές του Α2, μπορούμε να δούμε ότι αν το Α1 επιλέξει να παίξει χαμηλή τιμή, επιλέγουμε μεταξύ "χαμηλής τιμής" για 3.000 και "υψηλής τιμής" για 2.000. Από 3.000> 2.000, επιλέγουμε εδώ την επιλογή χαμηλής τιμής. Εάν το A1 παίζει υψηλή τιμή, μπορούμε να χρεώσουμε μια χαμηλή τιμή για 4.000 ή υψηλή τιμή για 3.500. Από 4.000> 3.500, επιλέγουμε να παίζουμε χαμηλή τιμή εδώ.
Το Nash Equilibrium είναι ότι και οι δύο αεροπορικές εταιρείες θα χρεώσουν χαμηλή τιμή (εμφανίζεται όταν επισημαίνονται οι επιλογές για κάθε μέρος). Εάν και οι δύο αεροπορικές εταιρείες χρεώνονταν υψηλή τιμή, η καθεμία θα ήταν καλύτερη από ό, τι στο Nash Equilibrium.
Γιατί λοιπόν δεν συμφωνούν να το κάνουν αυτό; Αρχικά, είναι παράνομο να συμπαιγνία. Δεύτερον, εάν συμβεί αυτό, μια μονομερής ενέργεια εκ μέρους μιας αεροπορικής εταιρείας για τη χρέωση χαμηλής τιμής θα ήταν επωφελής, με αποτέλεσμα η αεροπορική εταιρεία να κερδίζει περισσότερα χρήματα με τη σειρά της. Αυτή η λογική δείχνει επίσης πώς επιτυγχάνεται η ισορροπία Nash και γιατί δεν είναι επωφελές να παρεκκλίνουμε από αυτό μόλις επιτευχθεί.
Πολλαπλές ισορροπίες Nash
Γενικά, μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία ισορροπίες σε ένα παιχνίδι. Ωστόσο, αυτό συμβαίνει συνήθως σε παιχνίδια με πιο περίπλοκα στοιχεία από δύο επιλογές από δύο παίκτες. Σε ταυτόχρονα παιχνίδια που επαναλαμβάνονται με την πάροδο του χρόνου, μία από αυτές τις πολλαπλές ισορροπίες επιτυγχάνεται μετά από κάποια δοκιμή και λάθος. Αυτό το σενάριο διαφορετικών επιλογών με την πάροδο του χρόνου πριν επιτευχθεί ισορροπία είναι το πιο συχνά διαδραματισμένο στο κόσμο των επιχειρήσεων όταν δύο εταιρείες καθορίζουν τιμές για προϊόντα που ανταλλάσσουν πολύ, όπως τα αεροπορικά εισιτήρια ή τα μαλακά αναψυκτικά.
Η κατώτατη γραμμή
Με αυτές τις προηγμένες μεθόδους, μπορούν να μοντελοποιηθούν και να επιλυθούν πιο πραγματικές καταστάσεις. Τα διαφορετικά είδη Nash Equilibria που συζητήσαμε είναι οι πιο συχνά βρεθείσες λύσεις σε παιχνίδια μοντέλου πραγματικού κόσμου. Η λειτουργική γνώση της θεωρίας παιχνιδιών μπορεί να σας βοηθήσει να διαμορφώσετε μια στρατηγική, είτε παίζετε tic-tac-toe είτε αγωνίζεστε για τα μεγαλύτερα κέρδη.