Θεώρημα κεντρικού ορίου (CLT) Ορισμός

Τι είναι το θεώρημα του κεντρικού ορίου (CLT);

Στη θεωρία πιθανοτήτων, το θεώρημα του κεντρικού ορίου (CLT) δηλώνει ότι το διανομή δείγματος η μεταβλητή προσεγγίζει μια κανονική κατανομή (δηλ. μια «καμπύλη καμπάνας») καθώς το μέγεθος του δείγματος γίνεται μεγαλύτερο, υποθέτοντας ότι όλα τα δείγματα είναι όμοια σε μέγεθος και ανεξάρτητα από την πραγματική κατανομή του πληθυσμού σχήμα.

Με άλλα λόγια, το CLT είναι α στατιστικός προϋπόθεση ότι, δεδομένου ενός αρκετά μεγάλου μεγέθους δείγματος από έναν πληθυσμό με πεπερασμένο επίπεδο διακύμανσης, το ο μέσος όρος όλων των μεταβλητών του δείγματος από τον ίδιο πληθυσμό θα είναι περίπου ίσος με τον μέσο όρο του πληθυσμός. Επιπλέον, αυτά τα δείγματα προσεγγίζουν α κανονική κατανομή, με τις διαφορές τους να είναι περίπου ίσες με το διαφορά του πληθυσμού καθώς το μέγεθος του δείγματος είναι μεγαλύτερο σύμφωνα με το νόμος μεγάλων αριθμών.

Παρόλο που αυτή η ιδέα αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τον Abraham de Moivre το 1733, δεν επισημοποιήθηκε μέχρι το 1930, όταν ο Ούγγρος μαθηματικός George Polya το ονόμασε Θεώρημα Κεντρικών Ορίων.

Κατανόηση του Θεωρήματος του Κεντρικού Ορίου

Σύμφωνα με το θεώρημα του κεντρικού ορίου, ο μέσος όρος ενός δείγματος δεδομένων θα είναι πιο κοντά στο μέσο όρο του ο συνολικός πληθυσμός, καθώς το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται, παρά την πραγματική κατανομή του δεδομένα. Με άλλα λόγια, τα δεδομένα είναι ακριβή αν η κατανομή είναι φυσιολογική ή εκτροπική.

Κατά γενικό κανόνα, τα μεγέθη δειγμάτων ίσα ή μεγαλύτερα από 30 θεωρούνται επαρκή για να διατηρηθεί η CLT, πράγμα που σημαίνει ότι η κατανομή των μέσων δείγματος κατανέμεται κανονικά. Ως εκ τούτου, όσο περισσότερα δείγματα παίρνει κανείς, τόσο περισσότερο τα αποτελέσματα που έχουν σχηματιστεί παίρνουν το σχήμα μιας κανονικής κατανομής. Σημειώστε, ωστόσο, ότι η θεωρία του κεντρικού ορίου εξακολουθεί να προσεγγίζεται σε πολλές περιπτώσεις για πολύ μικρότερα μεγέθη δειγμάτων, όπως n = 8 ή n = 5.

Το θεώρημα του κεντρικού ορίου χρησιμοποιείται συχνά σε συνδυασμό με τον νόμο των μεγάλων αριθμών, ο οποίος δηλώνει ότι ο μέσος όρος των μέσων του δείγματος και οι τυπικές αποκλίσεις θα έρθουν πιο κοντά στην εξίσωση του μέσου πληθυσμού και της τυπικής απόκλισης καθώς το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται, κάτι που είναι εξαιρετικά χρήσιμο για την ακριβή πρόβλεψη των χαρακτηριστικών του πληθυσμούς.

Θεώρημα Κεντρικών Ορίων στα Οικονομικά

Το CLT είναι χρήσιμο κατά την εξέταση των αποδόσεων μιας μεμονωμένης μετοχής ή ευρύτερων δεικτών, επειδή η ανάλυση είναι απλή, λόγω της σχετικής ευκολίας δημιουργίας των απαραίτητων οικονομικών δεδομένων. Κατά συνέπεια, οι επενδυτές όλων των τύπων βασίζονται στο CLT για να αναλύσουν τις αποδόσεις των μετοχών, να δημιουργήσουν χαρτοφυλάκια και να διαχειριστούν τον κίνδυνο.

Ας πούμε, για παράδειγμα, ένας επενδυτής επιθυμεί να αναλύσει τη συνολική απόδοση ενός δείκτη μετοχών που περιλαμβάνει 1.000 μετοχές. Σε αυτό το σενάριο, αυτός ο επενδυτής μπορεί απλώς να μελετήσει ένα τυχαίο δείγμα μετοχών, για να καλλιεργήσει τις εκτιμώμενες αποδόσεις του συνολικού δείκτη. Για να είναι ασφαλείς, θα πρέπει να ληφθούν δείγματα τουλάχιστον 30 τυχαία επιλεγμένων μετοχών, σε διάφορους τομείς, για να διατηρηθεί το θεώρημα του κεντρικού ορίου. Επιπλέον, οι μετοχές που είχαν επιλεγεί προηγουμένως πρέπει να αντικατασταθούν με διαφορετικά ονόματα για να εξαλειφθεί η προκατάληψη.