Άθροισμα τετραγώνων Ορισμός
Τι είναι το άθροισμα τετραγώνων;
Το άθροισμα τετραγώνων είναι μια στατιστική τεχνική που χρησιμοποιείται στην ανάλυση παλινδρόμησης για τον προσδιορισμό της διασποράς των σημείων δεδομένων. Σε ένα ανάλυση παλινδρόμησης, ο στόχος είναι να καθοριστεί πόσο καλά μια σειρά δεδομένων μπορεί να προσαρμοστεί σε μια συνάρτηση που θα μπορούσε να βοηθήσει στην εξήγηση πώς δημιουργήθηκε η σειρά δεδομένων. Το άθροισμα τετραγώνων χρησιμοποιείται ως μαθηματικός τρόπος για να βρείτε τη συνάρτηση που ταιριάζει καλύτερα (ποικίλλει ελάχιστα) από τα δεδομένα.
Ο τύπος για το άθροισμα τετραγώνων είναι
Για ένα σετ Χ του ν αντικείμενα:Άθροισμα τετραγώνων=Εγώ=0∑ν(ΧΕγώ−Χ)2όπου:ΧΕγώ=ο Εγώτη στοιχείο στο σετΧ=Ο μέσος όρος όλων των στοιχείων του συνόλου(ΧΕγώ−Χ)=Η απόκλιση κάθε στοιχείου από το μέσο όρο
Το άθροισμα τετραγώνων είναι επίσης γνωστό ως παραλλαγή.
Τι σας λέει το άθροισμα τετραγώνων;
Το άθροισμα των τετραγώνων είναι ένα μέτρο απόκλισης από το μέσο όρο. Στα στατιστικά, ο μέσος όρος είναι ο μέσος όρος ενός συνόλου αριθμών και είναι ο συχνότερα χρησιμοποιούμενος μέτρο της κεντρικής τάσης. Ο αριθμητικός μέσος όρος υπολογίζεται απλά συνοψίζοντας τις τιμές στο σύνολο δεδομένων και διαιρώντας με τον αριθμό των τιμών.
Ας υποθέσουμε ότι οι τιμές κλεισίματος της Microsoft (MSFT) τις τελευταίες πέντε ημέρες ήταν 74,01, 74,77, 73,94, 73,61 και 73,40 σε δολάρια ΗΠΑ. Το άθροισμα των συνολικών τιμών είναι $ 369,73 και η μέση ή μέση τιμή του σχολικού βιβλίου θα ήταν έτσι $ 369,73 / 5 = $73.95.
Αλλά η γνώση του μέσου όρου ενός συνόλου μέτρησης δεν είναι πάντα αρκετή. Μερικές φορές, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε πόση ποικιλία υπάρχει σε ένα σύνολο μετρήσεων. Το πόσο απέχουν οι μεμονωμένες τιμές από τον μέσο όρο μπορεί να δώσει μια εικόνα για το πόσο ταιριάζουν οι παρατηρήσεις ή οι τιμές με το μοντέλο παλινδρόμησης που δημιουργείται.
Για παράδειγμα, αν ένας αναλυτής ήθελε να μάθει αν η τιμή της μετοχής του MSFT κινείται παράλληλα με την τιμή της Apple (AAPL), μπορεί να απαριθμήσει το σύνολο των παρατηρήσεων για τη διαδικασία και των δύο αποθεμάτων για μια ορισμένη περίοδο, ας πούμε 1, 2 ή 10 χρόνια και να δημιουργήσει γραμμικό μοντέλο με καθεμία από τις παρατηρήσεις ή μετρήσεις που καταγράφονται. Εάν η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών (δηλαδή, η τιμή του AAPL και η τιμή του MSFT) δεν είναι μια ευθεία γραμμή, τότε υπάρχουν παραλλαγές στο σύνολο δεδομένων που πρέπει να εξεταστούν.
Στα στατιστικά μιλάνε, αν η γραμμή στο δημιουργημένο γραμμικό μοντέλο δεν περάσει από όλα τα μετρήσεις της αξίας, τότε κάποια από τη μεταβλητότητα που έχει παρατηρηθεί στις τιμές των μετοχών είναι ανεξήγητο. Το άθροισμα των τετραγώνων χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του εάν α γραμμική σχέση υπάρχει μεταξύ δύο μεταβλητών και κάθε ανεξήγητη μεταβλητότητα αναφέρεται ως το υπολειμματικό άθροισμα τετραγώνων.
Το άθροισμα των τετραγώνων είναι το άθροισμα του τετραγώνου της διακύμανσης, όπου η διακύμανση ορίζεται ως το περιθώριο μεταξύ κάθε μεμονωμένης τιμής και του μέσου όρου. Για να προσδιοριστεί το άθροισμα των τετραγώνων, η απόσταση μεταξύ κάθε σημείου δεδομένων και της γραμμής που ταιριάζει καλύτερα τετραγωνίζεται και στη συνέχεια συνοψίζεται. Η γραμμή της καλύτερης προσαρμογής θα ελαχιστοποιήσει αυτήν την τιμή.
Πώς να υπολογίσετε το άθροισμα των τετραγώνων
Τώρα μπορείτε να δείτε γιατί η μέτρηση ονομάζεται άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων ή συνολικά τετράγωνα. Χρησιμοποιώντας το παραπάνω παράδειγμα MSFT, το άθροισμα των τετραγώνων μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
- SS = (74.01 - 73.95)2 + (74.77 - 73.95)2 + (73.94 - 73.95)2 + (73.61 - 73.95)2 + (73.40 - 73.95)2
- SS = (0,06) 2 + (0.82)2 + (-0.01)2 + (-0.34)2 + (-0.55)2
- SS = 1.0942
Προσθέτοντας μόνο το άθροισμα των αποκλίσεων χωρίς τετραγωνισμό θα έχει ως αποτέλεσμα έναν αριθμό ίσο ή κοντά στο μηδέν αφού οι αρνητικές αποκλίσεις θα αντισταθμίσουν σχεδόν τέλεια τις θετικές αποκλίσεις. Για να αποκτήσετε έναν πιο ρεαλιστικό αριθμό, το άθροισμα των αποκλίσεων πρέπει να τετραγωνιστεί. Το άθροισμα των τετραγώνων θα είναι πάντα θετικός αριθμός γιατί το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού, είτε θετικό είτε αρνητικό, είναι πάντα θετικό.
Παράδειγμα του τρόπου χρήσης του αθροίσματος τετραγώνων
Με βάση τα αποτελέσματα του υπολογισμού MSFT, ένα υψηλό άθροισμα τετραγώνων υποδεικνύει ότι οι περισσότερες από τις τιμές απέχουν περισσότερο από το μέσο όρο και ως εκ τούτου, υπάρχει μεγάλη μεταβλητότητα στα δεδομένα. Ένα χαμηλό άθροισμα τετραγώνων αναφέρεται σε χαμηλή μεταβλητότητα στο σύνολο των παρατηρήσεων.
Στο παραπάνω παράδειγμα, το 1.0942 δείχνει ότι η μεταβλητότητα στην τιμή των μετοχών του MSFT τις τελευταίες πέντε ημέρες είναι πολύ χαμηλή και οι επενδυτές που αναζητούν να επενδύσουν σε μετοχές που χαρακτηρίζονται από σταθερότητα τιμών και χαμηλή μεταβλητότητα μπορεί να επιλέξει MSFT.
Βασικά Takeaways
- Το άθροισμα των τετραγώνων μετρά την απόκλιση των σημείων δεδομένων μακριά από τη μέση τιμή.
- Ένα υψηλότερο αποτέλεσμα αθροίσματος τετραγώνων υποδηλώνει μεγάλο βαθμό μεταβλητότητας στο σύνολο δεδομένων, ενώ ένα χαμηλότερο αποτέλεσμα δείχνει ότι τα δεδομένα δεν διαφέρουν σημαντικά από τη μέση τιμή.
Περιορισμοί χρήσης του αθροίσματος τετραγώνων
Η λήψη μιας επενδυτικής απόφασης για το τι απόθεμα να αγοράσετε απαιτεί πολύ περισσότερες παρατηρήσεις από αυτές που αναφέρονται εδώ. Ένας αναλυτής μπορεί να χρειαστεί να εργαστεί με δεδομένα ετών για να γνωρίζει με μεγαλύτερη βεβαιότητα πόσο μεγάλη ή χαμηλή είναι η μεταβλητότητα ενός περιουσιακού στοιχείου. Καθώς προστίθενται περισσότερα σημεία δεδομένων στο σύνολο, το άθροισμα των τετραγώνων γίνεται μεγαλύτερο καθώς οι τιμές θα κατανέμονται περισσότερο.
Οι πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες μετρήσεις διακύμανσης είναι οι τυπική απόκλιση και διαφορά. Ωστόσο, για να υπολογίσετε οποιαδήποτε από τις δύο μετρήσεις, πρέπει πρώτα να υπολογιστεί το άθροισμα των τετραγώνων. Η διακύμανση είναι ο μέσος όρος του αθροίσματος των τετραγώνων (δηλαδή, το άθροισμα των τετραγώνων διαιρούμενο με τον αριθμό των παρατηρήσεων). Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.
Υπάρχουν δύο μέθοδοι ανάλυσης παλινδρόμησης που χρησιμοποιούν το άθροισμα των τετραγώνων: η γραμμική μέθοδος ελάχιστων τετραγώνων και η μέθοδος μη γραμμικών ελάχιστων τετραγώνων. Η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων αναφέρεται στο γεγονός ότι η συνάρτηση παλινδρόμησης ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων της διακύμανσης από τα πραγματικά σημεία δεδομένων. Με αυτόν τον τρόπο, είναι δυνατό να σχεδιαστεί μια συνάρτηση που παρέχει στατιστικά την καλύτερη προσαρμογή για τα δεδομένα. Σημειώστε ότι μια συνάρτηση παλινδρόμησης μπορεί να είναι είτε γραμμική (ευθεία) είτε μη γραμμική (καμπύλη).