アービトラージ価格理論：それは単なる派手な数学ではありません

アービトラージ価格理論（APT） に代わるものです 資本資産価格モデル（CAPM） 資産またはポートフォリオのリターンを説明するため。 それは経済学者によって開発されました スティーブンロス 1970年代に。 何年にもわたって、裁定価格理論は、その比較的単純な仮定のために人気が高まってきました。 ただし、裁定価格理論は、大量のデータと複雑な統計分析を必要とするため、実際に適用するのははるかに困難です。

裁定価格理論とは何か、そしてそれをどのように実践できるかを見てみましょう。

APTとは何ですか？

APTは、金融資産の期待収益とそのリスクの関係に基づく多要素技術モデルです。 モデルは、特定の変化に対する資産のリターンの感度をキャプチャするように設計されています マクロ経済 変数。 投資家や金融アナリストは、これらの結果を使用して証券の価格設定に役立てることができます。

裁定価格理論に内在するのは、誤った価格の証券は短期的でリスクのない利益機会を表すことができるという信念です。 APTは従来のものとは異なります CAPM、単一の要素のみを使用します。 ただし、CAPMと同様に、APTは、因子モデルがリスクとリターンの相関関係を効果的に記述できることを前提としています。

APTの3つの基本的な仮定

資本資産価格モデルとは異なり、裁定価格理論は、投資家が効率的なポートフォリオを保有していることを前提とはしていません。

ただし、理論は3つの基本的な仮定に従います。

• 資産収益は体系的な要因によって説明されます。
• 投資家は、資産のポートフォリオを構築できます。 特定のリスク 多様化によって排除されます。
• 十分に分散されたポートフォリオの間に裁定取引の機会は存在しません。 裁定取引の機会が存在する場合、それらは投資家によって悪用されます。 （これが理論の名前の由来です。）

資本資産価格モデルの仮定

これらは、資本資産価格モデルの仮定よりも緩和された仮定であることがわかります。 そのモデルは、すべての投資家が 平均リターン 資産の分散。 また、同じことを前提としています 効率的なフロンティア すべての投資家が利用できます。

十分に分散されたポートフォリオの場合、裁定価格理論を説明する基本的な式は次のように書くことができます。

$\begin{array}{c}\mathrm{E。}\left({\mathrm{NS。}}_{\mathrm{NS。}}\right)={\mathrm{NS。}}_{\mathrm{NS。}}+{\mathrm{\beta .}}_{1.}{\mathrm{NS。}}_{1.}+{\mathrm{\beta .}}_{2.}{\mathrm{NS。}}_{2.}+\dots +{\mathrm{\beta .}}_{\mathrm{NS。}}{\mathrm{NS。}}_{\mathrm{NS。}}\end{array}$

どこ： E。 ( NS。 NS。 ) = 期待収益。 NS。 NS。 = リスクのない返品。 β. NS。 = の係数に対する感度。 NS。 NS。 NS。 = NS。 NS。 NS。 ファクター価格。 \ begin {aligned}＆E（R_p）= R_f + \ beta_1 f_1 + \ beta_2 f_2 + \ dotso + \ beta_n f_n \\＆\ textbf {where：} \\＆E（R_p）= \ text {Expected return} \\＆R_f = \ text {Risk-free return} \\＆\ beta_n = \ text {Sensitivity to the factor of} n \\＆f_n = n ^ {th} \ text {factor price} \\ \ end {aligned} ​E(NSNS​)=NSNS​+β1​NS1​+β2​NS2​+…+βNS​NSNS​どこ：E(NSNS​)=期待収益NSNS​=リスクのない返品βNS​=の要因に対する感度 NSNSNS​=NSNSNS ファクター価格​

NS_NS 資産が何らかの要因、つまりすべてにさらされていなかった場合のリターンです。

${\mathrm{\beta .}}_{\mathrm{NS。}}=0.$βNS​=0

資本資産価格モデルとは異なり、裁定価格理論は要因を指定しません。 ただし、スティーブンロスとリチャードロールの調査によると、最も重要な要因は次のとおりです。

• の変更 インフレーション
• のレベルの変化 鉱工業生産
• シフトイン リスクプレミアム
• の形の変化 金利の期間構造

研究者のロスとロールによると、上記の要因の変化に驚きが起こらなければ、実際の収益は期待収益と等しくなります。 ただし、要因に予期しない変更があった場合、実際の収益は次のように定義されます。

$\begin{array}{c}{\mathrm{NS。}}_{\mathrm{NS。}}=\mathrm{E。}\left({\mathrm{NS。}}_{\mathrm{NS。}}\right)+{\mathrm{\beta .}}_{1.}{\mathrm{NS。}}_{1.}^{\prime }+{\mathrm{\beta .}}_{2.}{\mathrm{NS。}}_{2.}^{\prime }+\dots +{\mathrm{\beta .}}_{\mathrm{NS。}}{\mathrm{NS。}}_{\mathrm{NS。}}^{\prime }+\mathrm{e。}\\ \text{どこ：}\\ \begin{array}{cc}{\mathrm{NS。}}_{\mathrm{NS。}}^{\prime }=& \text{ファクターの予期せぬ変化または。}\\ \text{驚きの要因。}\end{array}\\ \mathrm{e。}=\text{実際の返品の残りの部分。}\\ 7.\%=2.\%+\mathrm{3.45.}\ast {\mathrm{NS。}}_{1.}+\mathrm{0.033.}\ast {\mathrm{NS。}}_{2.}\\ {\mathrm{NS。}}_{1.}=\mathrm{1.43.}\%\\ {\mathrm{NS。}}_{2.}=\mathrm{2.47.}\%\\ \mathrm{E。}\left({\mathrm{NS。}}_{\mathrm{NS。}}\right)=2.\%+\mathrm{1.43.}\%\ast {\mathrm{\beta .}}_{1.}+\mathrm{2.47.}\%\ast {\mathrm{\beta .}}_{2.}\end{array}$​NSNS​=E(NSNS​)+β1​NS1′​+β2​NS2′​+…+βNS​NSNS′​+eどこ：NSNS′​=​ 要因の予期しない変化または 驚きの要因​e=実際のリターンの残りの部分7%=2%+3.45∗NS1​+0.033∗NS2​NS1​=1.43%NS2​=2.47%E(NSNS​)=2%+1.43%∗β1​+2.47%∗β2​​

f 'に注意してください_NS はファクターまたはサプライズファクターの予期しない変化であり、eは実際のリターンの残りの部分です。

因子感度と因子プレミアムの推定

どうすれば実際に因子感受性を導き出すことができますか？ 資本資産価格モデルでは、実際の資産収益を市場収益に対して単純に回帰することにより、市場収益に対する資産の感応度を測定する資産ベータを導出したことを思い出してください。 因子のベータを導出することは、ほとんど同じ手順です。

推定の手法を説明する目的で ß_NS （係数nに対する感度）および NS_NS （n番目の要素の価格）, 取りましょう S＆P500トータルリターンインデックス そしてその NASDAQコンポジットトータルリターンインデックス 私たちが見つけたいと思う十分に分散されたポートフォリオの代理として ß_NS と NS_NS. 簡単にするために、私たちは知っていると仮定します NS_NS （リスクフリーリターン）は2％です。 また、ポートフォリオの年間期待収益は、S＆P 500トータルリターンインデックスで7％、NASDAQコンポジットトータルリターンインデックスで9％であると想定します。

ステップ1：体系的な要因を決定する

ポートフォリオのリターンを説明する体系的な要因を決定する必要があります。 本物だとしましょう 国内総生産（GDP） 成長率と10年国債利回りの変化が私たちに必要な要素です。 構成銘柄が大きい2つのインデックスを選択したため、ポートフォリオは十分に分散されており、特定のリスクはほぼゼロであると確信できます。

ステップ2：ベータを取得する

私たちは実行しました 回帰 四半期ごとの実質GDP成長率および四半期ごとのTボンド利回りの変化に対する各インデックスの過去の四半期データ。 これらの計算は説明のみを目的としているため、回帰分析の技術的な側面はスキップすることに注意してください。

結果は次のとおりです。

インデックス（ポートフォリオのプロキシ）	ß1 GDP成長率の	ß2 T-Bondの利回りの変化
S＆P500トータルリターンインデックス	3.45	0.033
NASDAQコンポジットトータルリターンインデックス	4.74	0.098

回帰結果は、両方のポートフォリオがGDP成長率に対してはるかに高い感度を持っていることを示しています（GDP成長は通常、 株式市場の変化）およびT債の利回りの変化に対する非常に小さな感度（株式は利回りの変化に対してより敏感ではないため、これも論理的です） ボンド）。

ステップ3：ファクター価格またはファクタープレミアムを取得する

ベータファクターを取得したので、次の一連の方程式を解くことでファクター価格を推定できます。

$7.\%=2.\%+3..4.5.\ast {\mathrm{NS。}}_{1.}+0..0.3.3.\ast {\mathrm{NS。}}_{2.}$7%=2%+3.45∗NS1​+0.033∗NS2​

$9.\%=2.\%+4..7.4.\ast {\mathrm{NS。}}_{1.}+0..0.9.8.\ast {\mathrm{NS。}}_{2.}$9%=2%+4.74∗NS1​+0.098∗NS2​
これらの方程式を解くと、次のようになります。

${\mathrm{NS。}}_{1.}=1..4.3.\%$NS1​=1.43%および。

${\mathrm{NS。}}_{2.}=2..4.7.\%$NS2​=2.47%

したがって、一般 事前に任意の裁定価格理論方程式 NS ポートフォリオは次のようになります。

$\mathrm{E。}\left({\mathrm{NS。}}_{\mathrm{NS。}}\right)=2.\%+1..4.3.\%\ast {\mathrm{\beta .}}_{1.}+2..4.7.\%\ast {\mathrm{\beta .}}_{2.}$E(NSNS​)=2%+1.43%∗β1​+2.47%∗β2​

アービトラージの機会を活用する

裁定取引なしの条件の背後にある考え方は、市場に誤った価格の証券がある場合、投資家はいつでもできるということです 誤った価格の証券と同様の要素感度を備えたポートフォリオを構築し、裁定取引を活用する 機会。

たとえば、インデックスポートフォリオとは別に、次の表にそれぞれのデータが示されているABCポートフォリオがあるとします。

ポートフォリオ	期待収益	ß1	ß2
S＆P500トータルリターンインデックス	7%	3.45	0.033
NASDAQコンポジットトータルリターンインデックス	9%	4.74	0.098
ABCポートフォリオ（またはアービトラージポートフォリオ）	8%	3.837	0.0525
複合インデックスポートフォリオ= 0.7 * S＆P500 + 0.3 * NASDAQ	7.6%	3.837	0.0525

最初の2つのインデックスポートフォリオからポートフォリオを構築できます（S＆P 500トータルリターンインデックスのウェイトは70％、NASDAQ コンポジットトータルリターンインデックスのウェイトは30％）、ABCポートフォリオと同様のファクター感度を備えています。 テーブル。 これを複合インデックスポートフォリオと呼びましょう。 複合インデックスポートフォリオは、ABCポートフォリオと同じ体系的要因のベータを持っていますが、期待収益は低くなっています。

これは、ABCポートフォリオが過小評価されていることを意味します。 次に、Combined Indexポートフォリオをショートさせ、その収益でABCの株式を購入します。 アービトラージポートフォリオとも呼ばれるポートフォリオ（アービトラージを利用するため） 機会）。 すべての投資家が過大評価されたポートフォリオを売り、過小評価されたポートフォリオを購入するので、これは裁定取引の利益を追い払うでしょう。 これが、この理論が裁定価格理論と呼ばれる理由です。

結論

資本資産価格モデルの代替モデルとしての裁定価格理論は、 資産またはポートフォリオの収益を体系的な要因とそのようなものに対する資産/ポートフォリオの感応度で説明する 要因。 理論は、ポートフォリオが 十分に分散されており、市場の均衡価格からの不一致は、 投資家。 実際の収益と期待収益の違いは、ファクターサプライズ（ファクターの期待値と実際の値の違い）によって説明されます。

裁定価格理論の欠点は、体系的な要因を指定していないことですが、アナリストは履歴を回帰することでこれらを見つけることができます ポートフォリオのリターン 次のような要因に対して 実質GDP 成長率、インフレの変化、期間構造の変化、リスクプレミアムの変化など。 回帰方程式を使用すると、ポートフォリオのリターンを説明する体系的な要因と説明しない要素を評価できます。