ブラックショールズモデルの定義：式と方程式

ブラックショールズモデルとは何ですか？

ブラックショールズマートン（BSM）モデルとしても知られるブラックショールズモデルは、オプション契約の価格設定のための数学的モデルです。 特に、このモデルは金融商品の経時変動を推定します。

ブラックショールズモデルを理解する

ブラックショールズモデルは、現代の金融理論における最も重要な概念の1つです。 1973年にフィッシャーブラックによって開発されました。 ロバート・マートン、 と マイロン・ショールズ そして今日でも広く使われています。 これは、オプションの公正価格を決定するための最良の方法の1つと見なされています。 ブラックショールズモデルには、オプションの行使価格、現在の株価、満期までの時間、リスクフリーレート、ボラティリティの5つの入力変数が必要です。

ブラックショールズマートン（BSM）とも呼ばれ、オプション価格設定に広く使用された最初のモデルでした。 これは、現在の株価、予想配当、オプションの行使価格、予想金利、満期までの時間、および予想ボラティリティを使用してオプションの理論値を計算するために使用されます。

最初の方程式は、Black andScholesの1973年の論文「ThePricingof Options andCorporateLiabilities」で紹介されました。 政治経済学ジャーナル. ブラックは、デリバティブの価値を決定するための新しい方法を見つけた功績により、ショールズとマートンが1997年のノーベル経済学賞を受賞する2年前に亡くなりました。 （ノーベル賞は死後に授与されません。 ただし、ノーベル委員会は、ブラックショールズモデルにおけるブラックの役割を認めました。）

ブラックショールズは、株式や先物契約などの商品は、次のように対数正規分布になると考えています。

ランダムウォーク 一定のドリフトとボラティリティを持ちます。 この仮定を使用し、他の重要な変数を考慮に入れると、方程式はヨーロッパスタイルの価格を導き出します コールオプション.

ブラックショールズ方程式の入力は次のとおりです。 ボラティリティ、の価格 原資産、 NS 行使価格 オプションの、オプションの満了までの時間、およびリスクフリー 金利. これらの変数を使用すると、オプションの売り手が販売しているオプションの合理的な価格を設定することが理論的に可能です。

さらに、このモデルは、取引量の多い資産の価格が、一定のドリフトとボラティリティを伴う幾何ブラウン運動に従うことを予測しています。 ストックオプションに適用される場合、モデルには、株式の一定の価格変動、貨幣の時間価値、オプションの行使価格、およびオプションの満期までの時間が組み込まれます。

ブラックショールズの仮定

ブラックショールズモデルは、特定の仮定を行います。

• オプションは ヨーロッパ人 そして、 行使 満了時。
• オプションの存続期間中、配当は支払われません。
• 市場は効率的です（つまり、市場の動きを予測することはできません）。
• オプションの購入に取引費用はかかりません。
• NS リスクフリーレート 原資産のボラティリティは既知であり、一定です。
• 原資産の収益は対数正規分布です。

元のブラックショールズモデルは、オプションの存続期間中に支払われた配当の影響を考慮していませんでしたが、モデルは、 元配当 原株の日付値。 モデルはまた、有効期限が切れる前に行使できるオプションの効果を説明するために、多くのオプション販売マーケットメーカーによって変更されています。

あるいは、企業は 二項 また 三項式 モデルまたは Bjerksund-Stensland より一般的に取引される価格設定のモデル アメリカンスタイル オプション。

ブラックショールズ方程式

数式に含まれる数学は複雑で、威圧的になる可能性があります。 幸いなことに、独自の戦略でブラックショールズモデリングを使用するために、数学を知っている必要はなく、理解する必要もありません。 オプショントレーダーはさまざまなオンラインオプション計算機にアクセスでき、今日の取引プラットフォームの多くは堅牢性を誇っています 計算を実行し、オプション価格を出力するインジケーターとスプレッドシートを含むオプション分析ツール 値。

ブラックショールズの呼び出しオプションの式は、株価に累積標準正規確率分布関数を掛けて計算されます。 その後、行使価格の正味現在価値（NPV）に累積標準正規分布を掛けたものが、前の計算の結果値から差し引かれます。

数学表記：

$\begin{array}{c}\mathrm{NS。}={\mathrm{NS。}}_{\mathrm{NS。}}\mathrm{NS。}\left({\mathrm{NS。}}_{1.}\right)-\mathrm{K。}{\mathrm{e。}}^{-\mathrm{NS。}\mathrm{NS。}}\mathrm{NS。}\left({\mathrm{NS。}}_{2.}\right)\\ \text{どこ：}\\ {\mathrm{NS。}}_{1.}=\frac{\mathrm{l。}\mathrm{NS。}\frac{{\mathrm{NS。}}_{\mathrm{NS。}}}{\mathrm{K。}}+(\mathrm{NS。}+\frac{{\mathrm{\sigma .}}_{\mathrm{v。}}^{2.}}{2.})\mathrm{NS。}}{{\mathrm{\sigma .}}_{\mathrm{NS。}}\sqrt{\mathrm{NS。}}}\\ \text{と。}\\ {\mathrm{NS。}}_{2.}={\mathrm{NS。}}_{1.}-{\mathrm{\sigma .}}_{\mathrm{NS。}}\sqrt{\mathrm{NS。}}\\ \text{どこ：}\\ \mathrm{NS。}=\text{オプション価格を呼び出します。}\\ \mathrm{NS。}=\text{現在の株価（またはその他の原資産）の価格。}\\ \mathrm{K。}=\text{行使価格。}\\ \mathrm{NS。}=\text{無リスク金利。}\\ \mathrm{NS。}=\text{成熟するまでの時間。}\\ \mathrm{NS。}=\text{正規分布。}\end{array}$​NS=NSNS​NS(NS1​)−Ke−NSNSNS(NS2​)どこ：NS1​=σNS​NS​lNSKNSNS​​+(NS+2σv2​​)NS​とNS2​=NS1​−σNS​NS​どこ：NS=コールオプション価格NS=現在の株価（またはその他の原資産）価格K=行使価格NS=無リスク金利NS=成熟するまでの時間NS=正規分布​

ボラティリティスキュー

ブラックショールズは、株価が 対数正規 資産価格を負にすることはできないため、分配されます（ゼロで制限されます）。

多くの場合、資産価格には重要な権利があることが観察されています 歪度 とある程度 尖度 （太い尾）。 これは、リスクの高い下落が、正規分布が予測するよりも頻繁に市場で発生することを意味します。

対数正規の原資産価格の仮定は、ブラックショールズモデルによる各行使価格のインプライドボラティリティが類似していることを示す必要があります。 しかし、1987年の市場暴落以来、アットザマネーオプションのインプライドボラティリティは、金銭から遠く離れたものや金銭から遠く離れたものよりも低くなっています。 この現象の理由は、市場が高ボラティリティが市場の下落に転じる可能性が高い価格設定であるためです。

これにより、ボラティリティスキューが発生しました。 同じオプションのインプライドボラティリティの場合 有効期限 グラフにマッピングすると、笑顔やスキューの形が見られます。 したがって、ブラックショールズモデルはインプライドボラティリティの計算には効率的ではありません。

ブラックショールズモデルの限界

前に述べたように、ブラックショールズモデルはヨーロッパのオプションの価格設定にのみ使用され、米国のオプションが有効期限前に行使される可能性があることを考慮していません。 さらに、このモデルは配当とリスクフリーレートが一定であることを前提としていますが、これは実際には当てはまらない可能性があります。 NS モデルはまた、ボラティリティが一定のままであることを前提としています オプションの存続期間中、ボラティリティは需要と供給のレベルによって変動するため、そうではありません。

さらに、他の仮定-取引費用や税金がないこと。 無リスク金利はすべての満期で一定であること。 収益を使用した有価証券の短期売却は許可されています。 また、リスクのない裁定取引の機会はありません。これらの要因が存在する現実の世界から価格が逸脱する可能性があります。

よくある質問

ブラックショールズモデルは何をしますか？

ブラックショールズマートン（BSM）としても知られるブラックショールズは、オプション価格設定に最初に広く使用されたモデルでした。 株式や先物契約などの商品は、次のように対数正規分布の価格になるという仮定に基づいています。 一定のドリフトとボラティリティを持ち、他の重要な変数を考慮したランダムウォークでは、方程式はヨーロッパスタイルのコールの価格を導き出します オプション。 これは、行使価格の正味現在価値（NPV）に累積基準を掛けたものを差し引くことによって行われます。 株価と累積標準正規確率分布の積からの正規分布 関数。

ブラックショールズモデルの入力は何ですか？

ブラックショールズ方程式の入力は、ボラティリティ、原資産の価格、オプションの行使価格、オプションの満了までの時間、および無リスク金利です。 これらの変数を使用すると、オプションの売り手が販売しているオプションの合理的な価格を設定することが理論的に可能です。

ブラックショールズモデルはどのような仮定をしますか？

ブラックショールズモデルは、特定の仮定を行います。 それらの中で最も重要なのは、オプションがヨーロッパであり、満期時にのみ行使できるということです。 その他の仮定は、オプションの存続期間中は配当が支払われないというものです。 市場は効率的です（つまり、市場の動きを予測することはできません）。 オプションの購入に取引費用がかからないこと。 原資産のリスクフリーレートとボラティリティは既知であり、一定です。 また、原資産の収益は対数正規分布です。

ブラックショールズモデルの制限は何ですか？

ブラックショールズモデルは、ヨーロッパのオプションの価格設定にのみ使用され、米国のオプションが有効期限前に行使される可能性があることを考慮していません。 さらに、このモデルは配当とリスクフリーレートが一定であることを前提としていますが、これは実際には当てはまらない可能性があります。 モデルはまた、ボラティリティがオプションの存続期間にわたって一定であると想定していますが、ボラティリティは需要と供給のレベルによって変動するため、そうではありません。

さらに、他の仮定-取引費用や税金がないこと。 無リスク金利はすべての満期で一定であること。 収益を使用した有価証券の短期売却は許可されています。 また、リスクのない裁定取引の機会はありません。これらの要因が存在する現実の世界から価格が逸脱する可能性があります。