Black-Scholes modelio apibrėžimas: formulė ir lygtis

Kas yra „Black-Scholes“ modelis?

„Black-Scholes“ modelis, dar žinomas kaip „Black-Scholes-Merton“ (BSM) modelis, yra matematinis opcionų sutarties kainos nustatymo modelis. Visų pirma, modelis įvertina finansinių priemonių kitimą laikui bėgant.

„Black Scholes“ modelio supratimas

Black-Scholes modelis yra viena iš svarbiausių šiuolaikinės finansų teorijos sąvokų. Jį sukūrė Fischeris Blackas 1973 m. Robertas Mertonas, ir Myronas Scholesas ir vis dar plačiai naudojamas ir šiandien. Tai laikoma vienu iš geriausių būdų nustatyti teisingą pasirinkimo sandorių kainą. „Black-Scholes“ modeliui reikalingi penki įvesties kintamieji: pasirinkimo sandorio kaina, dabartinė akcijų kaina, laikas iki galiojimo pabaigos, nerizikinga norma ir nepastovumas.

Taip pat vadinamas Black-Scholes-Merton (BSM), tai buvo pirmasis plačiai naudojamas variantų kainodaros modelis. Jis naudojamas teorinei opcionų vertei apskaičiuoti naudojant esamas akcijų kainas, numatomus dividendus, pasirinkimo sandorio kainą, numatomas palūkanų normas, laiką iki galiojimo pabaigos ir numatomą nepastovumą.

Pradinė lygtis buvo įtraukta į Black ir Scholes 1973 m. Dokumentą „Pasirinkimo sandorių ir įmonių įsipareigojimų kainodara“. Politinės ekonomikos žurnalas. Blackas mirė dvejus metus, kol Scholesas ir Mertonas buvo apdovanoti 1997 m. Nobelio ekonomikos premija už darbą ieškant naujo išvestinių finansinių priemonių vertės nustatymo metodo. (Nobelio premija neskiriama po mirties; Tačiau Nobelio komitetas pripažino Blacko vaidmenį Black-Scholes modelyje.)

„Black-Scholes“ teigia, kad priemonėms, tokioms kaip akcijų akcijos ar ateities sandoriai, kainų pasiskirstymas bus normalus atsitiktinis ėjimas su nuolatiniu dreifu ir nepastovumu. Naudojant šią prielaidą ir atsižvelgus į kitus svarbius kintamuosius, lygtis nustato europietiško stiliaus kainą skambučio parinktis.

Įvestys Black-Scholes lygčiai yra nepastovumas, kaina pagrindinį turtą, streiko kaina pasirinkimo sandorio galiojimo laikas ir nerizikinga palūkanų norma. Naudojant šiuos kintamuosius, opcionų pardavėjai teoriškai gali nustatyti racionalias jų parduodamų opcionų kainas.

Be to, modelis numato, kad aktyviai parduodamo turto kaina atitinka geometrinį Brauno judėjimą, kuris nuolat kinta ir kinta. Taikant akcijų pasirinkimo sandorį, modelis apima pastovų akcijų kainų kitimą, pinigų laiko vertę, pasirinkimo sandorio kainą ir laiką iki pasirinkimo sandorio galiojimo pabaigos.

Black-Scholes prielaidos

„Black-Scholes“ modelis daro tam tikras prielaidas:

• Variantas yra Europietiškas ir gali būti tik mankštinosi pasibaigus galiojimo laikui.
• Per pasirinkimo sandorio laikotarpį dividendai nemokami.
• Rinkos yra veiksmingos (t. Y. Rinkos judėjimo negalima numatyti).
• Perkant pasirinkimo sandorį nėra jokių išlaidų.
• The nerizikinga norma ir pagrindo nepastovumas yra žinomi ir pastovūs.
• Pagrindinio turto grąža yra įprastai paskirstyta.

Nors pirminiame „Black-Scholes“ modelyje nebuvo atsižvelgiama į pasirinkimo sandorio galiojimo laikotarpiu išmokėtų dividendų poveikį, modelis dažnai pritaikomas, kad būtų atsižvelgta į dividendus, nustatant buvęs dividendas pagrindinių akcijų data. Modelį taip pat modifikuoja daugelis opcionų pardavimo rinkos formuotojų, kad būtų atsižvelgta į pasirinkimo sandorių, kuriais galima pasinaudoti prieš pasibaigiant terminui, poveikį.

Arba įmonės naudos a dvinaris arba trinominis modelis arba Bjerksund-Stensland dažniausiai parduodamų kainų modelį Amerikos stilius galimybės.

„Black-Scholes“ formulė

Formulėje naudojama matematika yra sudėtinga ir gali būti bauginanti. Laimei, jums nereikia žinoti ar net suprasti matematikos, kad galėtumėte naudoti „Black-Scholes“ modeliavimą savo strategijose. Opcionų prekiautojai turi prieigą prie įvairių internetinių opcionų skaičiuotuvų, o daugelis šiandieninių prekybos platformų gali pasigirti patikimomis parinkčių analizės įrankiai, įskaitant rodiklius ir skaičiuokles, kurie atlieka skaičiavimus ir pateikia opcionų kainodarą vertybes.

„Black-Scholes“ pasirinkimo sandorio formulė apskaičiuojama dauginant akcijų kainą iš kaupiamosios standartinės normalios tikimybės pasiskirstymo funkcijos. Vėliau iš gautos ankstesnio skaičiavimo vertės atimama pradinės kainos grynoji dabartinė vertė (NPV), padauginta iš kaupiamojo standartinio normaliojo skirstinio.

Matematiniu žymėjimu:

​C=St​N(d1​)−Ke−rtN(d2​)kur:d1​=σs​t​lnKSt​​+(r+2σv2​​)t​ird2​=d1​−σs​t​kur:C=Skambinimo pasirinkimo kainaS=Dabartinė akcijų (ar kitos pagrindinės) kainaK=Streiko kainar=Palūkanų norma be rizikost=Laikas iki brandosN=Normalus pasiskirstymas​

Pastovumas iškreiptas

„Black-Scholes“ mano, kad akcijų kainos laikosi a log normaliai paskirstymas, nes turto kainos negali būti neigiamos (jos ribojamos nuliu).

Dažnai pastebima, kad turto kainos turi didelę teisę kreivumas ir tam tikru laipsniu kurtosis (riebios uodegos). Tai reiškia, kad didelės rizikos žingsniai žemyn dažnai vyksta dažniau nei prognozuoja įprastas paskirstymas.

Prielaida dėl lognormalių pagrindinio turto kainų turėtų parodyti, kad numanomas kintamumas yra panašus kiekvienai sandorio kainai pagal Black-Scholes modelį. Tačiau nuo 1987 m. Įvykusios rinkos katastrofos numanomi nepastovumo variantai už pinigus buvo mažesni nei tie, kurie yra toliau nuo pinigų arba yra toli nuo pinigų. Šio reiškinio priežastis yra ta, kad rinka yra labiau linkusi į kainų pokyčius, o tai gali lemti neigiamą poveikį rinkoms.

Dėl to atsirado nepastovumo kreivė. Kai numanomas nepastovumas pasirinkimams su tuo pačiu galiojimo laikas nubraižyti grafike, galima matyti šypseną ar iškraipytą formą. Taigi Black-Scholes modelis nėra efektyvus apskaičiuojant numanomą kintamumą.

„Black-Scholes“ modelio apribojimai

Kaip minėta anksčiau, „Black-Scholes“ modelis naudojamas tik Europos opcionų kainoms nustatyti ir neatsižvelgiama į tai, kad JAV opcionai gali būti panaudoti iki galiojimo pabaigos. Be to, šiame modelyje daroma prielaida, kad dividendai ir nerizikingos palūkanos yra pastovios, tačiau iš tikrųjų tai gali būti netiesa. The modelis taip pat daro prielaidą, kad nepastovumas išlieka pastovus per pasirinkimo sandorio galiojimo laikotarpį, o taip nėra, nes nepastovumas kinta priklausomai nuo pasiūlos ir paklausos lygio.

Be to, kitos prielaidos - nėra sandorio išlaidų ar mokesčių; kad nerizikinga palūkanų norma yra pastovi visiems terminams; kad leidžiama parduoti vertybinius popierius, naudojant pajamas; ir kad nėra nerizikingų arbitražo galimybių-tai gali lemti kainas, kurios skiriasi nuo realaus pasaulio, kuriame yra šie veiksniai.

Dažnai užduodami klausimai

Ką veikia „Black-Scholes“ modelis?

„Black-Scholes“, dar žinomas kaip „Black-Scholes-Merton“ (BSM), buvo pirmasis plačiai naudojamas opcionų kainodaros modelis. Remiantis prielaida, kad priemonės, tokios kaip akcijų akcijos ar ateities sandoriai, kainų pasiskirstymas bus normaliai atsitiktinis pasivaikščiojimas su pastoviu svyravimu ir nepastovumu, ir atsižvelgus į kitus svarbius kintamuosius, iš lygties gaunama europinio stiliaus skambučio kaina variantas. Tai daroma atėmus pradinės kainos grynąją dabartinę vertę (NPV), padaugintą iš kaupiamojo standarto normalus pasiskirstymas iš akcijų kainos produkto ir kaupiamasis standartinis normalus tikimybės pasiskirstymas funkcija.

Kokie yra „Black-Scholes“ modelio įėjimai?

„Black-Scholes“ lygties duomenys yra nepastovumas, pagrindinio turto kaina, pasirinkimo sandorio kaina, laikas iki pasirinkimo sandorio galiojimo pabaigos ir nerizikinga palūkanų norma. Naudojant šiuos kintamuosius, opcionų pardavėjai teoriškai gali nustatyti racionalias jų parduodamų opcionų kainas.

Kokias prielaidas daro „Black-Scholes“ modelis?

Black-Scholes modelis daro tam tikras prielaidas. Svarbiausia, kad ši galimybė yra europietiška ir ja galima pasinaudoti tik pasibaigus jo galiojimo laikui. Kitos prielaidos yra tai, kad per pasirinkimo sandorio laikotarpį dividendai nemokami; rinkos yra veiksmingos (t. y. rinkos judėjimo negalima numatyti); kad perkant opcioną sandoris nekainuoja; kad pagrindinės priemonės nerizikinga norma ir nepastovumas yra žinomi ir pastovūs; ir kad pagrindinio turto grąža yra įprastai paskirstyta.

Kokie yra „Black-Scholes“ modelio apribojimai?

„Black-Scholes“ modelis naudojamas tik Europos opcionų kainoms nustatyti ir neatsižvelgiama į tai, kad JAV opcionai gali būti panaudoti iki galiojimo pabaigos. Be to, šiame modelyje daroma prielaida, kad dividendai ir nerizikingos palūkanos yra pastovios, tačiau iš tikrųjų tai gali būti netiesa. Modelis taip pat daro prielaidą, kad kintamumas išlieka pastovus pasirinkimo sandorio galiojimo laikotarpiu, o taip nėra, nes nepastovumas kinta atsižvelgiant į pasiūlos ir paklausos lygį.

Be to, kitos prielaidos - nėra sandorio išlaidų ar mokesčių; kad nerizikinga palūkanų norma yra pastovi visiems terminams; kad leidžiama parduoti vertybinius popierius, naudojant pajamas; ir kad nėra nerizikingų arbitražo galimybių-tai gali lemti kainas, kurios skiriasi nuo realaus pasaulio, kuriame yra šie veiksniai.