Kaip sukurti vertinimo modelius, tokius kaip „Black-Scholes“

Galimybių vertinimas gali būti sudėtingas verslas. Apsvarstykite tokį scenarijų: 2015 m. Sausio mėn. IBM akcijų kaina buvo 155 USD, ir jūs tikėjotės, kad per ateinančius vienerius metus ji padidės. Jūs ketinate įsigyti A. skambučio parinktis ant IBM akcijų su Bankomatasstreiko kaina 155 USD, tikėdamiesi gauti didelę procentinę grąžą, pagrįstą nedidelėmis pasirinkimo išlaidomis (opciono priemoka), palyginti su akcijų pirkimu su didele pirkimo kaina.

Šiandien yra keletas skirtingų paruoštų metodų, skirtų vertės pasirinkimams, įskaitant Black-Scholes modelis ir dvinario medžio modelis- kuris gali greitai atsakyti. Tačiau kokie yra pagrindiniai veiksniai ir varomoji jėga, leidžianti pasiekti tokius vertinimo modelius? Ar galima kažką panašaus parengti remiantis šių modelių koncepcija?

Čia aptariame statybinius blokus, pagrindines sąvokas ir veiksnius, kurie gali būti naudojami kaip pagrindas a turto, pvz., pasirinkimo sandorių, vertinimo modelis, leidžiantis palyginti „Black-Scholes“ (BS) kilmę modelis.

Šiuo straipsniu neketinama ginčyti BS modelio prielaidų ar kitų veiksnių (o tai visai kita tema); juo labiau siekiama paaiškinti pagrindinę Black-Scholes modelio koncepciją kartu su vertinimo modelio kūrimo idėja.

Pasaulis prieš juodaodžius

Iki Black-Scholes, pusiausvyros pagrindu Kapitalo turto kainodaros modelis (CAPM) buvo plačiai sekama. Grąža ir rizika buvo subalansuoti tarpusavyje, atsižvelgiant į investuotojo pageidavimą, t rizikingam investuotojui buvo tikimasi gauti didesnę (panašią) grąžą proporcija.

BS modelio šaknys slypi CAPM. Pasak Fischerio Blacko: „Kapitalo turto kainodaros modelį taikiau kiekvienam orderio gyvavimo momentui visos įmanomos akcijų kainos ir garantijos vertės “. Deja, CAPM negalėjo įvykdyti šio reikalavimo orderį (pasirinktinai) kainodara.

„Black-Scholes“ išlieka pirmasis modelis, pagrįstas koncepcija arbitražas, keičiant paradigmą nuo rizikos modelių (pvz., CAPM). Šis naujas BS modelio kūrimas pakeitė CAPM atsargų grąžinimo koncepciją, pripažindamas, kad puikiai apsidraudęs pozicija uždirbs a nerizikinga norma. Tai pašalino rizikos ir grąžos svyravimus ir nustatė arbitražo sąvoką, kurioje vertinimai yra atliekami remiantis rizikos neutralios koncepcijos prielaidomis-apdrausta (nerizikinga) pozicija turėtų lemti a be rizikos grąžos norma.

Juodojo Scholeso raida

Pradėkime nuo problemos nustatymo, kiekybinio įvertinimo ir jos sprendimo sistemos sukūrimo. Mes tęsiame savo pavyzdį, kaip įvertinti bankomato skambučio pasirinkimą IBM, kurio pradinė kaina yra 155 USD, pasibaigus vieneriems metams.

Remiantis pagrindiniu a apibrėžimu skambučio parinktis, nebent akcijų kaina pasiektų pradinį kainų lygį, atsipirkimas išlieka lygus nuliui. Pasibaigus šiam lygiui, išmoka didėja linijiškai (t. Y. Vieno dolerio padidėjimas pagrindinėje bazėje suteiks vieno dolerio atsipirkimo galimybę iš pasirinkimo sandorio).

Darant prielaidą, kad pirkėjas ir pardavėjas susitaria dėl tikrojo įvertinimo (įskaitant nulinę kainą), teorinė šios pirkimo pasirinkimo sandorio kaina bus:

• Skambučio pasirinkimo sandorio kaina = 0 USD, jei yra
• Skambučio pasirinkimo sandorio kaina = (pagrindinė - įspėjimas), jei pagrindinė> = įspėjimas (mėlyna diagrama)

Tai atstovauja tikroji vertė pasirinkimo sandorio pirkėjo požiūriu puikiai atrodo. Raudonajame regione tiek pirkėjas, tiek pardavėjas turi teisingą vertinimą (nulinė kaina pardavėjui, nulinė išmoka pirkėjui). Tačiau vertinimo uždavinys prasideda nuo mėlynojo regiono, nes pirkėjas turi pranašumą a teigiamas atsipirkimas, o pardavėjas patiria nuostolių (su sąlyga, kad pagrindinė kaina viršija streiką kaina). Čia pirkėjas turi pranašumą prieš pardavėją, kurio kaina yra lygi nuliui. Kainos turi būti ne nulinės, kad kompensuotų pardavėjui prisiimtą riziką.

Pirmuoju atveju (raudona diagrama) teoriškai pardavėjas gauna nulinę kainą, o pirkėjas turi nulinį atsipirkimo potencialą (teisingas abiem). Pastaruoju atveju (mėlyna diagrama) skirtumą tarp pagrindinio ir streiko pardavėjas turi sumokėti pirkėjui. Pardavėjo rizika apima visus metus. Pavyzdžiui, pagrindinė akcijų kaina gali labai pakilti (tarkim, iki 200 USD per keturis mėnesius), o pardavėjas privalo sumokėti pirkėjui 45 USD skirtumą.

Taigi, jis susideda iš:

1. Ar pagrindinės prekės kaina viršys pradinę kainą?
2. Jei taip, kokia gali būti pagrindinė kaina (nes tai lems pirkėjo atsipirkimą)?

Tai rodo didelę riziką, kurią prisiima pardavėjas, todėl kyla klausimas - kodėl kažkas turėtų parduoti tokį skambutį, jei nieko negauna už prisiimtą riziką?

Mūsų tikslas yra pasiekti vieną kainą, kurią pardavėjas turėtų sumokėti pirkėjui, o tai jam gali kompensuoti bendrą riziką, kurią jis prisiima per metus - tiek nulinio mokėjimo regione (raudona spalva), tiek linijinio mokėjimo regione (mėlyna). Kaina turėtų būti teisinga ir priimtina tiek pirkėjui, tiek pardavėjui. Jei ne, tada tas, kuris turi nepalankias sąlygas mokėti ar gauti nesąžiningą kainą, nedalyvaus rinkoje, taip prarasdamas prekybos verslo tikslą. „Black-Scholes“ modeliu siekiama nustatyti šią teisingą kainą, atsižvelgiant į pastovius akcijų kainų svyravimus pinigų laiko vertė, pasirinkimo sandorio kaina ir laikas iki opciono galiojimo pabaigos. Panašiai kaip BS modelis, pažiūrėkime, kaip galime tai įvertinti savo pavyzdyje, naudodami savo metodus.

Kaip įvertinti vidinę vertę mėlyname regione?

Yra keletas būdų, kaip numatyti kainų pokyčius ateityje per tam tikrą laikotarpį:

• Galima analizuoti panašius tos pačios trukmės kainų pokyčius netolimoje praeityje. Istorinė IBM uždarymo kaina rodo, kad per pastaruosius vienerius metus (sausio mėn. Nuo 2014 m. Gruodžio 2 d. 31), kaina nukrito iki 160,44 USD nuo 185,53 USD, sumažėjo 13,5%.Ar galime padaryti IBM -13,5% kainų pokytį?
• Tolesnis išsamus patikrinimas rodo, kad jis pasiekė aukščiausią metinę kainą - 199,21 USD (2014 m. Balandžio 10 d.) Ir metinę žemiausią - 150,5 USD (gruodžio mėn. 16, 2014). Remdamasis jais pradžios dieną, sausio mėn. 2, o uždarymo kaina -185,53 USD, procentinis pokytis svyruoja nuo +7,37% iki -18,88%. Dabar skirtumų diapazonas atrodo daug platesnis, palyginti su anksčiau apskaičiuotu 13,5%sumažėjimu.

Galima atlikti panašią istorinių duomenų analizę ir stebėjimus. Norėdami tęsti savo kainodaros modelio kūrimą, tarkime, kad tai paprasta metodika būsimiems kainų svyravimams įvertinti.

Tarkime, kad IBM kasmet padidėja 10% (remiantis pastarųjų 20 metų istoriniais duomenimis). Pagrindinė statistika rodo, kad tikimybė, kad IBM akcijų kaina pasikeis apie +10%, bus didelė didesnė nei tikimybė, kad IBM kaina pakils 20% arba sumažės 30%, darant prielaidą, kad istoriniai modeliai kartoti. Surinkti panašius istorinius duomenų taškus su tikimybių reikšmėmis, apskritai laukiamos grąžos apie IBM akcijų kainą per vienerių metų laikotarpį galima apskaičiuoti kaip svertinis vidurkis tikimybių ir susijusių grąžų. Pavyzdžiui, tarkime, kad IBM istoriniai kainų duomenys rodo šiuos žingsnius:

• (-10%) 25% kartų,
• +10% 35% kartų,
• +15% 20% kartų,
• +20% 10% kartų,
• +25% per 5% kartų ir
• (-15%) per 5% kartų.

Taigi svertinis vidurkis (arba laukiama vertė) yra toks:

(-10%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5% – 15%*5%)/100% = 6.5%

Tai reiškia, kad vidutiniškai tikimasi, kad IBM akcijų kaina per metus sugrįš +6,5% už kiekvieną dolerį. Jei kas nors perka IBM akcijas vienerių metų laikotarpiu ir 155 USD pirkimo kainą, galima tikėtis 155*6,5% = 10,075 USD grynosios grąžos.

Tačiau tai skirta atsargų grąžinimui. Turime ieškoti panašios tikėtinos skambučio pasirinkimo grąžos.

Remiantis nuliniu skambučio atsipirkimu, kuris yra mažesnis už pradinę kainą (esamas 155 USD - skambutis bankomatu), visi neigiami žingsniai generuos nulinį atsipirkimą, o visi teigiami žingsniai, viršijantys pradinę kainą, generuos ekvivalentą atsipirkimas. Taigi tikėtina pirkimo pasirinkimo grąža bus tokia:

(-0%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5%—0%*5%)/100% = 9.75%

Tai yra, už kiekvieną 100 USD, investuotą perkant šią parinktį, galima tikėtis 9,75 USD (remiantis aukščiau pateiktomis prielaidomis).

Tačiau tai vis dar apsiriboja tikrojo pasirinkimo sandorio sumos vertinimu ir netinkamai atspindi riziką opcionų pardavėjas padengia didelius svyravimus, kurie gali atsirasti tarpiniu laikotarpiu (aukščiau ir aukščiau minėtu laikotarpiu) kainos). Be vidinės vertės, kokia kaina gali susitarti pirkėjas ir pardavėjas, kad pardavėjas būtų teisingai kompensuotas už riziką, kurią jis prisiima per vienerių metų laikotarpį?

Šie svyravimai gali labai skirtis ir pardavėjas gali turėti savo interpretaciją, kiek jis nori gauti kompensaciją. „Black-Scholes“ modelis prisiima europietiško pasirinkimo variantus, t. Y. Jokių pratimų iki galiojimo pabaigos. Taigi jai įtakos neturi tarpiniai kainų svyravimai ir jos vertinimas grindžiamas prekybos dienomis iki pabaigos.

Tikroje dienos prekyboje tai nepastovumas vaidina svarbų vaidmenį nustatant pasirinkimo sandorių kainas. Mėlynosios išmokos funkcija, kurią dažniausiai matome, iš tikrųjų yra išmokėjimas galiojimo pabaigos dieną. Realiai, pasirinkimo sandorio kaina (rožinė diagrama) visada yra didesnė už atsipirkimą (mėlyna diagrama), nurodant kainą, kurią pardavėjas paėmė siekdamas kompensuoti savo riziką. Štai kodėl pasirinkimo sandorio kaina taip pat žinoma kaip „priemoka“ - iš esmės nurodant rizikos priemoka.

Tai gali būti įtraukta į mūsų vertinimo modelį, atsižvelgiant į tai, kiek tikimasi akcijų kainos nepastovumo ir kiek tikėtinos vertės.

„Black-Scholes“ modelis tai daro efektyviai (žinoma, pagal savo prielaidas) taip:

​C=S×N(d1​)−X×e−rTN(d2​)​

BS modelis prisiima log normalų akcijų kainų pokyčių pasiskirstymą, o tai pateisina N (d1) ir N (d2) naudojimą.

• Pirmoje dalyje S nurodo dabartinę akcijų kainą.
• N (d1) rodo dabartinio akcijų kainų judėjimo tikimybę.

Jei pasirinkus šią galimybę pinigai bus leidžiami pirkėjui pasinaudoti šia galimybe, jis gaus vieną pagrindinių IBM akcijų dalį. Jei prekiautojas tai atlieka šiandien, tada S*N (d1) reiškia šiandieną tikėtina vertė pasirinkimo.

Antroje dalyje X nurodo pardavimo kainą.

• N (d2) reiškia tikimybę, kad akcijų kaina bus didesnė už pradinę kainą.
• Taigi X*N (d2) reiškia numatomą likusios akcijų kainos vertę aukščiau streiko kaina.

Kaip Black-Scholes modelis prisiima europietiško stiliaus variantus, kai mankštintis galima tik pabaigoje, tikėtina vertė, pavaizduota X*N (d2), turėtų būti diskontuojama pagal laiko vertę pinigų. Taigi paskutinė dalis padauginama iš eksponentinio termino, padidinto iki palūkanų normos per tam tikrą laikotarpį.

Grynasis dviejų terminų skirtumas rodo pasirinkimo sandorio kainos vertę šiandien (kai antrasis terminas yra diskontuojamas)

Mūsų sistemoje tokius kainų pokyčius galima tiksliau įtraukti keliais būdais:

• Toliau tikrinami tikėtinos grąžos skaičiavimai, išplėsdami diapazoną į smulkesnius intervalus, įtraukdami dienos/metų kainų pokyčius 
• Įtraukiami dabartiniai rinkos duomenys, nes jie atspindi dabartinę veiklą (panašiai kaip numanomas nepastovumas)
• Numatoma grąža pasibaigus galiojimo laikui, kuri gali būti sumažinta iki šių dienų, kad būtų galima realiai įvertinti, ir dar labiau sumažinta nuo dabartinės vertės

Taigi matome, kad prielaidoms, metodikoms ir pritaikymui nėra jokių apribojimų kiekybinė analizė. Priklausomai nuo turto, kuriuo bus prekiaujama, ar investicijų, į kurias reikia atsižvelgti, gali būti sukurtas savarankiškai sukurtas modelis. Svarbu pažymėti, kad skirtingų turto klasių kainų pokyčių nepastovumas labai skiriasi - akcijos turi nepastovumo kreivumas, forex turi nepastovumas susiraukia- ir vartotojai į savo modelius turėtų įtraukti taikomus nepastovumo modelius. Prielaidos ir trūkumai yra neatskiriama bet kurio modelio dalis, o išmanantis modelių taikymas realaus pasaulio prekybos scenarijuose gali duoti geresnių rezultatų.

Esmė

Į rinką patekus sudėtingam turtui ar net paprastos vanilės turtas patenka į sudėtingas prekybos formas, kiekybinis modeliavimas ir analizė tampa privalomi vertinant. Deja, nė vienas matematinis modelis nėra be trūkumų ir prielaidų. Geriausias būdas yra sumažinti prielaidas ir žinoti apie numanomus trūkumus, kurie gali padėti nubrėžti modelių naudojimo ir pritaikymo ribas.