Teoria dos jogos: além do básico
Usando teoria do jogo, cenários do mundo real para situações como concorrência de preços e lançamentos de produtos (e muitos mais) podem ser definidos e seus resultados previstos. Empresas que usam (e aderem a) este dispositivo para determinar o Equilíbrio de Nash vêem um grande benefício em suas estratégias de orçamento.
Quem é a vez?
Enquanto os jogos sequenciais são jogados por turnos, os jogos simultâneos são jogados com cada jogador tomando sua decisão ao mesmo tempo. Com jogos simultâneos, não usamos mais o método introdutório comum de indução para trás. Proponentes de teoria do jogo frequentemente tabulam os diferentes resultados no que é chamado de matriz (abaixo).
| Jogador um / Jogador dois | Deixou | Certo |
| Pra cima | (1, 3) | (4, 2) |
| Abaixo | (3, 2) | (3, 1) |
Essa matriz é chamada de forma normal. As escolhas do jogador são mostradas no eixo vertical esquerdo e as escolhas do jogador dois são mostradas no eixo horizontal superior. Os pagamentos para cada jogador estão em seus cruzamentos correspondentes e são exibidos da seguinte forma (jogador um, jogador dois).
O Equilíbrio de Nash
O Equilíbrio de Nash é um resultado alcançado que, uma vez alcançado, significa que nenhum jogador pode aumentar o retorno alterando decisões unilateralmente. Também pode ser considerado como "sem arrependimentos", no sentido de que, uma vez que uma decisão seja tomada, o jogador não terá arrependimentos sobre as decisões considerando as consequências.
O equilíbrio de Nash é alcançado com o tempo, na maioria dos casos. No entanto, uma vez que o equilíbrio de Nash é alcançado, ele não será desviado. Depois de aprendermos como encontrar o equilíbrio de Nash, observe como um movimento unilateral afetaria a situação. Isto faz algum sentido? Não deveria, e é por isso que o Equilíbrio de Nash é descrito como "sem arrependimentos".
Encontrando Equilíbrio de Nash
Passo Um: Determine a melhor resposta de um jogador às ações do jogador dois.
Ao examinar as escolhas que podem maximizar o pagamento de um jogador, devemos observar como o jogador um deve responder a cada uma das opções que o jogador dois tem. Uma maneira fácil de fazer isso visualmente é encobrir as escolhas do jogador dois. Considere a matriz retratada no início deste artigo à medida que aplicamos esse método.
| Jogador um / Jogador dois | Deixou | Certo |
| Pra cima | (1, -) | (4, -) |
| Abaixo | (3, -) | (3, -) |
O jogador um tem duas opções possíveis para jogar: "para cima" ou "para baixo". O jogador dois também tem duas opções para jogar: "esquerda ou direita." Nesta etapa de determinação do Equilíbrio de Nash, olhamos para as respostas ao jogador dois ações. Se o jogador dois escolher jogar "à esquerda", podemos jogar "para cima" com o retorno de 1 ou jogar "para baixo" com o retorno de 3. Como 3 é maior que 1, colocaremos o 3 em negrito indicando a opção de jogar "para baixo" aqui.
Se o jogador dois escolher jogar "certo", podemos escolher jogar "para cima" para um payoff de 4 ou jogar "para baixo" para um playoff de 3. Como 4 é maior que 3, colocamos o 4 em negrito para indicar a opção de jogar "para cima" aqui. Os resultados ousados são mostrados abaixo na matriz completa.
| Jogador um / Jogador dois | Deixou | Certo |
| Pra cima | (1, 3) | (4, 2) |
| Abaixo | (3, 2) | (3, 1) |
Passo Dois: Determine a melhor resposta do jogador dois às ações do jogador.
Como fizemos antes com os payoffs do jogador dois para o jogador um, ocultaremos os payoffs do jogador um ao determinar as melhores respostas para o jogador dois.
| Jogador um / Jogador dois | Deixou | Certo |
| Pra cima | (-, 3) | (-, 2) |
| Abaixo | (-, 2) | (-, 1) |
Assim como ao olhar para o jogador um, cada jogador tem duas opções para jogar. Se o jogador um escolher jogar "para cima", podemos jogar "esquerda", com uma recompensa de 3, ou "direita", com uma recompensa de 2. Como 3 é maior que 2, colocamos o 3 em negrito para mostrar a opção de jogar "à esquerda" aqui. Se o jogador um escolher jogar "para baixo", podemos jogar "à esquerda", para um resultado de 2, ou "à direita", para um resultado de 1. Como 2 é maior que 1, colocamos o 2 em negrito indicando a opção de jogar "à esquerda" aqui. Os resultados ousados são mostrados abaixo na matriz completa.
| Jogador um / Jogador dois | Deixou | Certo |
| Pra cima | (1, 3) | (4, 2) |
| Abaixo | (3, 2) | (3, 1) |
Etapa três: determine quais resultados têm ambas as recompensas em negrito. Esse resultado particular é o Equilíbrio de Nash.
Agora, combinamos as opções ousadas para ambos os jogadores na matriz completa.
| Jogador um / Jogador dois | Deixou | Certo |
| Pra cima | (1, 3) | (4, 2) |
| Abaixo | (3, 2) | (3, 1) |
Procure cruzamentos em que ambos os payoffs estejam em negrito. Nesse caso, descobrimos que a interseção de (Baixo, Esquerda) com o payoff de (3, 2) se encaixa em nossos critérios. Isso indica nosso equilíbrio de Nash.
Este método de encontrar o equilíbrio de Nash é adequado para encontrar equilíbrio em jogos que são simultâneos, já que estamos olhando como um jogador responderia independentemente de como o outro age. Esse cenário de jogo simultâneo costuma ocorrer em empresas como as companhias aéreas. Abaixo está um exemplo, semelhante ao jogo acima, de como os preços das companhias aéreas podem funcionar. Os pagamentos são em milhares de dólares. Lembre-se de que esses são os pagamentos, não os preços. O método que aplicamos anteriormente já foi aplicado para mostrar onde o equilíbrio de Nash aparece.
| Companhia aérea um / Companhia aérea dois | Preço baixo | Preço Alto |
| Preço baixo | (3,000, 3,000) | (4,000, 2,000) |
| Preço Alto | (2,000, 4,000) | (3,500, 3,500) |
Olhando apenas para as escolhas de A1, podemos ver que se A2 escolher jogar com preço baixo, escolhemos entre preço baixo para 3.000 ou preço alto para 2.000. Escolhemos baixo, desde 3.000> 2.000. Fazemos a mesma coisa para A2 jogando preço alto e vemos que jogamos baixo porque 4.000> 3.500. Por outro lado, olhando apenas para as escolhas de A2, podemos ver que se A1 escolher jogar com preço baixo, escolhemos entre "preço baixo" para 3.000 e "preço alto" para 2.000. Como 3.000> 2.000, escolhemos a opção de preço baixo aqui. Se A1 jogar um preço alto, podemos cobrar um preço baixo por 4.000 ou um preço alto por 3.500. Uma vez que 4.000> 3.500, escolhemos jogar o preço baixo aqui.
O equilíbrio de Nash é que ambas as companhias aéreas cobrarão um preço baixo (mostrado quando as opções para cada parte são destacadas). Se ambas as companhias aéreas cobrassem um preço alto, cada uma estaria em melhor situação do que no Nash Equilibrium.
Então, por que eles não concordam em fazer isso? Em primeiro lugar, é ilegal conspirar. Em segundo lugar, se isso ocorresse, uma ação unilateral em nome de uma companhia aérea para cobrar um preço baixo seria benéfica, resultando na companhia aérea ganhando mais dinheiro. Essa lógica também mostra como o Equilíbrio de Nash é alcançado e por que não é benéfico desviar dele depois de alcançado.
Multiple Nash Equilibria
Geralmente, pode haver mais de um equilíbrio em um jogo. No entanto, isso geralmente ocorre em jogos com elementos mais complexos do que duas escolhas de dois jogadores. Em jogos simultâneos que se repetem ao longo do tempo, um desses equilíbrios múltiplos é alcançado após alguma tentativa e erro. Este cenário de escolhas diferentes ao longo do tempo antes de atingir o equilíbrio é o mais frequentemente representado no mundo dos negócios, quando duas empresas estão determinando preços para produtos altamente intercambiáveis, como passagem aérea ou bebidas.
The Bottom Line
Com esses métodos avançados, mais situações do mundo real podem ser modeladas e resolvidas. Os diferentes tipos de Equilíbrio de Nash que discutimos são as soluções mais comumente encontradas para jogos modelados do mundo real. Um conhecimento prático da teoria dos jogos pode ajudá-lo a formar uma estratégia, seja jogando jogo da velha ou competindo pelos maiores lucros.