Jednoduchá a zložená definícia a vzorec záujmu

Úroky sú definované ako náklady na požičanie peňazí, ako v prípade úrokov účtovaných zo zostatku pôžičky. Naopak, úrokom môže byť aj sadzba zaplatená za peniaze pri vklade, ako v prípade vkladového certifikátu. Úrok je možné vypočítať dvoma spôsobmi: jednoduchý záujem alebo zložený úrok.

Jednoduchý záujem sa počíta na riaditeľ, alebo originál, výška pôžičky.
Zložený úrok je vypočítané z istiny a akumulovaného úroku z predchádzajúcich období, a preto ho možno považovať za „úrok z úroku“.

Môže existovať a veľký rozdiel vo výške úroku splatného z pôžičky, ak sa úrok vypočítava na základe zloženého základu a nie na jednoduchom základe. Pozitívne je, že kúzlo kombinovania môže vo vašich investíciách fungovať vo váš prospech a môže byť silným faktorom pri vytváraní bohatstva.

Kým jednoduchý úrok a zložený úrok sú základné finančné koncepty, ich úplné zoznámenie vám môže pomôcť urobiť informovanejšie rozhodnutia pri čerpaní pôžičky alebo investovaní.

Jednoduchý vzorec záujmu

Vzorec na výpočet jednoduchého úroku je:

instagram viewer

$\begin{matrix} Jednoduchý záujem. = P. \times i. \times n. \\ kde: \\ P. = Riaditeľ. \\ i. = Úroková sadzba. \\ n. = Doba pôžičky. \end{matrix}$ Jednoduchý záujem=P×i×nkde:P=Riaditeľi=Úroková sadzban=Doba pôžičky

Ak je teda za pôžičku 10 000 dolárov, ktorá je čerpaná na tri roky, účtovaný jednoduchý úrok vo výške 5%, celková výška úroku splatného dlžníkom sa vypočíta ako 10 000 dolárov x 0,05 x 3 = 1 500 dolárov.

Úrok z tejto pôžičky je splatný vo výške 500 dolárov ročne alebo 1 500 dolárov počas trojročnej doby pôžičky.

1:52

SLEDUJTE: Čo je to zložený úrok?

Zložený úrokový vzorec

Vzorec na výpočet zloženého úroku za rok je:

$\begin{matrix} Zložený úrok. = (P. (1. + i.)^{n.}) - P. \\ Zložený úrok. = P. ((1. + i.)^{n.} - 1.) \\ kde: \\ P. = Riaditeľ. \\ i. = Úroková sadzba v percentách. \\ n. = Počet kombinovaných období za rok. \end{matrix}$ Zložený úrok=(P(1+i)n)−PZložený úrok=P((1+i)n−1)kde:P=Riaditeľi=Úroková sadzba v percentáchn=Počet kombinovaných období za rok

Zložený úrok = celková čiastka istiny a úrokov v budúcnosti (alebo fúžitková hodnota) mínus istina v súčasnosti, tzv súčasná hodnota (PV). PV je súčasná hodnota budúcej sumy peňazí alebo prúdu peňažné toky daný špecifikovaný miera návratnosti.

Pokračovaním jednoduchého príkladu úroku, aká by bola výška úroku, ak je účtovaný na základe zloženého základu? V tomto prípade by to bolo:

$\begin{matrix} Záujem. & = $ 10., 000. ((1. + 0.05.)^{3.} - 1.) \\ = $ 10., 000. (1.157625. - 1.) \\ = $ 1., 576.25. \end{matrix}$ Záujem=$10,000((1+0.05)3−1)=$10,000(1.157625−1)=$1,576.25

Kým celkový úrok splatný za trojročné obdobie tejto pôžičky je 1 576,25 dolára, na rozdiel od jednoduchého úroku je výška úroku nie je rovnaká pre všetky tri roky, pretože zložený úrok berie do úvahy aj akumulovaný úrok z predchádzajúcich období. Úroky splatné na konci každého roka sú uvedené v tabuľke nižšie.

Rok	Počiatočný zostatok (P)	Úrok 5% (I)	Konečný zostatok (P+I)
1	$10,000.00	$500.00	$10,500.00
2	$10,500.00	$525.00	$11,025.00
3	$11,025.00	$551.25	$11,576.25
Celkový úrok	$1,576.25

Zlučovacie obdobia

Pri výpočte zloženého úroku predstavuje počet kombinovaných období významný rozdiel. Spravidla platí, že čím vyšší je počet zlučovacích období, tým vyššie je množstvo zloženého úroku. Takže za každých 100 dolárov pôžičky na určité obdobie výška úroku nahromadené o 10% ročne bude nižší ako naakumulovaný úrok o 5% polročne, čo bude zase nižšie ako naakumulovaný úrok 2,5% štvrťročne.

Vo vzorci na výpočet zloženého úroku musia byť premenné „i“ a „n“ upravené, ak je počet kombinovaných období viac ako raz za rok.

To znamená, že v zátvorkách musí byť „i“ alebo úroková sadzba vydelené „n“ počtom kombinovaných období za rok. Mimo zátvoriek sa „n“ musí vynásobiť „t“, čo je celková dĺžka investície.

Preto pri 10-ročnej pôžičke vo výške 10%, kde sa úroky skladajú polročne (počet kombinovaných období = 2), i = 5% (t.j. 10% ÷ 2) a n = 20 (t.j. 10 x 2).

Na výpočet celkovej hodnoty so zloženým úrokom by ste použili túto rovnicu:

$\begin{matrix} Celková hodnota so zloženým úrokom. = (P. (\frac{1. + i.}{n.})^{n. t.}) - P. \\ Zložený úrok. = P. ((\frac{1. + i.}{n.})^{n. t.} - 1.) \\ kde: \\ P. = Riaditeľ. \\ i. = Úroková sadzba v percentách. \\ n. = Počet zlučovacích období za rok. \\ t. = Celkový počet rokov pre investíciu alebo pôžičku. \end{matrix}$ Celková hodnota so zloženým úrokom=(P(n1+i)nt)−PZložený úrok=P((n1+i)nt−1)kde:P=Riaditeľi=Úroková sadzba v percentáchn=Počet zlučovacích období za rokt=Celkový počet rokov pre investíciu alebo pôžičku

Nasledujúca tabuľka ukazuje rozdiel, ktorý môže počet kombinovaných období v priebehu času spôsobiť pôžičku 10 000 dolárov prijatú na 10-ročné obdobie.

Zložená frekvencia	Počet zlučovacích období	Hodnoty pre i/n a nt	Celkový úrok
Ročne	1	i/n = 10%, nt = 10	$15,937.42
Dvakrát ročne	2	i/n = 5%, nt = 20	$16,532.98
Štvrťročné	4	i/n = 2,5%, nt = 40	$16,850.64
Mesačne	12	i/n = 0,833%, nt = 120	$17,059.68

Ďalšie koncepty zložených úrokov

Časová hodnota peňazí

Pretože peniaze nie sú „zadarmo“, ale majú náklady v zmysle splatných úrokov, z toho vyplýva, že dnešný dolár má väčšiu hodnotu ako dolár v budúcnosti. Tento koncept je známy ako časová hodnota peňazí a tvorí základ pre relatívne pokročilé techniky, ako napr diskontovaný peňažný tok (DCF) analýza. Opak spájania je známy ako diskontovanie. Diskontný faktor možno chápať ako recipročnú hodnotu úrokovej sadzby a je faktorom, ktorým je potrebné vynásobiť budúcu hodnotu, aby sa získala súčasná hodnota.

Vzorce na získanie budúcej hodnoty (FV) a súčasnej hodnoty (PV) sú tieto:

$\begin{matrix} FV. = P. V. \times (\frac{1. + i.}{n.})^{n. t.} \\ PV. = F. V. \div (\frac{1. + i.}{n.})^{n. t.} \\ kde: \\ i. = Úroková sadzba v percentách. \\ n. = Počet zlučovacích období za rok. \\ t. = Celkový počet rokov pre investíciu alebo pôžičku. \end{matrix}$ FV=PV×(n1+i)ntPV=FV÷(n1+i)ntkde:i=Úroková sadzba v percentáchn=Počet zlučovacích období za rokt=Celkový počet rokov pre investíciu alebo pôžičku

Napríklad budúca hodnota 10 000 dolárov sa zvýši o 5% ročne počas troch rokov:

= $10,000 (1 + 0.05)³

= $10,000 (1.157625)

= $11,576.25.

Súčasná hodnota 11 576,25 dolára zľavnená na 5% počas troch rokov:

= $11,576.25 / (1 + 0.05)³

= $11,576.25 / 1.157625.

= $10,000.

Recipročná hodnota 1,157625, ktorá sa rovná 0,8638376, je v tomto prípade diskontným faktorom.

Pravidlo 72

The Pravidlo 72 vypočíta približný čas, za ktorý sa investícia pri danej miere návratnosti alebo úroku „i“ zdvojnásobí, a je daný (72 ÷ i). Môže sa použiť iba na ročné zmiešavanie, ale môže byť veľmi užitočný pri plánovaní toho, koľko peňazí by ste mohli očakávať na dôchodku.

Napríklad investícia, ktorá má 6% ročnú návratnosť, sa za 12 rokov zdvojnásobí (72 ÷ 6%).

Investícia s 8% ročnou návratnosťou sa za deväť rokov zdvojnásobí (72 ÷ 8%).

Zložená ročná miera rastu (CAGR)

The zložená ročná miera rastu (CAGR) sa používa pre väčšinu finančných aplikácií, ktoré vyžadujú výpočet jednej miery rastu za určité obdobie.

Ak sa napríklad vaše investičné portfólio za päť rokov rozrástlo z 10 000 na 16 000 dolárov, potom čo je CAGR? V zásade to znamená, že PV = 10 000 dolárov, FV = 16 000 dolárov a nt = 5, takže je potrebné vypočítať premennú „i“. Pomocou finančnej kalkulačky resp Tabuľka programu Excel, je možné preukázať, že i = 9,86%.

Upozorňujeme, že podľa konvencie o peňažných tokoch je vaša počiatočná investícia (PV) 10 000 dolárov zobrazená so záporným znamienkom, pretože predstavuje odliv finančných prostriedkov. PV a FV musia mať nevyhnutne opačné znamienka na vyriešenie „i“ vo vyššie uvedenej rovnici.

Reálne aplikácie

CAGR sa vo veľkej miere používa na výpočet výnosov za obdobia pre akcie, investičné fondy a investičné portfóliá. CAGR sa používa aj na zisťovanie, či správca podielových fondov alebo správca portfólia v priebehu určitého obdobia prekročil mieru návratnosti trhu. Ak napríklad trhový index poskytuje celkové výnosy 10% za päť rokov, ale správca fondu za rovnaké obdobie generoval iba ročné výnosy 9%, potom správca má nedostatočne podaný trh.

CAGR sa môže použiť aj na výpočet očakávanej rýchlosti rastu investičných portfólií počas dlhých období, čo je užitočné na účely, ako je sporenie na dôchodok. Zvážte nasledujúce príklady:

Investor odmietajúci riziko je spokojný so skromnou 3% ročnou mierou návratnosti svojho portfólia. Jej súčasné portfólio 100 000 dolárov by preto po 20 rokoch vzrástlo na 180 611 dolárov. Naproti tomu investor tolerantný k riziku, ktorý očakáva vo svojom portfóliu ročnú návratnosť 6%, by po 20 rokoch vzrástol o 100 000 dolárov na 320 714 dolárov.
CAGR možno použiť na odhad, koľko je potrebné uložiť, aby sa ušetrilo na konkrétny cieľ. Manželia, ktorí by chceli ušetriť 50 000 dolárov v priebehu 10 rokov na zálohovej platbe za byt, by museli ušetriť 4 165 dolárov ročne, ak predpokladajú ročný výnos (CAGR) 4% zo svojich úspor. Ak sú pripravení podstúpiť ďalšie riziko a očakávať CAGR 5%, potom by museli ušetriť 3 975 dolárov ročne.
CAGR možno použiť aj na demonštráciu predností investovania skôr než neskôr v živote. Ak je cieľom ušetriť 1 milión dolárov do dôchodku vo veku 65 rokov, na základe CAGR 6%, 25-ročný človek by musel na dosiahnutie tohto cieľa ušetriť 6 462 dolárov ročne. Na dosiahnutie rovnakého cieľa by 40-ročný muž naopak potreboval ušetriť 18 227 dolárov, čo je takmer trojnásobok tejto sumy.

Ďalšie úvahy týkajúce sa záujmu

Uistite sa, že poznáte presnú ročnú sadzbu platby (APR) na vašu pôžičku, pretože spôsob výpočtu a počet kombinovaných období môže mať vplyv na vaše mesačné platby. Aj keď banky a finančné inštitúcie majú štandardizované metódy na výpočet úrokov splatných z hypoték a iných pôžičiek, výpočty sa môžu v jednotlivých krajinách mierne líšiť.

Zlučovanie môže byť vo váš prospech, pokiaľ ide o vaše investície, ale môže fungovať aj pri splácaní pôžičiek. Napríklad realizujte polovicu hypotéky dvakrát za mesiac, a nie raz za mesiac mesiac, skončí skrátenie vášho amortizačného obdobia a ušetrí vám značnú časť úroku.

Zlučovanie môže byť proti vám, ak nosíte pôžičky s veľmi vysokými úrokovými sadzbami, ako je dlh z kreditnej karty alebo obchodného domu. Napríklad zostatok na kreditnej karte vo výške 25 000 USD pri úrokovej sadzbe 20% - zúčtovaná mesačne - by mala za následok celkový úrokový poplatok 5 485 dolárov za jeden rok alebo 457 dolárov za mesiac.

Spodný riadok

Získajte kúzlo kombinovania, ktoré vám pomôže, pravidelným investovaním a zvýšením frekvencie splácania pôžičky. Oboznámenie sa so základnými pojmami jednoduchého úroku a zloženého úroku vám pomôže robte lepšie finančné rozhodnutia, ušetríte tisíce dolárov a zvýšite svoju čistú hodnotu čas.