أساسيات التوزيع ذي الحدين

حتى لو كنت لا تعرف توزيع ثنائي بالاسم ، ولم تأخذ فصلًا متقدمًا في الإحصاء الجامعي ، فأنت تفهمه بالفطرة. حقا أن تفعل. إنها طريقة لتقييم احتمالية أ حدث منفصل إما أن يحدث أو لا يحدث. ولديها الكثير من التطبيقات في مجال التمويل. وإليك كيف يعمل:

تبدأ بمحاولة شيء ما - تقلب العملة ، رميات حرة ، عجلة الروليت تدور ، أيا كان. المؤهل الوحيد هو أن الشيء المعني يجب أن يكون له نتيجتان محتملتان بالضبط. النجاح أو الفشل ، هذا كل شيء. (نعم ، تحتوي عجلة الروليت على 38 نتيجة محتملة. لكن من وجهة نظر المراهن ، هناك اثنان فقط. ستفوز أو تخسر.)

سنستخدم الرميات المجانية في مثالنا ، لأنها أكثر إثارة قليلاً من فرصة 50٪ الدقيقة وغير القابلة للتغيير لرؤوس العملات المعدنية. لنفترض أنك ديرك نوفيتسكي من فريق دالاس مافريكس ، الذي حقق 89.8٪ من رمياته الحرة في موسم 2017-2018. سنسميها 90٪ لأغراضنا. إذا كنت ستضعه في الخط الآن ، فما هي فرصه في ضرب (على الأقل) تسعة من أصل 10؟

لا ، ليسوا 100٪. وهم ليسوا 90٪.

هم 74٪ صدقوا أو لا تصدقوا. ها هي الصيغة. نحن جميعًا بالغون هنا ، ولا داعي للخوف من الأس والحروف اليونانية:

 ن هو عدد المحاولات. في هذه الحالة ، 10.

 أنا هو عدد حالات النجاح ، إما تسعة أو 10. سنحسب الاحتمالية لكل منها ، ثم نضيفها.

ص هو احتمال نجاح كل حدث فردي ، وهو 0.9.

فرصة الوصول إلى الهدف ، أي التوزيع ذي الحدين للنجاحات والفشل ، هي كما يلي:

​أنا=0∑ك​(نأنا​)صأنا(1−ص)ن−أنا​

تدوين الرياضيات العلاجية ، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من تقسيم المصطلحات في هذا التعبير:

​(نأنا​)=(ن−أنا)!أنا!ن!​​

هذه هي "ذات الحدين" في التوزيع ذي الحدين: أي ، فترتين. نحن مهتمون ليس فقط بعدد النجاحات ، ولا بعدد المحاولات فقط ، ولكن في كليهما. كل واحد عديم الفائدة لنا دون الآخر.

المزيد من تدوين الرياضيات العلاجية! عاملي: ضرب عدد صحيح موجب في كل عدد صحيح موجب أصغر. على سبيل المثال،

$5.!=5.\times 4.\times 3.\times 2.$5!=5×4×3×2

عوض بالأرقام ، تذكر أنه يتعين علينا حل كل من 9 من 10 رميات حرة و 10 على 10 ، وحصلنا على.

$(\frac{10.!}{9.!1.!}\times .{9.}^{.9.}\times .{1.}^{.1.})+(\frac{10.!}{10.!}\times .{9.}^{1.}\times .{1.}^{0.})$(9!1!10!​×.9.9×.1.1)+(10!10!​×.91×.10)

= 0.387420489 (وهي فرصة لضرب تسعة) + 0.3486784401 (فرصة ضرب العشرة)

= 0.736098929

هذا ال تراكمي التوزيع ، مقابل مجرد احتمالا توزيع. التوزيع التراكمي هو مجموع التوزيعات الاحتمالية المتعددة (في حالتنا ، سيكون ذلك اثنين.) يحسب التوزيع فرصة الوصول إلى نطاق من القيم - هنا ، تسعة أو 10 رميات حرة من أصل 10 - بدلاً من واحدة القيمة. عندما نسأل ما هي فرص وصول نوفيتسكي إلى تسعة من أصل 10 ، يجب أن نفهم أننا نعني "تسعة أو أفضل من 10" ، وليس "تسعة من أصل عشرة بالضبط".

إذا كنت تريد معرفة دالة التوزيع ذات الحدين لسلسلة معينة من الأحداث ، فلا يتعين عليك حسابها بنفسك. الأشخاص المعاونون في Stat Trek لديهم آلة حاسبة ذات حدين ستقوم بالعمل نيابة عنك. كل ما عليك فعله هو تزويد ن, أنا و ص القيم.

إذن ما علاقة هذا بالتمويل؟ أكثر مما تتصور. لنفترض أنك بنك أو مُقرض يعرف أنه في حدود ثلاثة منازل عشرية احتمالية تخلف مقترض معين عن السداد. ما هي احتمالات تخلف الكثير من المقترضين عن السداد بحيث يجعلون البنك معسرًا؟ بمجرد استخدام دالة التوزيع التراكمي ذي الحدين لحساب هذا الرقم ، يكون لديك ملف فكرة أفضل عن كيفية تسعير التأمين ، وفي النهاية مقدار الأموال التي سيتم إقراضها ومقدار الاحتفاظ بها الاحتياطي.

هل تساءلت يومًا كيف يتم تحديد الأسعار الأولية للخيارات؟ نفس الشيء نوعا ما. إذا كان السهم الأساسي المتقلب يحتوي على ص فرصة الوصول إلى سعر معين ، يمكنك إلقاء نظرة على كيفية تحرك السهم خلال سلسلة من ن فترات لتحديد السعر الذي يجب أن تبيع به الخيارات.

يعطي تطبيق دالة التوزيع ذات الحدين على التمويل بعض النتائج المفاجئة ، إن لم تكن غير بديهية تمامًا ؛ تشبه إلى حد كبير فرصة إصابة 90٪ من رمي الكرة الحرة بنسبة 90٪ بنسبة أقل من 90٪. لنفترض أن لديك ورقة مالية لديها فرصة كبيرة لتحقيق ربح بنسبة 20٪ كما تفعل خسارة بنسبة 20٪. إذا انخفض سعر الورقة المالية بنسبة 20٪ ، فما فرص ارتدادها إلى مستواها الأولي؟ تذكر أن المكسب المقابل البسيط بنسبة 20٪ لن يقطعه: السهم الذي ينخفض ​​بنسبة 20٪ ثم يكسب 20٪ سيظل منخفضًا بنسبة 4٪. استمر في التناوب بنسبة 20٪ من الانخفاضات والمكاسب ، وفي النهاية سيكون السهم عديم القيمة.

الخط السفلي

المحللون الذين لديهم فهم للتوزيع ذي الحدين لديهم مجموعة جودة إضافية من الأدوات في متناول اليد عندما تحديد الأسعار وتقييم المخاطر وتجنب النتائج غير السارة التي يمكن أن تنجم عن عدم كفاية تجهيز. عندما تفهم التوزيع ذي الحدين ونتائجه التي غالبًا ما تكون مفاجئة ، ستكون متقدمًا على الجماهير.