Výpočet současné a budoucí hodnoty anuit

Většina z nás má zkušenost s prováděním řady fixních plateb za určité časové období - např platby nájemného nebo auta - nebo přijímání řady plateb po určitou dobu, například úrok z dluhopisu nebo vkladový certifikát (CD). Tyto opakující se nebo probíhající platby jsou odborně označovány jako „anuity“ (nezaměňovat s finančním produktem nazývaným anuita, i když spolu souvisí).

Existuje několik způsobů, jak změřit náklady na takové platby nebo jejich konečnou hodnotu. Zde je to, co potřebujete vědět o výpočtu současná hodnota (PV) nebo budoucí hodnota (FV) o anuitu.

Klíčové informace

Opakující se platby, jako je nájemné za byt nebo úrok z dluhopisu, se někdy označují jako „anuity“.
V běžných anuitách se platby provádějí na konci každého období. S splatnými anuitami se provádějí na začátku období.
Budoucí hodnota anuity je celková hodnota plateb v určitém časovém okamžiku.
Současná hodnota je, kolik peněz by bylo nyní zapotřebí k vytvoření těchto budoucích plateb.

Dva typy anuit

Anuity, v tomto smyslu slova, se dělí na dva základní typy: běžné anuity a splatné anuity.

instagram viewer

Běžné anuity: Běžná anuita provádí (nebo vyžaduje) platby na konci každého období. Například dluhopisy obecně platí úroky na konci každých šesti měsíců.
Splatné anuity: S splatností anuity naopak platby přicházejí na začátku každého období. Pronájem, který pronajímatelé obvykle vyžadují na začátku každého měsíce, je běžným příkladem.

Současnou nebo budoucí hodnotu pro běžnou anuitu nebo splatnou anuitu můžete vypočítat pomocí následujících vzorců.

Výpočet budoucí hodnoty běžné anuity

Budoucí hodnota (FV) je měřítkem toho, kolik sérií pravidelných plateb bude mít v určitém okamžiku v budoucnu hodnotu, s ohledem na specifikovanou úroková sazba. Pokud tedy například plánujete investovat určitou částku každý měsíc nebo rok, řekne vám to, kolik jste nashromáždili k budoucímu datu. Pokud provádíte pravidelné platby na půjčka, budoucí hodnota je užitečná při určování celkových nákladů na půjčku.

Uvažujme například o sérii pěti plateb 1 000 USD prováděných v pravidelných intervalech.

Jeden — Obrázek Julie Bang © Investopedia 2019

Kvůli časová hodnota peněz—Koncept, že jakákoli daná částka má nyní větší hodnotu, než bude v budoucnosti, protože ji lze mezitím investovat — první platba 1 000 $ má větší hodnotu než druhá atd. Předpokládejme tedy, že v příštích pěti letech každý rok investujete 1 000 $ s 5% úrokem. Níže uvádíme, kolik byste měli na konci pětiletého období.

Dva — Obrázek Julie Bang © Investopedia 2019

Místo výpočtu každé platby jednotlivě a poté sečtení všech však můžete použít následující vzorec, který vám řekne, kolik peněz byste nakonec měli:

$\begin{matrix} {F V.}_{Běžná anuita.} = C. \times [\frac{(1. + já.)^{n.} - 1.}{já.}] \\ kde: \\ C. = peněžní tok za období. \\ já. = úroková sazba. \\ n. = počet plateb. \end{matrix}$ F VBěžná anuita=C×[já(1+já)n−1]kde:C=peněžní tok za obdobíjá=úroková sazban=počet plateb

Na výše uvedeném příkladu by to fungovalo takto:

$\begin{matrix} {F V.}_{Běžná anuita.} & = $ 1., 0. 0. 0. \times [\frac{(1. + 0. . 0. 5.)^{5.} - 1.}{0. . 0. 5.}] \\ = $ 1., 0. 0. 0. \times 5. . 5. 3. \\ = $ 5., 5. 2. 5. . 6. 3. \end{matrix}$ F VBěžná anuita=$1,000×[0.05(1+0.05)5−1]=$1,000×5.53=$5,525.63

Všimněte si, že jednocentový rozdíl v těchto výsledcích, 5 525,64 $ vs. 5 525,63 $, je způsobeno zaokrouhlováním v prvním výpočtu.

Výpočet současné hodnoty běžné anuity

Na rozdíl od výpočtu budoucí hodnoty vám výpočet současné hodnoty (PV) řekne, kolik peněz by nyní bylo nutné provést sérii plateb v budoucnosti, opět za předpokladu stanoveného úroku hodnotit.

Při použití stejného příkladu pěti plateb 1 000 USD provedených po dobu pěti let by takto mohl vypadat výpočet současné hodnoty. Ukazuje se, že 4 329,58 USD, investovaných s 5% úrokem, by stačilo k provedení těchto pěti plateb 1 000 USD.

Tři — Obrázek Julie Bang © Investopedia 2019

Toto je použitelný vzorec:

$\begin{matrix} {PV.}_{Běžná anuita.} = C. \times [\frac{1. - (1. + já.)^{- n.}}{já.}] \end{matrix}$ PVBěžná anuita=C×[já1−(1+já)−n]

Pokud do rovnice vložíme stejná čísla jako výše, zde je výsledek:

$\begin{matrix} {PV.}_{Běžná anuita.} & = $ 1., 0. 0. 0. \times [\frac{1. - (1. + 0. . 0. 5.)^{- 5.}}{0. . 0. 5.}] \\ = $ 1., 0. 0. 0. \times 4. . 3. 3. \\ = $ 4., 3. 2. 9. . 4. 8. \end{matrix}$ PVBěžná anuita=$1,000×[0.051−(1+0.05)−5]=$1,000×4.33=$4,329.48

Výpočet budoucí hodnoty splatné anuity

Můžete si pamatovat, že splatná anuita se liší od běžné anuity v tom, že platby splatné anuity se provádějí na začátku, nikoli na konci každého období.

Čtyři — Obrázek Julie Bang © Investopedia 2019

Chcete -li účtovat platby, ke kterým dochází na začátku každého období, vyžaduje to malou úpravu vzorec použitý k výpočtu budoucí hodnoty běžné anuity a vede k vyšším hodnotám, jak je znázorněno níže.

Pět — Obrázek Julie Bang © Investopedia 2019

Důvodem, proč jsou hodnoty vyšší, je to, že platby provedené na začátku období mají více času na získání úroku. Pokud by například bylo 1 000 $ investováno 1. ledna namísto 31. ledna, mělo by to další měsíc na růst.

Vzorec pro budoucí hodnotu splatné anuity je následující:

$\begin{matrix} {F V.}_{Anuita splatná.} & = C. \times [\frac{(1. + já.)^{n.} - 1.}{já.}] \times (1. + já.) \end{matrix}$ F VAnuita splatná=C×[já(1+já)n−1]×(1+já)

Zde používáme stejná čísla jako v našich předchozích příkladech:

$\begin{matrix} {F V.}_{Anuita splatná.} & = $ 1., 0. 0. 0. \times [\frac{(1. + 0. . 0. 5.)^{5.} - 1.}{0. . 0. 5.}] \times (1. + 0. . 0. 5.) \\ = $ 1., 0. 0. 0. \times 5. . 5. 3. \times 1. . 0. 5. \\ = $ 5., 8. 0. 1. . 9. 1. \end{matrix}$ F VAnuita splatná=$1,000×[0.05(1+0.05)5−1]×(1+0.05)=$1,000×5.53×1.05=$5,801.91

Opět upozorňujeme, že jednocentový rozdíl v těchto výsledcích, 5 801,92 USD vs. 5 801,91 $, je způsobeno zaokrouhlováním v prvním výpočtu.

Výpočet současné hodnoty splatné anuity

Podobně vzorec pro výpočet současné hodnoty splatné anuity zohledňuje skutečnost, že platby se provádějí spíše na začátku než na konci každého období.

Pomocí tohoto vzorce můžete například vypočítat současnou hodnotu budoucích plateb nájemného, jak je uvedeno ve vaší leasingové smlouvě. Řekněme, že zaplatíte 1 000 $ měsíčně na nájemném. Níže vidíme, co by vás příštích pět měsíců stálo, pokud jde o současnou hodnotu, za předpokladu, že jste své peníze drželi na účtu s 5% úrokem.

Šest — Obrázek Julie Bang © Investopedia 2019

Toto je vzorec pro výpočet současné hodnoty splatné anuity:

$\begin{matrix} {PV.}_{Anuita splatná.} = C. \times [\frac{1. - (1. + já.)^{- n.}}{já.}] \times (1. + já.) \end{matrix}$ PVAnuita splatná=C×[já1−(1+já)−n]×(1+já)

Takže v tomto příkladu:

$\begin{matrix} {PV.}_{Anuita splatná.} & = $ 1., 0. 0. 0. \times [\frac{(1. - (1. + 0. . 0. 5.)^{- 5.}}{0. . 0. 5.}] \times (1. + 0. . 0. 5.) \\ = $ 1., 0. 0. 0. \times 4. . 3. 3. \times 1. . 0. 5. \\ = $ 4., 5. 4. 5. . 9. 5. \end{matrix}$ PVAnuita splatná=$1,000×[0.05(1−(1+0.05)−5]×(1+0.05)=$1,000×4.33×1.05=$4,545.95

1:08

Současná hodnota anuity

Sečteno a podtrženo

Výše popsané vzorce umožňují - a relativně vám nevadí, matematiku - určit současnou nebo budoucí hodnotu běžné anuity nebo splatné anuity. Finanční kalkulačky (najdete je na internetu) mají také schopnost vypočítat vám je se správnými vstupy.