Das harmonische Mittel verstehen

Was ist ein harmonisches Mittel?

Das harmonische Mittel ist eine Art numerisches Mittel. Sie wird berechnet, indem die Anzahl der Beobachtungen durch den Kehrwert jeder Zahl in der Reihe geteilt wird. Somit ist das harmonische Mittel der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte.

Das harmonische Mittel von 1, 4 und 4 ist:

$\frac{3.}{(\frac{1.}{1.}+\frac{1.}{4.}+\frac{1.}{4.})}=\frac{3.}{1..5.}=2.$(11​+41​+41​)3​=1.53​=2

Die Grundlagen eines harmonischen Mittels

Das harmonische Mittel hilft, multiplikative oder Teilerbeziehungen zwischen Brüchen zu finden, ohne sich um gemeinsame Nenner kümmern zu müssen. Harmonische Mittelwerte werden häufig bei der Mittelung von Dingen wie Raten verwendet (z. B. die durchschnittliche Reisegeschwindigkeit bei einer Dauer von mehreren Fahrten).

Das gewichtete harmonische Mittel wird im Finanzwesen verwendet, um Vielfache wie das Kurs-Gewinn-Verhältnis zu mitteln, da es jedem Datenpunkt das gleiche Gewicht verleiht. Mit einem gewichteten

arithmetisches Mittel zum Durchschnitt dieser Verhältnisse würde hohen Datenpunkten ein größeres Gewicht beigemessen als niedrigen Datenpunkten, da Kurs-Gewinn-Verhältnisse nicht kursnormalisiert werden, während die Einnahmen ausgeglichen werden.

Das harmonische Mittel ist das gewichtete harmonische Mittel, wobei die Gewichtungen gleich 1 sind. Das gewichtete harmonische Mittel von x₁, x₂, x₃ mit den entsprechenden Gewichten w₁, wir₂, wir₃ wird angegeben als:

$\frac{\underset{\mathrm{ich.}=1.}{\overset{\mathrm{n.}}{\sum }}{\mathrm{w.}}_{\mathrm{ich.}}}{\underset{\mathrm{ich.}=1.}{\overset{\mathrm{n.}}{\sum }}\frac{{\mathrm{w.}}_{\mathrm{ich.}}}{{\mathrm{x.}}_{\mathrm{ich.}}}}$∑ich=1n​xich​wich​​∑ich=1n​wich​​

Harmonischer Mittelwert versus arithmetischer Mittelwert und geometrischer Mittelwert

Andere Möglichkeiten zur Berechnung von Durchschnittswerten sind das einfache arithmetische Mittel und das geometrische Mittel. Ein arithmetisches Mittel ist die Summe einer Reihe von Zahlen geteilt durch die Anzahl dieser Zahlenreihe. Wenn Sie aufgefordert würden, den (arithmetischen) Klassendurchschnitt der Testergebnisse zu ermitteln, würden Sie einfach alle Testergebnisse der Schüler addieren und diese Summe dann durch die Anzahl der Schüler teilen. Wenn beispielsweise fünf Schüler eine Prüfung ablegen und ihre Punktzahlen 60 %, 70 %, 80 %, 90 % und 100 % betragen, beträgt der Durchschnitt der arithmetischen Klasse 80 %.

Das geometrisches Mittel ist der Durchschnitt einer Reihe von Produkten, deren Berechnung üblicherweise verwendet wird, um die Performance-Ergebnisse einer Anlage oder eines Portfolios zu bestimmen. Es ist technisch definiert als "die nth Wurzelprodukt von n Zahlen." Beim Arbeiten mit Prozentwerten, die aus Werten abgeleitet werden, muss das geometrische Mittel verwendet werden, während das arithmetische Standardmittel mit den Werten selbst arbeitet.

Das harmonische Mittel wird am besten für Brüche wie Raten oder Vielfache verwendet.

Beispiel für das harmonische Mittel

Nehmen wir als Beispiel zwei Firmen. Einer hat einen Marktkapitalisierung von 100 Milliarden US-Dollar und einem Gewinn von 4 Milliarden US-Dollar (KGV von 25) und einer mit einer Marktkapitalisierung von 1 Milliarde US-Dollar und einem Gewinn von 4 Millionen US-Dollar (KGV von 250). In einem Index, der aus den beiden Aktien besteht, wobei 10 % im ersten und 90 % im zweiten investiert sind, beträgt das KGV des Index:

​Verwendung des WAM: P/E=0.1×25+0.9×250=227.5Verwendung des WHM: P/E=250.1​+2500.9​0.1+0.9​≈131.6wo:WAM=gewichtetes arithmetisches MittelSPORT=Kurs-Gewinn-Verhältnis​

Wie man sieht, überschätzt das gewichtete arithmetische Mittel das mittlere Kurs-Gewinn-Verhältnis deutlich.