Definition des zentralen Grenzwertsatzes (CLT)

Was ist der zentrale Grenzwertsatz (CLT)?

In der Wahrscheinlichkeitstheorie besagt der zentrale Grenzwertsatz (CLT), dass die Verteilung einer Probe Variable nähert sich einer Normalverteilung (d. h. einer „Glockenkurve“) an, wenn die Stichprobengröße größer wird, unter der Annahme, dass alle Stichproben gleich groß sind, und unabhängig von der tatsächlichen Verteilung der Grundgesamtheit gestalten.

Anders ausgedrückt, CLT ist a statistisch Prämisse, dass bei einer ausreichend großen Stichprobengröße aus einer Grundgesamtheit mit endlicher Varianz die Der Mittelwert aller Stichprobenvariablen aus derselben Grundgesamtheit ist ungefähr gleich dem Mittelwert der Population. Darüber hinaus nähern sich diese Proben a Normalverteilung, wobei ihre Varianzen ungefähr gleich der Abweichung der Grundgesamtheit, da der Stichprobenumfang entsprechend der größer ist Gesetz der großen Zahlen.

Obwohl dieses Konzept erstmals 1733 von Abraham de Moivre entwickelt wurde, wurde es erst 1930 formalisiert, als der bekannte ungarische Mathematiker George Polya es als Zentralen Grenzwertsatz bezeichnete.

Den zentralen Grenzwertsatz verstehen

Nach dem zentralen Grenzwertsatz liegt der Mittelwert einer Datenstichprobe näher am Mittelwert der Gesamtpopulation mit zunehmender Stichprobengröße, ungeachtet der tatsächlichen Verteilung der Daten. Mit anderen Worten, die Daten sind unabhängig davon, ob die Verteilung normal oder aberrant ist, genau.

Als allgemeine Regel gilt, dass Stichprobengrößen von 30 oder mehr als ausreichend erachtet werden, damit das CLT hält, was bedeutet, dass die Verteilung der Stichprobenmittelwerte ziemlich normalverteilt ist. Daher nehmen die grafisch dargestellten Ergebnisse die Form einer Normalverteilung an, je mehr Stichproben man nimmt. Beachten Sie jedoch, dass die zentrale Grenzwerttheorie in vielen Fällen für viel kleinere Stichprobengrößen, wie z. B. n=8 oder n=5, immer noch angenähert wird.

Der zentrale Grenzwertsatz wird oft in Verbindung mit dem Gesetz der großen Zahlen verwendet, das besagt, dass der Durchschnitt der Stichprobenmittelwerte und Standardabweichungen kommt nähert sich mit wachsender Stichprobengröße dem Mittelwert der Grundgesamtheit und der Standardabweichung, was bei der genauen Vorhersage der Eigenschaften von. äußerst nützlich ist Bevölkerungen.

Der zentrale Grenzwertsatz im Finanzwesen

Der CLT ist nützlich, wenn Sie die Renditen einer einzelnen Aktie oder breiterer Indizes untersuchen, da die Analyse aufgrund der relativ einfachen Generierung der erforderlichen Finanzdaten einfach ist. Folglich verlassen sich Anleger aller Art auf das CLT, um Aktienrenditen zu analysieren, Portfolios aufzubauen und Risiken zu managen.

Angenommen, ein Anleger möchte die Gesamtrendite für einen Aktienindex analysieren, der 1.000 Aktien umfasst. In diesem Szenario kann dieser Anleger einfach eine zufällige Auswahl von Aktien untersuchen, um die geschätzten Renditen des Gesamtindex zu ermitteln. Um sicher zu gehen, sollten mindestens 30 zufällig ausgewählte Aktien aus verschiedenen Sektoren ausgewählt werden, damit der zentrale Grenzwertsatz gilt. Darüber hinaus müssen zuvor ausgewählte Aktien mit anderen Namen ausgetauscht werden, um Verzerrungen zu beseitigen.