GBM के साथ मोंटे कार्लो सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

जोखिम का अनुमान लगाने के सबसे सामान्य तरीकों में से एक है a. का उपयोग मोंटे कार्लो सिमुलेशन (एमसीएस)। उदाहरण के लिए, गणना करने के लिए किसी चुनौती के आधार पर उसकी कीमत एक पोर्टफोलियो का (वीएआर), हम एक मोंटे कार्लो सिमुलेशन चला सकते हैं जो एक दिए गए पोर्टफोलियो के लिए सबसे खराब संभावित नुकसान की भविष्यवाणी करने का प्रयास करता है। विश्वास अंतराल एक निर्दिष्ट समय सीमा में (हमें हमेशा वीएआर के लिए दो शर्तें निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है: आत्मविश्वास और क्षितिज)।

इस लेख में, हम वित्त में सबसे आम मॉडलों में से एक का उपयोग करके स्टॉक मूल्य पर लागू एक बुनियादी एमसीएस की समीक्षा करेंगे: ज्यामितीय ब्राउनियन गति (जीबीएम)। इसलिए, जबकि मोंटे कार्लो सिमुलेशन सिमुलेशन के विभिन्न तरीकों के ब्रह्मांड को संदर्भित कर सकता है, हम यहां सबसे बुनियादी के साथ शुरू करेंगे।

कहा से शुरुवात करे

मोंटे कार्लो सिमुलेशन भविष्य की कई बार भविष्यवाणी करने का एक प्रयास है। सिमुलेशन के अंत में, हजारों या लाखों "यादृच्छिक परीक्षण" परिणामों का वितरण उत्पन्न करते हैं जिनका विश्लेषण किया जा सकता है। बुनियादी कदम इस प्रकार हैं:

1. एक मॉडल निर्दिष्ट करें (उदा. GBM)

इस लेख के लिए, हम जियोमेट्रिक ब्राउनियन मोशन (GBM) का उपयोग करेंगे, जो तकनीकी रूप से एक मार्कोव प्रक्रिया है। इसका मतलब है कि शेयर की कीमत इस प्रकार है: यादृच्छिक चाल और (कम से कम) के कमजोर रूप के अनुरूप है निपुण बाजार अवधारणा (EMH) - पिछले मूल्य की जानकारी पहले से ही शामिल है, और अगला मूल्य आंदोलन पिछले मूल्य आंदोलनों से "सशर्त रूप से स्वतंत्र" है।

GBM का सूत्र नीचे दिया गया है:

​एसΔएस​=μΔटी+σϵΔटी​कहाँ पे:एस=शेयर की कीमतΔएस=शेयर की कीमत में बदलावμ=अपेक्षित रिटर्नσ=रिटर्न का मानक विचलनϵ=यादृच्छिक चर​

यदि हम केवल स्टॉक मूल्य में परिवर्तन के समाधान के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो हम देखते हैं कि GBM कहता है: स्टॉक की कीमत में परिवर्तन स्टॉक मूल्य "एस" को कोष्ठक के अंदर पाए जाने वाले दो शब्दों से गुणा किया जाता है नीचे:

$\mathrm{\Delta .}\mathrm{एस।}=\mathrm{एस।}\times (\mathrm{\mu .}\mathrm{\Delta .}\mathrm{टी।}+\mathrm{\sigma .}\mathrm{ϵ.}\sqrt{\mathrm{\Delta .}\mathrm{टी।}})$Δएस=एस×(μΔटी+σϵΔटी​)

पहला शब्द "बहाव" है और दूसरा शब्द "सदमे" है। प्रत्येक समयावधि के लिए, हमारा मॉडल मानता है कि कीमत अपेक्षित प्रतिफल से "बहाव" करेगी। लेकिन बहाव एक यादृच्छिक झटके से चौंक जाएगा (जोड़ा या घटाया जाएगा)। यादृच्छिक झटका मानक विचलन "s" होगा जिसे यादृच्छिक संख्या "e" से गुणा किया जाएगा। यह मानक विचलन को स्केल करने का एक तरीका है।

यह GBM का सार है, जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। स्टॉक की कीमत चरणों की एक श्रृंखला का अनुसरण करती है, जहां प्रत्येक चरण एक बहाव प्लस या माइनस एक यादृच्छिक झटका होता है (स्वयं स्टॉक के मानक विचलन का एक कार्य):

आकृति 1

2. यादृच्छिक परीक्षण उत्पन्न करें

एक मॉडल विनिर्देश के साथ सशस्त्र, हम फिर यादृच्छिक परीक्षण चलाने के लिए आगे बढ़ते हैं। वर्णन करने के लिए, हमने उपयोग किया है माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल 40 परीक्षण चलाने के लिए। ध्यान रखें कि यह एक अवास्तविक रूप से छोटा नमूना है; अधिकांश सिमुलेशन या "सिम्स" कम से कम कई हजार परीक्षण चलाते हैं।

इस मामले में, मान लीजिए कि स्टॉक शून्य दिन पर $ 10 की कीमत के साथ शुरू होता है। यहां परिणाम का एक चार्ट दिया गया है जहां हर बार चरण (या अंतराल) एक दिन है और श्रृंखला दस दिनों तक चलती है (संक्षेप में: दस दिनों में दैनिक चरणों के साथ चालीस परीक्षण):

चित्र 2: ज्यामितीय ब्राउनियन गति

परिणाम 10 दिनों के अंत में चालीस नकली स्टॉक की कीमतें हैं। कोई भी $9 से नीचे नहीं गिरा है, और एक $11 से ऊपर है।

3. आउटपुट को प्रोसेस करें

सिमुलेशन ने काल्पनिक भविष्य के परिणामों का वितरण किया। हम आउटपुट के साथ कई काम कर सकते हैं।

यदि, उदाहरण के लिए, हम 95% विश्वास के साथ वीएआर का अनुमान लगाना चाहते हैं, तो हमें केवल अड़तीसवें स्थान के परिणाम (तीसरे सबसे खराब परिणाम) का पता लगाने की आवश्यकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि २/४० ५% के बराबर है, इसलिए दो सबसे खराब परिणाम सबसे कम ५% में हैं।

यदि हम सचित्र परिणामों को डिब्बे में ढेर करते हैं (प्रत्येक बिन $ 1 का एक तिहाई है, तो तीन डिब्बे $ 9 से $ 10 के अंतराल को कवर करते हैं), हमें निम्नलिखित हिस्टोग्राम मिलेगा:

याद रखें कि हमारा GBM मॉडल सामान्यता मानता है; मूल्य रिटर्न आम तौर पर अपेक्षित रिटर्न (माध्य) "एम" और. के साथ वितरित किए जाते हैं मानक विचलन "एस।" दिलचस्प बात यह है कि हमारा हिस्टोग्राम सामान्य नहीं दिख रहा है। वास्तव में, अधिक परीक्षणों के साथ, यह सामान्यता की ओर प्रवृत्त नहीं होगा। इसके बजाय, यह एक असामान्य वितरण की ओर जाएगा: माध्य के बाईं ओर एक तेज गिरावट और माध्य के दाईं ओर एक अत्यधिक तिरछी "लंबी पूंछ"।

यह अक्सर पहली बार छात्रों के लिए संभावित रूप से भ्रमित करने वाला गतिशील होता है:

• कीमत रिटर्न सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं।
• कीमत स्तरों लॉग-सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं।

इसके बारे में इस तरह से सोचें: एक स्टॉक 5% या 10% ऊपर या नीचे वापस आ सकता है, लेकिन एक निश्चित अवधि के बाद, स्टॉक की कीमत नकारात्मक नहीं हो सकती है। इसके अलावा, ऊपर की ओर कीमतों में वृद्धि हुई है a कंपाउंडिंग प्रभाव, जबकि कीमत नीचे की ओर घटती है, आधार को कम करें: 10% खो दें और अगली बार खोने के लिए आपके पास कम बचा है।

यहां हमारी सचित्र धारणाओं पर आरोपित असामान्य वितरण का एक चार्ट है (उदाहरण के लिए $ 10 की शुरुआती कीमत):

तल - रेखा

एक मोंटे कार्लो सिमुलेशन संभावित भविष्य के परिणामों के एक प्रशंसनीय सेट का उत्पादन करने के प्रयास में एक चयनित मॉडल (जो एक उपकरण के व्यवहार को निर्दिष्ट करता है) को यादृच्छिक परीक्षणों के एक बड़े सेट पर लागू करता है। स्टॉक की कीमतों के अनुकरण के संबंध में, सबसे आम मॉडल ज्यामितीय ब्राउनियन गति (जीबीएम) है। GBM मानता है कि एक निरंतर बहाव यादृच्छिक झटके के साथ होता है। जबकि जीबीएम के तहत अवधि रिटर्न सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, परिणामी बहु-अवधि (उदाहरण के लिए, दस दिन) मूल्य स्तर सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं।