Teoria dei giochi: oltre le basi

Usando teoria del gioco, è possibile definire scenari reali per situazioni come la concorrenza sui prezzi e il rilascio di prodotti (e molti altri) e prevederne i risultati. Le aziende che utilizzano (e si attengono a) questo dispositivo per determinare il Equilibrio di Nash vedere un enorme vantaggio nelle loro strategie di budget.

Di chi è il turno?

Mentre i giochi sequenziali vengono giocati a turno, i giochi simultanei vengono giocati con ogni giocatore che prende la sua decisione allo stesso tempo. Con i giochi simultanei, non usiamo più il comune metodo introduttivo dell'induzione all'indietro. fautori di teoria del gioco spesso tabulare i diversi risultati in quella che viene chiamata una matrice (sotto).

Giocatore uno / Giocatore due	Sinistra	Destra
Su	(1, 3)	(4, 2)
Fuori uso	(3, 2)	(3, 1)

Questa matrice è detta forma normale. Le scelte del giocatore uno sono mostrate sull'asse verticale sinistro e le scelte del giocatore due sono mostrate sull'asse orizzontale superiore. Le vincite per ogni giocatore sono nelle loro intersezioni corrispondenti e sono visualizzate come segue (giocatore uno, giocatore due).

L'equilibrio di Nash

Nash Equilibrium è un risultato raggiunto che, una volta raggiunto, significa che nessun giocatore può aumentare il payoff modificando le decisioni unilateralmente. Può anche essere pensato come "nessun rimpianto", nel senso che una volta presa una decisione, il giocatore non avrà rimpianti riguardo alle decisioni che considerano le conseguenze.

L'equilibrio di Nash viene raggiunto nel tempo, nella maggior parte dei casi. Tuttavia, una volta raggiunto l'equilibrio di Nash, non verrà deviato. Dopo aver appreso come trovare l'equilibrio di Nash, dai un'occhiata a come una mossa unilaterale influenzerebbe la situazione. Ha senso? Non dovrebbe, ed è per questo che l'equilibrio di Nash è descritto come "senza rimpianti".

Trovare gli equilibri di Nash

Fase uno: determina la migliore risposta del giocatore uno alle azioni del giocatore due.
Quando esaminiamo le scelte che possono massimizzare la vincita di un giocatore, dobbiamo considerare come il giocatore uno dovrebbe rispondere a ciascuna delle opzioni che ha il giocatore due. Un modo semplice per farlo visivamente è nascondere le scelte del giocatore due. Considera la matrice ritratta all'inizio di questo articolo mentre applichiamo questo metodo.

Giocatore uno / Giocatore due	Sinistra	Destra
Su	(1, -)	(4, -)
Fuori uso	(3, -)	(3, -)

Il giocatore uno ha due possibili scelte per giocare: "su" o "giù". Il giocatore due ha anche due scelte per giocare: "sinistra o destra." In questa fase della determinazione dell'equilibrio di Nash, esaminiamo le risposte ai giocatori due Azioni. Se il giocatore due sceglie di giocare "a sinistra", possiamo giocare "su" con il payoff di 1, o giocare "down" con il payoff di 3. Poiché 3 è maggiore di 1, metteremo in grassetto il 3 che indica l'opzione per giocare "in basso" qui.

Se il giocatore due sceglie di giocare "giusto", possiamo scegliere di giocare "su" per un payoff di 4 o giocare "down" per un playoff di 3. Poiché 4 è maggiore di 3, indichiamo il 4 in grassetto per indicare l'opzione per giocare "su" qui. I risultati in grassetto sono mostrati di seguito sulla matrice completa.

Giocatore uno / Giocatore due	Sinistra	Destra
Su	(1, 3)	(4, 2)
Fuori uso	(3, 2)	(3, 1)

Fase due: determina la migliore risposta del giocatore due alle azioni del giocatore uno.
Come abbiamo fatto prima con i guadagni del giocatore due per il giocatore uno, nasconderemo i guadagni del giocatore uno quando determiniamo le migliori risposte per il giocatore due.

Giocatore uno / Giocatore due	Sinistra	Destra
Su	(-, 3)	(-, 2)
Fuori uso	(-, 2)	(-, 1)

Proprio come quando si guarda al giocatore uno, ogni giocatore ha due scelte da giocare. Se il giocatore uno sceglie di giocare "su", possiamo giocare a "sinistra", con una vincita di 3, o "a destra", con una vincita di 2. Poiché 3 è maggiore di 2, mettiamo in grassetto il 3 per mostrare l'opzione per giocare a "sinistra" qui. Se il giocatore uno sceglie di giocare "in basso", possiamo giocare a "sinistra", per un guadagno di 2, o "destra", per un guadagno di 1. Poiché 2 è maggiore di 1, qui il 2 in grassetto indica l'opzione per giocare a "sinistra". I risultati in grassetto sono mostrati di seguito sulla matrice completa.

Giocatore uno / Giocatore due	Sinistra	Destra
Su	(1, 3)	(4, 2)
Fuori uso	(3, 2)	(3, 1)

Fase tre: determinare quali risultati hanno entrambi i payoff in grassetto. Quel particolare risultato è l'equilibrio di Nash.
Ora combiniamo le opzioni in grassetto per entrambi i giocatori sulla matrice completa.

Giocatore uno / Giocatore due	Sinistra	Destra
Su	(1, 3)	(4, 2)
Fuori uso	(3, 2)	(3, 1)

Cerca le intersezioni in cui entrambi i payoff sono in grassetto. In questo caso, troviamo che l'intersezione di (Giù, Sinistra) con il payoff di (3, 2) soddisfa i nostri criteri. Questo indica il nostro equilibrio di Nash.

Questo metodo per trovare l'equilibrio di Nash è adatto per trovare equilibri nei giochi che sono simultanei poiché stiamo osservando come un giocatore risponderebbe indipendentemente da come agisce l'altro. Questo scenario di un gioco simultaneo si gioca spesso in aziende come le compagnie aeree. Di seguito è riportato un esempio, simile al gioco sopra, di come potrebbero essere i prezzi delle compagnie aeree. I pagamenti sono in migliaia di dollari. Ricorda, questi sono i pagamenti, non i prezzi. Il metodo che abbiamo applicato in precedenza è già applicato per mostrare dove appare l'equilibrio di Nash.

Compagnia aerea uno / Compagnia aerea due	Prezzo basso	Alto prezzo
Prezzo basso	(3,000, 3,000)	(4,000, 2,000)
Alto prezzo	(2,000, 4,000)	(3,500, 3,500)

Guardando solo le scelte di A1 possiamo vedere che se A2 sceglie di giocare a prezzo basso, scegliamo tra il prezzo basso per 3.000 o il prezzo alto per 2.000. Scegliamo basso, poiché 3.000 > 2.000. Facciamo la stessa cosa per A2 giocando a prezzo alto e vediamo che giochiamo basso perché 4.000 > 3.500. Al contrario, guardando solo le scelte di A2, possiamo vedere che se A1 sceglie di giocare a prezzo basso, scegliamo tra "prezzo basso" per 3.000 e "prezzo alto" per 2.000. Da 3.000 > 2.000, qui scegliamo l'opzione a basso prezzo. Se A1 gioca a prezzo alto, possiamo addebitare un prezzo basso per 4.000 o un prezzo alto per 3.500. Dal momento che 4.000 > 3.500, scegliamo di giocare a basso prezzo qui.

L'equilibrio di Nash è che entrambe le compagnie aeree addebiteranno un prezzo basso (mostrato quando sono evidenziate le scelte per ciascuna parte). Se entrambe le compagnie aeree addebitassero un prezzo elevato, ciascuna di esse starebbe meglio di quanto non sia all'equilibrio di Nash.

Allora perché non accettano di farlo? Prima di tutto, è illegale collude. In secondo luogo, se ciò dovesse accadere, un'azione unilaterale da parte di una compagnia aerea per applicare un prezzo basso sarebbe vantaggiosa, con il risultato che quella compagnia aerea a sua volta guadagnerebbe di più. Questa logica mostra anche come viene raggiunto l'equilibrio di Nash e perché non è vantaggioso deviarlo una volta raggiunto.

Equilibri di Nash multipli

In generale, ci può essere più di un equilibrio in un gioco. Tuttavia, questo di solito si verifica nei giochi con elementi più complessi rispetto a due scelte di due giocatori. Nei giochi simultanei che si ripetono nel tempo, uno di questi equilibri multipli viene raggiunto dopo alcuni tentativi ed errori. Questo scenario di scelte diverse nel tempo prima di raggiungere l'equilibrio è il più spesso giocato nel mondo degli affari quando due aziende determinano i prezzi per prodotti altamente intercambiabili, come biglietti aerei o soft bevande.

La linea di fondo

Con questi metodi avanzati, è possibile modellare e risolvere più situazioni del mondo reale. I diversi tipi di equilibri di Nash di cui abbiamo discusso sono le soluzioni più comuni per i giochi modellati nel mondo reale. Una conoscenza pratica della teoria dei giochi può aiutarti a formare una strategia, sia giocando a tris o gareggiando per i maggiori profitti.