Come si usa la regola del 72 per calcolare la capitalizzazione continua?

Il regola del 72 è una scorciatoia matematica utilizzata per prevedere quando una popolazione, un investimento o un'altra categoria in crescita raddoppierà di dimensioni per un dato tasso di crescita. È anche usato come dispositivo euristico per dimostrare la natura di interesse composto. È stato raccomandato da molti statistici di utilizzare il numero 69, anziché 72, per stimare i risultati di tassi di crescita composti continui. Calcola quanto velocemente la capitalizzazione continua raddoppierà il valore del tuo investimento dividendo 69 per il suo tasso di crescita.

La regola del 72 era in realtà basata sulla regola del 69, non viceversa. Per la composizione non continua, il numero 72 è più popolare perché ha più fattori ed è più facile da eseguire calcolare i rendimenti rapidamente.

Composto continuo

In finanza, la capitalizzazione continua si riferisce a un tasso di crescita con periodi di capitalizzazione infinitamente piccoli; l'interesse generato viene calcolato e composto più di una volta al secondo, ad esempio.

Perché un investimento con composizione continua cresce più velocemente di un investimento con composizione semplice o discreta, standard valore temporale del denaro i calcoli sono mal equipaggiati per gestirli.

Regola del 72 e Compounding

La regola del 72 deriva da una formula standard di interesse composto:

​VFtuTtuRe​=PV∗(1+R)ndove:VFtuTtuRe​=Valore futuroPV=Valore attualeR=Tasso d'interesse​

Questa formula consente di trovare un valore futuro che è esattamente il doppio del valore attuale. Fallo sostituendo FV = 2 e PV = 1:

$2.={(1.-\mathrm{R.})}^{\mathrm{n.}}$2=(1−R)n

Ora, prendi il logaritmo di entrambi i membri dell'equazione e usa la regola della potenza per semplificare ulteriormente l'equazione:

2ln20.693​=(1−R)n∴=ln(1−R)n=n∗ln(1−R)∴≈n∗R​

Poiché 0,693 è il logaritmo naturale di 2. Questa semplificazione sfrutta il fatto che, per piccoli valori di r, vale la seguente approssimazione:

$\mathrm{ln.}(1.+\mathrm{R.})\approx \mathrm{R.}$ln(1+R)≈R

L'equazione può essere ulteriormente riscritta per isolare il numero di periodi di tempo: 0,693 / tasso di interesse = n. Per rendere il tasso di interesse un numero intero, moltiplica entrambi i membri per 100. L'ultima formula è quindi 69,3 / tasso d'interesse (percentuale) = numero di periodi.

Non è molto facile calcolare alcuni numeri divisi per 69,3, quindi statistici e investitori hanno optato per l'intero più vicino con molti fattori: 72. Questo ha creato la regola del 72 per un rapido valore futuro e capitalizzazione stime.

Composto continuo e regola del 69(.3)

L'ipotesi che il logaritmo naturale di (1 + tasso di interesse) sia uguale al tasso di interesse è vera solo quando il tasso di interesse si avvicina a zero in passi infinitesimali. In altre parole, è solo in caso di capitalizzazione continua che un investimento raddoppierà di valore secondo la regola del 69.

Se vuoi davvero calcolare quanto velocemente un investimento raddoppierà per un dato tasso di interesse, usa la regola del 69. Più specificamente, usa la regola del 69.3.

Supponiamo che un investimento a tasso fisso garantisce il 4% in continua crescita. Applicando la regola della formula 69,3 e dividendo 69,3 per 4, è possibile scoprire che l'investimento iniziale dovrebbe raddoppiare di valore in 17.325 anni.