Speltheorie: voorbij de basis

Gebruik makend van spel theorie, kunnen realistische scenario's voor situaties als prijsconcurrentie en productreleases (en nog veel meer) worden opgesteld en hun resultaten worden voorspeld. Bedrijven die dit apparaat gebruiken (en zich daaraan houden) om de Nash-evenwicht zien een enorm voordeel in hun budgetteringsstrategieën.

Wie is aan de beurt?

Terwijl opeenvolgende spellen om de beurt worden gespeeld, worden gelijktijdige spellen gespeeld waarbij elke speler tegelijkertijd zijn beslissing neemt. Bij gelijktijdige spellen gebruiken we niet langer de gebruikelijke inleidende methode van achterwaartse inductie. voorstanders van spel theorie vaak tabel de verschillende uitkomsten in wat een matrix wordt genoemd (hieronder).

Speler één / Speler twee	Links	Rechts
Omhoog	(1, 3)	(4, 2)
Omlaag	(3, 2)	(3, 1)

Deze matrix wordt de normaalvorm genoemd. De keuzes van speler één worden weergegeven op de linker verticale as en de keuzes van speler twee worden weergegeven op de bovenste horizontale as. De uitbetalingen voor elke speler staan ​​in hun corresponderende kruispunten en worden als volgt weergegeven (speler één, speler twee).

Het Nash-evenwicht

Nash Equilibrium is een resultaat dat, eenmaal bereikt, betekent dat geen enkele speler de uitbetaling kan verhogen door beslissingen eenzijdig te wijzigen. Het kan ook worden gezien als "geen spijt", in de zin dat als een beslissing eenmaal is genomen, de speler geen spijt zal hebben van beslissingen die rekening houden met de gevolgen.

Het Nash-evenwicht wordt in de meeste gevallen na verloop van tijd bereikt. Zodra het Nash-evenwicht is bereikt, wordt er echter niet meer van afgeweken. Nadat we hebben geleerd hoe we het Nash-evenwicht kunnen vinden, moet u eens kijken hoe een eenzijdige zet de situatie zou beïnvloeden. Is het logisch? Dat zou niet moeten, en daarom wordt het Nash-evenwicht beschreven als 'geen spijt'.

Nash-evenwicht vinden

Stap één: Bepaal de beste reactie van speler één op de acties van speler twee.
Bij het onderzoeken van de keuzes die de uitbetaling van een speler kunnen maximaliseren, moeten we kijken naar hoe speler één moet reageren op elk van de opties die speler twee heeft. Een gemakkelijke manier om dit visueel te doen, is door de keuzes van speler twee te verdoezelen. Overweeg de matrix die aan het begin van dit artikel is weergegeven terwijl we deze methode toepassen.

Speler één / Speler twee	Links	Rechts
Omhoog	(1, -)	(4, -)
Omlaag	(3, -)	(3, -)

Speler één heeft twee mogelijke keuzes om te spelen: "omhoog" of "omlaag". Speler twee heeft ook twee keuzes om te spelen: "links of rechts." In deze stap van het bepalen van het Nash-evenwicht kijken we naar reacties op speler twee acties. Als speler twee ervoor kiest om "links" te spelen, kunnen we "omhoog" spelen met de uitbetaling van 1, of "omlaag" spelen met de uitbetaling van 3. Aangezien 3 groter is dan 1, zullen we de 3 vetgedrukt maken om de optie om "down" te spelen hier aan te geven.

Als speler twee ervoor kiest om "goed" te spelen, kunnen we ofwel "up" spelen voor een uitbetaling van 4 of "down" spelen voor een play-off van 3. Omdat 4 groter is dan 3, maken we de 4 vetgedrukt om de optie aan te geven om hier "omhoog" te spelen. De vetgedrukte uitkomsten worden hieronder weergegeven op de volledige matrix.

Speler één / Speler twee	Links	Rechts
Omhoog	(1, 3)	(4, 2)
Omlaag	(3, 2)	(3, 1)

Stap twee: Bepaal de beste reactie van speler twee op de acties van speler één.
Zoals we eerder deden met de speler twee uitbetalingen voor speler één, zullen we de uitbetalingen van speler één verbergen bij het bepalen van de beste antwoorden voor speler twee.

Speler één / Speler twee	Links	Rechts
Omhoog	(-, 3)	(-, 2)
Omlaag	(-, 2)	(-, 1)

Net als bij het kijken naar speler één, heeft elke speler twee keuzes om te spelen. Als speler één ervoor kiest om 'boven' te spelen, kunnen we 'links' spelen met een uitbetaling van 3, of 'rechts' met een uitbetaling van 2. Aangezien 3 groter is dan 2, maken we de 3 vetgedrukt om de optie om hier "links" te spelen weer te geven. Als speler één ervoor kiest om 'down' te spelen, kunnen we 'links' spelen voor een uitbetaling van 2, of 'rechts' voor een uitbetaling van 1. Aangezien 2 groter is dan 1, maken we de 2 vetgedrukt om de optie om hier "links" te spelen aan te geven. De vetgedrukte uitkomsten worden hieronder weergegeven op de volledige matrix.

Speler één / Speler twee	Links	Rechts
Omhoog	(1, 3)	(4, 2)
Omlaag	(3, 2)	(3, 1)

Stap drie: Bepaal welke uitkomsten beide uitbetalingen vetgedrukt hebben. Dat specifieke resultaat is het Nash-evenwicht.
Nu combineren we de gedurfde opties voor beide spelers op de volledige matrix.

Speler één / Speler twee	Links	Rechts
Omhoog	(1, 3)	(4, 2)
Omlaag	(3, 2)	(3, 1)

Zoek naar kruispunten waar beide uitbetalingen vetgedrukt zijn. In dit geval vinden we dat het snijpunt van (Omlaag, Links) met de uitbetaling van (3, 2) aan onze criteria voldoet. Dit geeft ons Nash-evenwicht aan.

Deze methode om Nash Equilibrium te vinden is zeer geschikt voor het vinden van evenwichten in games die gelijktijdig zijn, omdat we kijken naar hoe een speler zou reageren, onafhankelijk van hoe de ander handelt. Dit scenario van een simultaan spel wordt vaak gespeeld in bedrijven zoals luchtvaartmaatschappijen. Hieronder ziet u een voorbeeld, vergelijkbaar met het spel hierboven, van hoe de prijsstelling van luchtvaartmaatschappijen kan verlopen. De uitbetalingen zijn in duizenden dollars. Onthoud dat dit de uitbetalingen zijn, niet de prijzen. De methode die we eerder hebben toegepast, wordt al toegepast om te laten zien waar het Nash-evenwicht verschijnt.

Luchtvaartmaatschappij één / luchtvaartmaatschappij twee	Lage prijs	Hoge prijs
Lage prijs	(3,000, 3,000)	(4,000, 2,000)
Hoge prijs	(2,000, 4,000)	(3,500, 3,500)

Als we alleen naar de keuzes van A1 kijken, kunnen we zien dat als A2 ervoor kiest om een ​​lage prijs te spelen, we kiezen tussen een lage prijs voor 3.000 of een hoge prijs voor 2.000. We kiezen voor laag, aangezien 3.000 > 2.000. We doen hetzelfde voor A2 die hoge prijs speelt en zien dat we laag spelen omdat 4.000 > 3.500. Omgekeerd, als we alleen naar de keuzes van A2 kijken, kunnen we zien dat als A1 ervoor kiest om een ​​lage prijs te spelen, we kiezen tussen "lage prijs" voor 3.000 en "hoge prijs" voor 2.000. Sinds 3.000 > 2.000 kiezen we hier voor de lage prijs optie. Als A1 een hoge prijs speelt, kunnen we een lage prijs rekenen voor 4.000 of een hoge prijs voor 3.500. Sinds 4.000 > 3.500 kiezen we ervoor om hier lage prijs te spelen.

Het Nash-evenwicht is dat beide luchtvaartmaatschappijen een lage prijs rekenen (weergegeven wanneer keuzes voor elke partij zijn gemarkeerd). Als beide luchtvaartmaatschappijen een hoge prijs vragen, zouden ze allebei beter af zijn dan bij het Nash Equilibrium.

Dus waarom stemmen ze er niet mee in dit te doen? Ten eerste is het illegaal om samenspannen. Ten tweede, als dit zou gebeuren, zou een eenzijdige actie namens een luchtvaartmaatschappij om een ​​lage prijs in rekening te brengen gunstig zijn, waardoor die luchtvaartmaatschappij op haar beurt meer geld zou verdienen. Deze logica laat ook zien hoe het Nash-evenwicht wordt bereikt en waarom het niet gunstig is om ervan af te wijken als het eenmaal is bereikt.

Meerdere Nash-evenwichten

Over het algemeen kan er meer dan één evenwicht in een spel zijn. Dit komt echter meestal voor bij spellen met meer complexe elementen dan twee keuzes door twee spelers. Bij gelijktijdige spellen die in de loop van de tijd worden herhaald, wordt na wat vallen en opstaan ​​een van deze meervoudige evenwichten bereikt. Dit scenario van verschillende keuzes in de loop van de tijd voordat het evenwicht wordt bereikt, wordt het vaakst gespeeld in de zakenwereld wanneer twee bedrijven prijzen bepalen voor zeer onderling uitwisselbare producten, zoals vliegtickets of soft drankjes.

Het komt neer op

Met deze geavanceerde methoden kunnen meer praktijksituaties worden gemodelleerd en opgelost. De verschillende soorten Nash Equilibria die we hebben besproken, zijn de meest voorkomende oplossingen voor gemodelleerde games in de echte wereld. Een praktische kennis van de speltheorie kan je helpen een strategie te vormen, of je nu boter-kaas-en-eieren speelt of strijdt om de grootste winst.