Definitie en formule van eenvoudige en samengestelde rente

Rente wordt gedefinieerd als de kosten van het lenen van geld, zoals in het geval van rente die in rekening wordt gebracht op een leningsaldo. Omgekeerd kan rente ook het tarief zijn dat wordt betaald voor geld op deposito, zoals in het geval van een depositocertificaat. De rente kan op twee manieren worden berekend: enkelvoudige rente of samengestelde rente.

• Enkelvoudige rente wordt berekend op de voornaam, of origineel, bedrag van een lening.
• Samengestelde rente is berekend op de hoofdsom en de opgebouwde rente van voorgaande perioden, en kan dus worden beschouwd als ‘rente op rente’.

Er kan een groot verschil in het bedrag van de te betalen rente op een lening als de rente op samengestelde basis wordt berekend in plaats van op eenvoudige basis. Positief is dat de magie van compounding in uw voordeel kan werken als het gaat om uw investeringen en een krachtige factor kan zijn bij het creëren van rijkdom.

Terwijl enkelvoudige rente en samengestelde rente zijn financiële basisbegrippen, als u er grondig vertrouwd mee raakt, kunt u beter geïnformeerde beslissingen nemen bij het aangaan van een lening of beleggen.

Formule voor enkelvoudige rente

De formule voor het berekenen van enkelvoudige rente is:

​Enkelvoudige rente=P×I×Nwaar:P=VoornaamI=RenteN=Looptijd van de lening​

Als er dus een enkelvoudige rente wordt berekend van 5% op een lening van $ 10.000 die voor drie jaar wordt afgesloten, wordt het totale door de lener te betalen bedrag aan rente berekend als $ 10.000 x 0,05 x 3 = $ 1.500.

De rente op deze lening is verschuldigd tegen $ 500 per jaar, of $ 1.500 over de looptijd van de lening van drie jaar.

Samengestelde renteformule

De formule voor het berekenen van samengestelde rente in een jaar is:

​Samengestelde rente=(P(1+I)N)−PSamengestelde rente=P((1+I)N−1)waar:P=VoornaamI=Rentepercentage in procentenN=Aantal samengestelde perioden voor een jaar​

Samengestelde rente = totaal bedrag aan hoofdsom en rente in de toekomst (of future waarde) minus de huidige hoofdsom, genaamd contante waarde (PV). PV is de huidige waarde van een toekomstige som geld of stroom van geld rolt gegeven een gespecificeerde rendement.

Verdergaand met het voorbeeld van enkelvoudige rente, wat zou het rentebedrag zijn als het op samengestelde basis in rekening wordt gebracht? In dit geval zou het zijn:

Interesse​=$10,000((1+0.05)3−1)=$10,000(1.157625−1)=$1,576.25​

Hoewel de totale te betalen rente over de periode van drie jaar van deze lening $ 1.576,25 is, in tegenstelling tot enkelvoudige rente, is het rentebedrag niet voor alle drie de jaren hetzelfde omdat bij samengestelde rente ook rekening wordt gehouden met de opgebouwde rente van voorgaande perioden. De aan het einde van elk jaar te betalen rente is weergegeven in onderstaande tabel.

Jaar	Beginsaldo (P)	Rente bij 5% (I)	Eindsaldo (P+I)
1	$10,000.00	$500.00	$10,500.00
2	$10,500.00	$525.00	$11,025.00
3	$11,025.00	$551.25	$11,576.25
Totale rente	$1,576.25

Samengestelde perioden

Bij het berekenen van samengestelde rente maakt het aantal samengestelde perioden een significant verschil. Over het algemeen geldt: hoe hoger het aantal samengestelde perioden, hoe groter het bedrag aan samengestelde rente. Dus voor elke $ 100 van een lening over een bepaalde periode, het bedrag aan rente opgebouwd van 10% per jaar lager is dan de opgebouwde rente van 5% per halfjaar, die op zijn beurt lager zal zijn dan de opgebouwde rente van 2,5% per kwartaal.

In de formule voor het berekenen van samengestelde rente moeten de variabelen "i" en "n" worden aangepast als het aantal samengestelde perioden meer dan één keer per jaar is.

Dat wil zeggen, tussen haakjes moet "i" of rentepercentage worden gedeeld door "n", het aantal samengestelde perioden per jaar. Buiten de haakjes moet "n" worden vermenigvuldigd met "t", de totale lengte van de investering.

Daarom geldt voor een 10-jarige lening van 10%, waarbij de rente halfjaarlijks wordt samengesteld (aantal samengestelde perioden = 2), i = 5% (d.w.z. 10% ÷ 2) en n = 20 (d.w.z. 10 x 2).

Om de totale waarde met samengestelde rente te berekenen, zou u deze vergelijking gebruiken:

​Totale waarde met samengestelde rente=(P(N1+I​)Nt)−PSamengestelde rente=P((N1+I​)Nt−1)waar:P=VoornaamI=Rentepercentage in procentenN=Aantal samengestelde perioden per jaart=Totaal aantal jaren voor de investering of lening​

De volgende tabel laat het verschil zien dat het aantal samengestelde perioden in de loop van de tijd kan maken voor een lening van $ 10.000 voor een periode van 10 jaar.

Samengestelde frequentie	Aantal samengestelde perioden	Waarden voor i/n en nt	Totale rente
jaarlijks	1	i/n = 10%, nt = 10	$15,937.42
Halfjaarlijks	2	i/n = 5%, nt = 20	$16,532.98
Per kwartaal	4	i/n = 2,5%, nt = 40	$16,850.64
Maandelijks	12	i/n = 0,833%, nt = 120	$17,059.68

Andere concepten van samengestelde rente

Tijdswaarde van geld

Aangezien geld niet "gratis" is, maar kosten met zich meebrengt in termen van te betalen rente, volgt hieruit dat een dollar vandaag meer waard is dan een dollar in de toekomst. Dit concept staat bekend als de tijdswaarde van geld en vormt de basis voor relatief geavanceerde technieken zoals verdisconteerde cashflow (DCF) analyse. Het tegenovergestelde van compounding staat bekend als: korting geven. De discontofactor kan worden gezien als het omgekeerde van de rentevoet en is de factor waarmee een toekomstige waarde moet worden vermenigvuldigd om de huidige waarde te krijgen.

De formules voor het verkrijgen van de toekomstige waarde (FV) en contante waarde (PV) zijn als volgt:

​FV=PV×(N1+I​)NtPV=FV÷(N1+I​)Ntwaar:I=Rentepercentage in procentenN=Aantal samengestelde perioden per jaart=Totaal aantal jaren voor de investering of lening​

Bijvoorbeeld, de toekomstige waarde van $ 10.000, samengesteld op 5% per jaar gedurende drie jaar:

= $10,000 (1 + 0.05)³

= $10,000 (1.157625)

= $11,576.25.

De huidige waarde van $ 11.576,25 verdisconteerd tegen 5% gedurende drie jaar:

= $11,576.25 / (1 + 0.05)³

= $11,576.25 / 1.157625.

= $10,000.

Het omgekeerde van 1,157625, wat gelijk is aan 0,8638376, is in dit geval de kortingsfactor.

De regel van 72

De Regel van 72 berekent de geschatte tijd waarin een investering zal verdubbelen bij een bepaald rendement of rente "i" en wordt gegeven door (72 ÷ i). Het kan alleen worden gebruikt voor jaarlijkse samenstelling, maar kan zeer nuttig zijn bij het plannen van hoeveel geld u zou verwachten te hebben als u met pensioen gaat.

Een investering met een jaarlijks rendement van 6% zal bijvoorbeeld in 12 jaar verdubbelen (72 ÷ 6%).

Een investering met een jaarlijks rendement van 8% zal in negen jaar verdubbelen (72 ÷ 8%).

Samengestelde jaarlijkse groeisnelheid (CAGR)

De samengestelde jaarlijkse groei (CAGR) wordt gebruikt voor de meeste financiële toepassingen waarvoor de berekening van een enkele groeisnelheid over een periode vereist is.

Als uw beleggingsportefeuille bijvoorbeeld in vijf jaar tijd is gegroeid van $ 10.000 naar $ 16.000, wat is dan de CAGR? In wezen betekent dit dat PV = $ 10.000, FV = $ 16.000 en nt = 5, dus de variabele "i" moet worden berekend. Een financiële rekenmachine gebruiken of Excel spreadsheet, kan worden aangetoond dat i = 9,86%.

Houd er rekening mee dat volgens de cashflow-conventie uw initiële investering (PV) van $ 10.000 wordt weergegeven met een negatief teken, omdat dit een uitstroom van fondsen vertegenwoordigt. PV en FV moeten noodzakelijkerwijs tegengestelde tekens hebben om "i" in de bovenstaande vergelijking op te lossen.

Real-life toepassingen

CAGR wordt veelvuldig gebruikt om rendementen over perioden te berekenen voor aandelen, beleggingsfondsen en beleggingsportefeuilles. CAGR wordt ook gebruikt om vast te stellen of een beheerder van een beleggingsfonds of een portefeuillebeheerder het rendement van de markt over een bepaalde periode heeft overschreden. Als een marktindex bijvoorbeeld over een periode van vijf jaar een totaalrendement van 10% heeft opgeleverd, maar een fondsbeheerder over dezelfde periode slechts een jaarrendement van 9% heeft behaald, dan heeft de beheerder ondermaats gepresteerd de markt.

CAGR kan ook worden gebruikt om de verwachte groei van beleggingsportefeuilles over lange perioden te berekenen, wat handig is voor bijvoorbeeld sparen voor pensioen. Beschouw de volgende voorbeelden:

1. Een risicomijdende belegger is blij met een bescheiden jaarlijks rendement van 3% op haar portefeuille. Haar huidige portefeuille van $ 100.000 zou daarom na 20 jaar groeien tot $ 180.611. Daarentegen zou een risicotolerante belegger die een jaarlijks rendement van 6% op zijn portefeuille verwacht, na 20 jaar $ 100.000 zien groeien tot $ 320.714.
2. CAGR kan worden gebruikt om in te schatten hoeveel er moet worden opgeborgen om te sparen voor een specifiek doel. Een stel dat in 10 jaar $ 50.000 wil sparen voor een aanbetaling op een appartement, zou $ 4.165 per jaar moeten besparen als ze uitgaan van een jaarlijks rendement (CAGR) van 4% op hun spaargeld. Als ze bereid zijn extra risico te nemen en een CAGR van 5% verwachten, dan zouden ze jaarlijks $ 3.975 moeten besparen.
3. CAGR kan ook worden gebruikt om de voordelen aan te tonen van eerder dan later in het leven beleggen. Als het doel is om $ 1 miljoen te sparen door met pensioen te gaan op 65-jarige leeftijd, gebaseerd op een CAGR van 6%, zou een 25-jarige $ 6.462 per jaar moeten sparen om dit doel te bereiken. Een 40-jarige daarentegen zou $ 18.227 moeten sparen, of bijna drie keer dat bedrag, om hetzelfde doel te bereiken.

Aanvullende belangenoverwegingen

Zorg ervoor dat u het exacte jaarlijkse betalingspercentage weet (april) op uw lening, aangezien de berekeningsmethode en het aantal samengestelde perioden van invloed kunnen zijn op uw maandelijkse betalingen. Hoewel banken en financiële instellingen gestandaardiseerde methoden hebben om de te betalen rente op hypotheken en andere leningen te berekenen, kunnen de berekeningen van land tot land enigszins verschillen.

Compounding kan in uw voordeel werken als het gaat om uw beleggingen, maar het kan ook voor u werken bij het terugbetalen van leningen. Bijvoorbeeld twee keer per maand de helft van uw hypotheek betalen, in plaats van één keer per maand de volledige betaling te doen maand, zal uiteindelijk uw afschrijvingsperiode verkorten en u een aanzienlijk bedrag aan rente besparen.

Compounding kan tegen u werken als u leningen aangaat met zeer hoge rentetarieven, zoals creditcard- of warenhuisschulden. Een creditcardsaldo van $ 25.000 met een rentepercentage van 20% - maandelijks samengesteld - zou bijvoorbeeld resulteren in een totale rentelast van $ 5.485 over een jaar of $ 457 per maand.

Het komt neer op

Laat de magie van compounding voor u werken door regelmatig te investeren en de frequentie van uw leningaflossingen te verhogen. Door uzelf vertrouwd te maken met de basisconcepten van enkelvoudige rente en samengestelde rente, kunt u betere financiële beslissingen nemen, waardoor u duizenden dollars bespaart en uw vermogen meer dan verhoogt tijd.