Como construir modelos de avaliação como o Black-Scholes

Avaliar as opções pode ser um negócio complicado. Considere o seguinte cenário: em janeiro de 2015, IBM As ações estavam sendo negociadas a $ 155 e você esperava que subisse mais no próximo ano. Você pretende comprar um opção de chamada no estoque da IBM com um ATMpreço de exercício de $ 155, esperando se beneficiar de retornos percentuais elevados, com base em um pequeno custo de opção (opção premium), em comparação com a compra de ações com um alto preço de compra.

Hoje, alguns métodos prontos diferentes estão disponíveis para opções de valor - incluindo o Modelo Black-Scholes e modelo de árvore binomial—Que pode fornecer respostas rápidas. Mas quais são os fatores subjacentes e os conceitos orientadores para chegar a esses modelos de avaliação? Pode-se preparar algo semelhante, com base no conceito desses modelos?

Aqui, cobrimos os blocos de construção, os conceitos subjacentes e os fatores que podem ser usados ​​como uma estrutura para construir um modelo de avaliação para um ativo, como opções, fornecendo uma comparação lado a lado com as origens do Black-Scholes (BS) modelo.

Este artigo não pretende desafiar as suposições ou quaisquer outros fatores do modelo BS (que é um tópico completamente diferente); em vez disso, visa explicar o conceito subjacente do modelo Black-Scholes, juntamente com a ideia de desenvolvimento do modelo de avaliação.

O mundo antes de Black-Scholes

Antes de Black-Scholes, o modelo baseado no equilíbrio Modelo de precificação de ativos de capital (CAPM) foi amplamente seguido. Os retornos e riscos foram equilibrados entre si, com base na preferência do investidor, ou seja, um alto esperava-se que o investidor que assumisse riscos fosse compensado com (o potencial de) retornos mais elevados em uma proporção.

O modelo BS encontra suas raízes no CAPM. De acordo com Fischer Black: “Eu apliquei o Modelo de Precificação de Ativos de Capital a todos os momentos da vida de um mandado, por todos os preços de ações e valores de garantia possíveis. ” Infelizmente, o CAPM não foi capaz de cumprir o requisito de justificativa (opção) de preços.

Black-Scholes continua sendo o primeiro modelo, baseado no conceito de arbitragem, fazendo uma mudança de paradigma dos modelos baseados em risco (como CAPM). Este novo desenvolvimento do modelo BS substituiu o conceito de retorno de ações CAPM com o reconhecimento do fato de que um perfeitamente cercado posição vai ganhar um taxa livre de risco. Isso eliminou as variações de risco e retorno e estabeleceu o conceito de arbitragem em que as avaliações são realizadas com base em premissas de conceito neutro ao risco - uma posição protegida (sem risco) deve levar a um livre de risco taxa de retorno.

O Desenvolvimento de Black-Scholes

Vamos começar estabelecendo o problema, quantificando-o e desenvolvendo uma estrutura para sua solução. Continuamos com nosso exemplo de avaliação da opção de compra de ATM na IBM com um preço de exercício de $ 155 com um ano para expirar.

Com base na definição básica de um opção de chamada, a menos que o preço das ações atinja o nível do preço de exercício, o retorno permanece zero. Após esse nível, o retorno aumenta linearmente (ou seja, um aumento de um dólar no subjacente fornecerá um retorno de um dólar da opção de compra).

Supondo que o comprador e o vendedor concordem com a avaliação justa (incluindo preço zero), o preço justo teórico para esta opção de compra será:

• Preço da opção de compra = $ 0, se subjacente
• Preço da opção de compra = (subjacente — strike), se subjacente> = strike (gráfico azul)

Isso representa o valor intrínseco da opção e parece perfeito do ponto de vista de um comprador de opções de compra. Na região vermelha, tanto o comprador quanto o vendedor têm uma avaliação justa (preço zero para o vendedor, retorno zero para o comprador). No entanto, o desafio da avaliação começa com a região azul, pois o comprador tem a vantagem de um retorno positivo, enquanto o vendedor sofre uma perda (desde que o preço subjacente vá acima do strike preço). É aqui que o comprador tem vantagem sobre o vendedor com preço zero. O preço deve ser diferente de zero para compensar o vendedor pelo risco que está assumindo.

No primeiro caso (gráfico vermelho), teoricamente, o preço zero é recebido pelo vendedor e não há potencial de retorno zero para o comprador (justo para ambos). Neste último caso (gráfico azul), o diferencial entre o subjacente e o strike será pago pelo vendedor ao comprador. O risco do vendedor se estende ao longo de um ano inteiro. Por exemplo, o preço da ação subjacente pode subir muito (digamos, para $ 200 em quatro meses) e o vendedor é obrigado a pagar ao comprador o diferencial de $ 45.

Assim, tudo se resume a:

1. O preço do subjacente ultrapassará o preço de exercício?
2. Em caso afirmativo, quão alto pode o preço subjacente (pois isso determinará o retorno para o comprador)?

Isso indica o grande risco assumido pelo vendedor, o que leva à pergunta: por que alguém venderia tal opção de compra, se não ganha nada pelo risco que está assumindo?

Nosso objetivo é chegar a um preço único que o vendedor deve cobrar do comprador, que pode compensá-lo pelo risco geral que ele está assumindo ao longo de um ano - tanto na região de pagamento zero (vermelho) quanto na região de pagamento linear (azul). O preço deve ser justo e aceitável para o comprador e o vendedor. Caso contrário, aquele que está em desvantagem em termos de pagamento ou recebimento de preço injusto não participará do mercado, anulando o propósito do negócio de comercialização. O modelo Black-Scholes visa estabelecer esse preço justo considerando a variação constante do preço da ação, o valor do dinheiro no tempo, o preço de exercício da opção e o tempo até o vencimento da opção. Semelhante ao modelo BS, vamos ver como podemos avaliar isso para nosso exemplo usando nossos próprios métodos.

Como avaliar o valor intrínseco na região azul?

Alguns métodos estão disponíveis para prever o movimento de preço esperado no futuro durante um determinado período de tempo:

• Pode-se analisar movimentos de preços semelhantes com a mesma duração no passado recente. O preço de fechamento histórico da IBM indica que no último ano (janeiro 2 de dezembro de 2014 a dezembro 31, 2014), o preço caiu para $ 160,44 de $ 185,53, um declínio de 13,5%.Podemos concluir uma mudança de preço de -13,5% para a IBM?
• Uma verificação mais detalhada indica que atingiu um máximo anual de $ 199,21 (em 10 de abril de 2014) e um mínimo anual de $ 150,5 (em dezembro 16, 2014). Baseando-os no dia de início, janeiro 2, 2014, e o preço de fechamento de $ 185,53, a variação percentual varia de + 7,37% a -18,88%. Agora, a faixa de variação parece muito mais ampla em comparação com o declínio calculado anteriormente de 13,5%.

Análises e observações semelhantes sobre dados históricos podem ser realizadas. Para continuar o desenvolvimento do nosso modelo de preços, vamos assumir esta metodologia simples para avaliar as variações de preços futuras.

Suponha que a IBM aumente 10% a cada ano (com base nos dados históricos dos últimos 20 anos). As estatísticas básicas indicam que a probabilidade da mudança no preço das ações da IBM pairando em torno de + 10% será muito maior do que a probabilidade de o preço da IBM aumentar 20% ou diminuir 30%, assumindo que os padrões históricos repita. Coletando pontos de dados históricos semelhantes com valores de probabilidade, uma visão geral retorno esperado sobre o preço das ações da IBM em um período de um ano pode ser calculado como um média ponderada de probabilidades e retornos associados. Por exemplo, suponha que os dados históricos de preços da IBM indiquem os seguintes movimentos:

• (-10%) em 25% das vezes,
• + 10% em 35% das vezes,
• + 15% em 20% das vezes,
• + 20% em 10% das vezes,
• + 25% em 5% das vezes e
• (-15%) em 5% das vezes.

Portanto, a média ponderada (ou o valor esperado) chega a:

(-10%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5% – 15%*5%)/100% = 6.5%

Ou seja, em média, espera-se que o preço das ações da IBM retorne + 6,5% em um ano para cada dólar. Se alguém compra as ações da IBM com um horizonte de um ano e um preço de compra de $ 155, pode-se esperar um retorno líquido de 155 * 6,5% = $ 10,075.

No entanto, isso é para o retorno do estoque. Precisamos procurar retornos esperados semelhantes para a opção de compra.

Com base no pagamento zero da opção de compra abaixo do preço de exercício ($ 155 existentes - opção de compra em caixa eletrônico), todos os movimentos negativos gerará zero payoffs, enquanto todos os movimentos positivos acima do preço de exercício gerarão Pague. O retorno esperado para a opção de compra será, portanto:

(-0%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5%—0%*5%)/100% = 9.75%

Ou seja, para cada $ 100 investidos na compra desta opção, pode-se esperar $ 9,75 (com base nas premissas acima).

No entanto, isso ainda permanece confinado à avaliação justa do valor intrínseco da opção e não captura corretamente o risco suportado pelo vendedor da opção pelas altas oscilações que podem ocorrer nesse ínterim (no caso de alta e baixa intrayear mencionados acima preços). Além do valor intrínseco, que preço pode ser acordado entre o comprador e o vendedor, para que o vendedor seja justamente compensado pelo risco que está assumindo no prazo de um ano?

Essas oscilações podem variar amplamente e o vendedor pode ter sua própria interpretação de quanto deseja ser compensado por isso. O modelo Black-Scholes pressupõe opções do tipo europeu, ou seja, nenhum exercício antes da data de vencimento. Assim, não é afetado por oscilações de preços intermediários e baseia sua avaliação em dias de negociação de ponta a ponta.

Na negociação do dia real, este volatilidade desempenha um papel importante na determinação dos preços das opções. A função de recompensa azul que comumente vemos é, na verdade, a recompensa na data de expiração. Realisticamente, o preço da opção (gráfico rosa) é sempre maior do que o retorno (gráfico azul), indicando o preço tomado pelo vendedor para compensar sua capacidade de assumir riscos. É por isso que o preço da opção também é conhecido como a opção "prêmio", indicando essencialmente o prêmio de risco.

Isso pode ser incluído em nosso modelo de avaliação, dependendo de quanta volatilidade é esperada no preço das ações e de quanto valor esperado isso renderia.

O modelo Black-Scholes faz isso de forma eficiente (é claro, dentro de seus próprios pressupostos) da seguinte forma:

​C=S×N(d1​)−X×e−rTN(d2​)​

O modelo BS assume distribuição lognormal dos movimentos dos preços das ações, o que justifica o uso de N (d1) e N (d2).

• Na primeira parte, S indica o preço atual da ação.
• N (d1) indica a probabilidade do movimento do preço atual das ações.

Se essa opção entrar no dinheiro permitindo que o comprador exerça essa opção, ele receberá uma ação das ações subjacentes da IBM. Se o trader o exercita hoje, então o S * N (d1) representa o dia presente valor esperado da opção.

Na segunda parte, X indica o preço de exercício.

• N (d2) representa a probabilidade do preço da ação estar acima do preço de exercício.
• Portanto, X * N (d2) representa o valor esperado do preço das ações remanescentes acima o preço de exercício.

Como o modelo Black-Scholes assume opções de estilo europeu em que o exercício é possível apenas no final, o valor esperado representado acima por X * N (d2) deve ser descontado para o valor de tempo de dinheiro. Portanto, a última parte é multiplicada com o termo exponencial elevado à taxa de juros ao longo do período.

A diferença líquida dos dois termos indica o valor do preço da opção a partir de hoje (em que o segundo termo é descontado)

Em nossa estrutura, tais movimentos de preços podem ser incluídos com mais precisão de várias maneiras:

• Refinamento adicional dos cálculos de retorno esperado, expandindo a faixa para intervalos mais finos para incluir movimentos de preços intradiários / intrayear 
• Inclusão de dados de mercado atuais, uma vez que refletem a atividade atual (semelhante a volatilidade implícita)
• Retornos esperados na data de expiração, que podem ser descontados até os dias atuais para avaliações realistas e ainda mais reduzidos do valor do dia presente

Assim, vemos que não há limite para as premissas, metodologias e customizações a serem selecionadas para análise quantitativa. Dependendo do ativo a ser negociado ou do investimento a ser considerado, um modelo autodesenvolvido pode ser trabalhado. É importante notar que a volatilidade dos movimentos de preços de diferentes classes de ativos variam muito - as ações têm inclinação de volatilidade, forex tem carranca de volatilidade—E os usuários devem incorporar os padrões de volatilidade aplicáveis ​​em seus modelos. Suposições e desvantagens são parte integrante de qualquer modelo e a aplicação com conhecimento de modelos em cenários de comércio do mundo real pode produzir melhores resultados.

The Bottom Line

Com ativos complexos entrando nos mercados ou mesmo baunilha simples ativos que entram em formas complexas de negociação, modelagem quantitativa e análise estão se tornando obrigatórios para avaliação. Infelizmente, nenhum modelo matemático vem sem um conjunto de desvantagens e suposições. A melhor abordagem é manter as suposições ao mínimo e estar ciente das desvantagens implícitas, que podem ajudar a definir os limites de uso e aplicabilidade dos modelos.