Quebrando o modelo binomial para avaliar uma opção

No mundo financeiro, o Black-Scholes e a opção binomial os modelos de avaliação são dois dos conceitos mais importantes da teoria financeira moderna. Ambos estão acostumados a valorize uma opção, e cada um tem suas próprias vantagens e desvantagens.

Algumas das vantagens básicas de usar o modelo binomial são:

Uma visão de vários períodos
Transparência
Capacidade de incorporar probabilidades

Neste artigo, exploraremos as vantagens de usar o modelo binomial em vez do modelo Black-Scholes e forneceremos algumas etapas básicas para desenvolver o modelo e explicar como ele é usado.

Visão de Períodos Múltiplos

O modelo binomial fornece uma visão de vários períodos do activo subjacente preço, bem como o preço da opção. Em contraste com o modelo de Black-Scholes, que fornece um resultado numérico baseado em entradas, o modelo binomial permite o cálculo do ativo e a opção por vários períodos, juntamente com a gama de resultados possíveis para cada período (ver abaixo de).

A vantagem dessa visão multiperíodo é que o usuário pode visualizar a mudança no preço do ativo de um período para outro e avaliar a opção com base nas decisões tomadas em diferentes momentos. Para um com sede nos EUA

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opção, que pode ser exercido a qualquer momento antes do data de validade, o modelo binomial pode fornecer informações sobre quando o exercício da opção pode ser aconselhável e quando ela deve ser mantida por períodos mais longos. Olhando para o árvore binomial de valores, um trader pode determinar com antecedência quando uma decisão sobre um exercício pode ocorrer. Se a opção tiver valor positivo, existe a possibilidade de exercício enquanto que, se a opção tiver valor menor que zero, deverá ser mantida por períodos mais longos.

Transparência

Intimamente relacionado à revisão de vários períodos está a capacidade do modelo binomial de fornecer transparência no valor subjacente do ativo e da opção à medida que o tempo avança. O modelo Black-Scholes tem cinco entradas:

O taxa livre de risco
O preço de exercício
O preço atual do ativo
Tempo para a maturidade
O volatilidade implícita do preço do ativo

Quando esses pontos de dados são inseridos em um modelo Black-Scholes, o modelo calcula um valor para a opção, mas os impactos desses fatores não são revelados em uma base período a período. Com o modelo binomial, um trader pode ver a mudança no preço do ativo subjacente de período a período e a mudança correspondente no preço da opção.

Incorporando Probabilidades

O método básico de cálculo do modelo de opções binomiais é usar a mesma probabilidade de sucesso e falha em cada período até que a opção expire. No entanto, um comerciante pode incorporar diferentes probabilidades para cada período com base nas novas informações obtidas com o passar do tempo.

Por exemplo, pode haver uma chance de 50/50 de que o preço do ativo subjacente possa aumentar ou diminuir 30% em um período. Para o segundo período, entretanto, a probabilidade de que o preço do ativo subjacente aumente pode crescer para 70/30. Por exemplo, se um investidor está avaliando um poço de petróleo, ele não tem certeza de qual é o valor desse poço de petróleo, mas há uma chance de 50/50 de que o preço suba. Se preços do petróleo subir no Período 1 tornando o poço de petróleo mais valioso e os fundamentos do mercado agora apontarem para aumentos contínuos nos preços do petróleo, a probabilidade de uma valorização adicional no preço pode agora ser de 70 por cento. O modelo binomial permite essa flexibilidade; o modelo Black-Scholes não.

Desenvolvendo o modelo

O modelo binomial mais simples terá dois retornos esperados cujas probabilidades somam 100 por cento. Em nosso exemplo, existem dois resultados possíveis para o poço de petróleo em cada momento. Uma versão mais complexa pode ter três ou mais resultados diferentes, cada um dos quais com uma probabilidade de ocorrência.

Para calcular os retornos por período a partir do tempo zero (agora), devemos fazer uma determinação do valor do ativo subjacente daqui a um período. Neste exemplo, assumimos o seguinte:

Preço do ativo subjacente (P): $ 500
Preço de exercício da opção de compra (K): $ 600
Taxa livre de risco para o período: 1 por cento
Mudança de preço a cada período: 30 por cento para cima ou para baixo

O preço do ativo subjacente é $ 500 e, no Período 1, pode valer $ 650 ou $ 350. Isso seria o equivalente a um aumento ou redução de 30% em um período. Uma vez que o preço de exercício das opções de compra que temos é de $ 600, se o ativo subjacente acabar sendo inferior a $ 600, o valor do opção de chamada seria zero. Por outro lado, se o ativo-objeto ultrapassar o preço de exercício de $ 600, o valor da opção de compra seria a diferença entre o preço do ativo-objeto e o preço de exercício. A fórmula para este cálculo é [max (P-K), 0].

$\begin{matrix} máx. [(P. - K.), 0.] \\ Onde: \\ P. = Preço do ativo subjacente. \\ K. = Preço de exercício da opção de compra. \end{matrix}$ max[(P−K),0]Onde:P=Preço do ativo subjacenteK=Preço de exercício da opção de compra

Suponha que haja 50% de chance de subir e 50% de chance de cair. Usando os valores do Período 1 como exemplo, é calculado como.

$\begin{matrix} máx. [($ 6. 5. 0. - $ 6. 0. 0.), 0.] * 0. . 5. + máx. [($ 3. 5. 0. - $ 6. 0. 0.), 0.] * 0. . 5. \\ = $ 5. 0. * 0. . 5. + $ 0. = $ 2. 5. \end{matrix}$ max[($650−$600),0]∗0.5+max[($350−$600),0]∗0.5=$50∗0.5+$0=$25

Para obter o valor atual da opção de compra, precisamos descontar os $ 25 do Período 1 de volta ao Período 0, que é.

$$ 2. 5. / (1. + 1. %) = $ 2. 4. . 7. 5.$ $25/(1+1%)=$24.75

Agora você pode ver que, se as probabilidades forem alteradas, o valor esperado do ativo subjacente também será alterado. Se a probabilidade deve ser alterada, ela também pode ser alterada para cada período subsequente e não precisa necessariamente permanecer a mesma durante todo o período.

O modelo binomial pode ser estendido facilmente a vários períodos. Embora o modelo Black-Scholes possa calcular o resultado de um data de validade, o modelo binomial estende os pontos de decisão a vários períodos.

Usos para o modelo binomial

Além de ser utilizado como método de cálculo do valor de uma opção, o modelo binomial também pode ser utilizado para projetos ou investimentos com alto grau de incerteza, orçamento de capital e decisões de alocação de recursos e projetos com vários períodos ou um opção embutida para continuar ou abandonar o projeto em determinados momentos.

Um exemplo simples é um projeto que envolve perfuração de petróleo. A incerteza desse tipo de projeto se o terreno que está sendo perfurado tem algum óleo, a quantidade de óleo que pode ser perfurado, se o óleo for encontrado, e o preço pelo qual o óleo pode ser vendido uma vez extraído.

O modelo de opção binomial pode auxiliar na tomada de decisões em cada ponto do projeto de perfuração de petróleo. Por exemplo, suponha que decidimos perfurar, mas o poço de petróleo só será lucrativo se encontrarmos petróleo suficiente e o preço do petróleo exceder uma certa quantidade. Levará um período completo para determinar a quantidade de petróleo que podemos extrair, bem como o preço do petróleo naquele momento. Após o primeiro período (um ano, por exemplo), podemos decidir com base nesses dois pontos de dados se vamos continuar a perfurar ou abandonar o projeto. Essas decisões podem ser tomadas continuamente até que se chegue a um ponto em que não haja valor para a perfuração, momento em que o poço será abandonado.

The Bottom Line

O modelo binomial oferece uma visão mais detalhada, permitindo visões de vários períodos do ativo subjacente preço e o preço da opção para vários períodos, bem como a gama de resultados possíveis para cada período. Enquanto o modelo Black-Scholes e o modelo binomial podem ser usados para opções de valor, o modelo binomial tem uma gama mais ampla de aplicações, é mais intuitivo e é mais fácil de usar.