Теория игр: за гранью основ

С использованием теория игрыможно представить реальные сценарии для таких ситуаций, как ценовая конкуренция и выпуск продукции (и многое другое), и спрогнозировать их результаты. Компании, которые используют (и придерживаются) это устройство для определения Равновесие по Нэшу видят огромную выгоду в своих стратегиях составления бюджета.

Чья это очередь?

В то время как в последовательные игры играют по очереди, в одновременные игры каждый игрок принимает решение одновременно. В одновременных играх мы больше не используем общий вводный метод обратной индукции. Сторонники теория игры часто сводят различные результаты в так называемую матрицу (ниже).

Первый игрок / Второй игрок	Левый	Правильно
Вверх	(1, 3)	(4, 2)
Вниз	(3, 2)	(3, 1)

Эта матрица называется нормальной формой. Выбор игрока 1 показан на левой вертикальной оси, а выбор игрока 2 показан на верхней горизонтальной оси. Выплаты для каждого игрока находятся на соответствующих пересечениях и отображаются следующим образом (первый игрок, второй игрок).

Равновесие Нэша

Равновесие Нэша - это результат, который, будучи достигнутым, означает, что ни один игрок не может увеличить выигрыш, изменив решения в одностороннем порядке. Его также можно рассматривать как «без сожалений» в том смысле, что после того, как решение принято, игрок не будет сожалеть о решениях с учетом последствий.

Равновесие по Нэшу в большинстве случаев достигается со временем. Однако, как только равновесие Нэша достигнуто, отклонения от него не будет. После того, как мы узнаем, как найти равновесие по Нэшу, посмотрим, как одностороннее движение повлияет на ситуацию. Есть ли в этом смысл? Так не должно быть, и именно поэтому равновесие по Нэшу описывается как «без сожалений».

Нахождение равновесия по Нэшу

Шаг первый: Определите лучший ответ игрока на действия второго игрока.
Изучая варианты, которые могут максимизировать выплату игрока, мы должны посмотреть, как первый игрок должен реагировать на каждый из вариантов, которые есть у второго игрока. Легкий способ сделать это визуально - скрыть выбор второго игрока. Рассмотрим матрицу, изображенную в начале этой статьи, когда мы применяем этот метод.

Первый игрок / Второй игрок	Левый	Правильно
Вверх	(1, -)	(4, -)
Вниз	(3, -)	(3, -)

У первого игрока есть два возможных варианта игры: «вверх» или «вниз». У второго игрока также есть два варианта игры: "влево или вправо." На этом этапе определения равновесия по Нэшу мы смотрим на ответы второго игрока. действия. Если второй игрок выбирает игру «влево», мы можем играть «вверх» с выплатой 1 или играть «вниз» с выплатой 3. Так как 3 больше 1, мы выделим 3 жирным шрифтом, что указывает на возможность игры «вниз».

Если второй игрок выбирает игру «правильно», мы можем либо играть «вверх» с выигрышем 4, либо играть «вниз» для выигрыша 3. Поскольку 4 больше 3, мы выделили 4 жирным шрифтом, чтобы указать, что здесь можно играть «вверх». Результаты, выделенные жирным шрифтом, показаны ниже в полной матрице.

Первый игрок / Второй игрок	Левый	Правильно
Вверх	(1, 3)	(4, 2)
Вниз	(3, 2)	(3, 1)

Шаг второй: Определите лучший ответ второго игрока на его действия.
Как мы делали ранее с выплатами первого игрока для первого игрока, мы скроем выплаты первого игрока при определении лучших ответов для второго игрока.

Первый игрок / Второй игрок	Левый	Правильно
Вверх	(-, 3)	(-, 2)
Вниз	(-, 2)	(-, 1)

Как и в случае с первым игроком, у каждого игрока есть два варианта игры. Если игрок 1 выбирает игру «вверх», мы можем играть «налево» с выплатой 3 или «направо» с выплатой 2. Так как 3 больше 2, мы выделим 3 жирным шрифтом, чтобы показать возможность играть «влево» здесь. Если игрок 1 выбирает игру «вниз», мы можем играть «влево» с выплатой 2 или «вправо» с выплатой 1. Так как 2 больше 1, мы выделим 2 жирным шрифтом, что указывает на возможность воспроизведения здесь «влево». Результаты, выделенные жирным шрифтом, показаны ниже в полной матрице.

Первый игрок / Второй игрок	Левый	Правильно
Вверх	(1, 3)	(4, 2)
Вниз	(3, 2)	(3, 1)

Шаг третий: определите, для каких результатов оба выигрыша выделены жирным шрифтом. Этот конкретный результат и есть равновесие по Нэшу.
Теперь мы объединяем жирные варианты для обоих игроков в полную матрицу.

Первый игрок / Второй игрок	Левый	Правильно
Вверх	(1, 3)	(4, 2)
Вниз	(3, 2)	(3, 1)

Ищите перекрестки, на которых оба выигрыша выделены жирным шрифтом. В этом случае мы обнаруживаем, что пересечение (Вниз, Влево) с выплатой (3, 2) соответствует нашим критериям. Это указывает на наше равновесие по Нэшу.

Этот метод нахождения равновесия по Нэшу хорошо подходит для нахождения равновесие в играх, которые являются одновременными, поскольку мы смотрим, как игрок отреагирует независимо от того, как действует другой. Этот сценарий одновременной игры часто разыгрывается в таких компаниях, как авиакомпании. Ниже приведен пример, аналогичный приведенной выше игре, о том, как может измениться ценообразование авиакомпаний. Выплаты производятся в тысячах долларов. Помните, что это выплаты, а не цены. Метод, который мы применили ранее, уже применяется, чтобы показать, где возникает равновесие по Нэшу.

Авиакомпания 1 / Авиакомпания 2	Низкая цена	Высокая цена
Низкая цена	(3,000, 3,000)	(4,000, 2,000)
Высокая цена	(2,000, 4,000)	(3,500, 3,500)

Глядя только на варианты выбора А1, мы видим, что если А2 предпочитает играть по низкой цене, мы выбираем между низкой ценой за 3000 и высокой ценой за 2000. Мы выбираем низкие, так как 3000> 2000. Мы делаем то же самое для А2, играющего по высокой цене, и видим, что мы играем по низкой, потому что 4000> 3500. И наоборот, глядя только на варианты выбора А2, мы можем видеть, что если А1 выбирает игру по низкой цене, мы выбираем между «низкой ценой» за 3000 и «высокой ценой» за 2000. Поскольку 3000> 2000, мы выбираем здесь вариант с низкой ценой. Если A1 играет высокую цену, мы можем назначить низкую цену за 4000 или высокую цену за 3500. Поскольку 4000> 3500, мы предпочитаем играть здесь по низкой цене.

Равновесие Нэша заключается в том, что обе авиакомпании взимают низкую цену (отображается, когда выбор каждой стороны выделен). Если бы обе авиакомпании установили высокую цену, каждая из них была бы в лучшем положении, чем при равновесии Нэша.

Так почему они не соглашаются на это? Во-первых, незаконно вступать в сговор. Во-вторых, если бы это произошло, одностороннее действие от имени одной авиакомпании по взиманию низкой цены было бы выгодным, в результате чего эта авиакомпания, в свою очередь, заработала бы больше денег. Эта логика также показывает, как достигается равновесие по Нэшу и почему нецелесообразно отклоняться от него после его достижения.

Множественные равновесия Нэша

Как правило, в игре может быть более одного равновесия. Однако это обычно происходит в играх с более сложными элементами, чем два выбора двух игроков. В одновременных играх, которые повторяются во времени, одно из этих множественных равновесий достигается после некоторых проб и ошибок. Этот сценарий изменения выбора с течением времени до достижения равновесия чаще всего разыгрывается в деловой мир, когда две фирмы определяют цены на взаимозаменяемые продукты, такие как авиабилеты или мягкие напитки.

Суть

С помощью этих передовых методов можно моделировать и решать больше реальных ситуаций. Обсуждаемые нами различные виды равновесий Нэша являются наиболее часто встречающимися решениями реальных смоделированных игр. Практические знания теории игр могут помочь вам сформировать стратегию, будь то игра в крестики-нолики или борьба за максимальную прибыль.