تعريف نموذج بلاك شول: الصيغة والمعادلة

ما هو نموذج بلاك شولز؟

نموذج Black-Scholes ، المعروف أيضًا باسم نموذج Black-Scholes-Merton (BSM) ، هو نموذج رياضي لتسعير عقد الخيارات. على وجه الخصوص ، يقدر النموذج التباين بمرور الوقت للأدوات المالية.

فهم نموذج بلاك سكولز

يعد نموذج بلاك شول أحد أهم المفاهيم في النظرية المالية الحديثة. تم تطويره في عام 1973 بواسطة Fischer Black ، روبرت ميرتون، و مايرون سكولز ولا يزال يستخدم على نطاق واسع اليوم. تعتبر من أفضل الطرق لتحديد السعر العادل للخيارات. يتطلب نموذج Black-Scholes خمسة متغيرات إدخال: سعر التنفيذ للخيار ، وسعر السهم الحالي ، ووقت انتهاء الصلاحية ، والمعدل الخالي من المخاطر ، والتقلب.

يُعرف أيضًا باسم Black-Scholes-Merton (BSM) ، وكان أول نموذج يستخدم على نطاق واسع لتسعير الخيارات. يتم استخدامه لحساب القيمة النظرية للخيارات باستخدام أسعار الأسهم الحالية ، والأرباح المتوقعة ، وسعر إضراب الخيار ، وأسعار الفائدة المتوقعة ، ووقت انتهاء الصلاحية ، والتقلبات المتوقعة.

تم تقديم المعادلة الأولية في مقالة بلاك أند شولز لعام 1973 ، "تسعير الخيارات والمسؤوليات المؤسسية" المنشورة في مجلة الاقتصاد السياسي. توفي بلاك قبل عامين من حصول سكولز وميرتون على جائزة نوبل في الاقتصاد لعام 1997 لعملهما في إيجاد طريقة جديدة لتحديد قيمة المشتقات. (لا تُمنح جائزة نوبل بعد وفاته ؛ ومع ذلك ، أقرت لجنة نوبل بدور بلاك في نموذج بلاك سكولز.)

يفترض بلاك شول أن الأدوات ، مثل أسهم الأسهم أو العقود الآجلة ، سيكون لها توزيع لوغاريتمي طبيعي للأسعار بعد مشي عشوائي مع الانجراف والتقلب المستمر. باستخدام هذا الافتراض والعوامل في المتغيرات المهمة الأخرى ، تستمد المعادلة سعر النمط الأوروبي خيار الشراء.

مدخلات معادلة بلاك شول هي التقلب، سعر الأصل، ال سعر الإضراب من الخيار ، الوقت حتى انتهاء صلاحية الخيار ، وخالية من المخاطر سعر الفائدة. مع هذه المتغيرات ، من الممكن نظريًا لبائعي الخيارات تحديد أسعار منطقية للخيارات التي يبيعونها.

علاوة على ذلك ، يتنبأ النموذج بأن سعر الأصول المتداولة بكثافة يتبع حركة براونية هندسية مع انجراف وتقلب مستمرين. عند تطبيقه على خيار الأسهم ، فإن النموذج يدمج تباين السعر الثابت للسهم ، والقيمة الزمنية للنقود ، وسعر إضراب الخيار ، ووقت انتهاء صلاحية الخيار.

افتراضات بلاك شول

يقدم نموذج بلاك شول بعض الافتراضات:

• الخيار هو الأوروبي ويمكن أن يكون فقط تمارس عند انتهاء الصلاحية.
• لا يتم دفع أي أرباح خلال فترة الخيار.
• تتسم الأسواق بالكفاءة (أي لا يمكن التنبؤ بحركات السوق).
• لا توجد تكاليف معاملات في شراء الخيار.
• ال نسبة الخلو من المخاطر وتقلب الأساس معروف وثابت.
• يتم توزيع عوائد الأصول الأساسية بشكل طبيعي.

في حين أن نموذج Black-Scholes الأصلي لم يأخذ في الاعتبار تأثيرات أرباح الأسهم المدفوعة خلال عمر الخيار ، فإن النموذج كثيرًا ما يتم تكييفه لحساب الأرباح من خلال تحديد أرباح سابقة قيمة تاريخ المخزون الأساسي. تم تعديل النموذج أيضًا من قبل العديد من صانعي سوق بيع الخيارات لحساب تأثير الخيارات التي يمكن ممارستها قبل انتهاء الصلاحية.

بدلاً من ذلك ، ستستخدم الشركات أ ذات الحدين أو ثلاثي الحدود نموذج أو Bjerksund-Stensland نموذج لتسعير الأكثر شيوعًا في التداول النمط الأمريكي والخيارات.

صيغة بلاك شول

الرياضيات المتضمنة في الصيغة معقدة ويمكن أن تكون مخيفة. لحسن الحظ ، لا تحتاج إلى معرفة الرياضيات أو حتى فهمها لاستخدام نمذجة Black-Scholes في استراتيجياتك الخاصة. يمكن لمتداولي الخيارات الوصول إلى مجموعة متنوعة من حاسبات الخيارات عبر الإنترنت ، كما أن العديد من منصات التداول اليوم تتميز بالقوة أدوات تحليل الخيارات ، بما في ذلك المؤشرات وجداول البيانات التي تقوم بإجراء الحسابات وإخراج تسعير الخيارات القيم.

يتم حساب صيغة خيار شراء Black-Scholes بضرب سعر السهم في دالة التوزيع الاحتمالي العادي القياسي التراكمي. بعد ذلك ، يتم طرح صافي القيمة الحالية (NPV) لسعر الإضراب مضروبًا في التوزيع العادي القياسي التراكمي من القيمة الناتجة للحساب السابق.

في التدوين الرياضي:

​ج=سر​ن(د1​)−كه−صرن(د2​)أين:د1​=σس​ر​لنكسر​​+(ص+2σالخامس2​​)ر​ود2​=د1​−σس​ر​أين:ج=سعر خيار الاستدعاءس=سعر المخزون الحالي (أو أي سعر أساسي آخر)ك=سعر الإضرابص=معدل فائدة خالٍ من المخاطرر=حان وقت النضجن=توزيع طبيعي​

انحراف التقلب

يفترض Black-Scholes أن أسعار الأسهم تتبع أ lognormal التوزيع لأن أسعار الأصول لا يمكن أن تكون سالبة (يحدها صفر).

في كثير من الأحيان ، لوحظ أن أسعار الأصول لها حق كبير انحراف وبعض درجة التفرطح (ذيول الدهون). هذا يعني أن التحركات الهبوطية عالية المخاطر تحدث غالبًا في السوق أكثر مما يتوقعه التوزيع الطبيعي.

يجب أن يُظهر افتراض أسعار الأصول الأساسية اللوغاريتمية العادية أن التقلبات الضمنية متشابهة لكل سعر إضراب وفقًا لنموذج Black-Scholes. ومع ذلك ، منذ انهيار السوق في عام 1987 ، كانت التقلبات الضمنية لخيارات التداول النقدي أقل من تلك التي تكون بعيدة عن المال أو بعيدة عن المال. والسبب في هذه الظاهرة هو أن السوق تسعير في احتمالية أكبر لحركة تقلبات عالية في الاتجاه الهبوطي في الأسواق.

وقد أدى ذلك إلى وجود انحراف التقلب. عند التقلبات الضمنية للخيارات بنفس الشيء تاريخ الإنتهاء على رسم بياني ، يمكن رؤية الابتسامة أو الانحراف. وبالتالي ، فإن نموذج بلاك شول ليس فعالاً لحساب التقلب الضمني.

حدود نموذج بلاك شولز

كما ذكرنا سابقًا ، يتم استخدام نموذج Black-Scholes فقط لتسعير الخيارات الأوروبية ولا يأخذ في الاعتبار إمكانية ممارسة خيارات الولايات المتحدة قبل تاريخ انتهاء الصلاحية. علاوة على ذلك ، يفترض النموذج أن الأرباح والمعدلات الخالية من المخاطر ثابتة ، لكن هذا قد لا يكون صحيحًا في الواقع. ال يفترض النموذج أيضًا أن التقلب يظل ثابتًا على مدى عمر الخيار ، وهذا ليس هو الحال لأن التقلبات تتقلب مع مستوى العرض والطلب.

بالإضافة إلى ذلك ، الافتراضات الأخرى - أنه لا توجد تكاليف أو ضرائب معاملات ؛ أن معدل الفائدة الخالي من المخاطر ثابت لجميع آجال الاستحقاق ؛ أن البيع على المكشوف للأوراق المالية مع استخدام العائدات مسموح به ؛ وأنه لا توجد فرص للمراجحة خالية من المخاطر - يمكن أن تؤدي إلى انحراف الأسعار عن العالم الحقيقي حيث توجد هذه العوامل.

أسئلة مكررة

ماذا يفعل نموذج بلاك شول؟

كان Black-Scholes ، المعروف أيضًا باسم Black-Scholes-Merton (BSM) ، أول نموذج يستخدم على نطاق واسع لتسعير الخيارات. استنادًا إلى افتراض أن الأدوات ، مثل أسهم الأسهم أو العقود الآجلة ، سيكون لها توزيع لوغاريتمي عادي للأسعار بعد السير العشوائي مع الانجراف والتقلب المستمر ، مع الأخذ في الاعتبار المتغيرات المهمة الأخرى ، تستمد المعادلة سعر مكالمة على النمط الأوروبي اختيار. يقوم بذلك عن طريق طرح صافي القيمة الحالية (NPV) لسعر الإضراب مضروبًا في المعيار التراكمي التوزيع الطبيعي من منتج سعر السهم والتوزيع الاحتمالي القياسي التراكمي وظيفة.

ما هي مدخلات نموذج بلاك شول؟

مدخلات معادلة بلاك شول هي التقلبات ، وسعر الأصل الأساسي ، وسعر الإضراب للخيار ، والوقت حتى انتهاء الخيار ، وسعر الفائدة الخالي من المخاطر. مع هذه المتغيرات ، من الممكن نظريًا لبائعي الخيارات تحديد أسعار منطقية للخيارات التي يبيعونها.

ما الافتراضات التي يقدمها نموذج بلاك شول؟

يقدم نموذج بلاك شول بعض الافتراضات. أهمها أن الخيار أوروبي ولا يمكن ممارسته إلا عند انتهاء الصلاحية. الافتراضات الأخرى هي أنه لا يتم دفع أي أرباح خلال فترة الخيار ؛ كفاءة الأسواق (أي لا يمكن التنبؤ بحركات السوق) ؛ عدم وجود تكاليف معاملات في شراء الخيار ؛ أن المعدل الخالي من المخاطر وتقلبات الأصل معروفان وثابتان ؛ وأن العوائد على الأصل الأساسي يتم توزيعها بشكل طبيعي.

ما هي حدود نموذج بلاك شول؟

يستخدم نموذج Black-Scholes فقط لتسعير الخيارات الأوروبية ولا يأخذ في الاعتبار إمكانية ممارسة خيارات الولايات المتحدة قبل تاريخ انتهاء الصلاحية. علاوة على ذلك ، يفترض النموذج أن الأرباح والمعدلات الخالية من المخاطر ثابتة ، لكن هذا قد لا يكون صحيحًا في الواقع. يفترض النموذج أيضًا أن التقلبات تظل ثابتة على مدى عمر الخيار ، وهذا ليس هو الحال لأن التقلبات تتقلب مع مستوى العرض والطلب.

بالإضافة إلى ذلك ، الافتراضات الأخرى - أنه لا توجد تكاليف أو ضرائب معاملات ؛ أن معدل الفائدة الخالي من المخاطر ثابت لجميع آجال الاستحقاق ؛ أن البيع على المكشوف للأوراق المالية مع استخدام العائدات مسموح به ؛ وأنه لا توجد فرص للمراجحة خالية من المخاطر - يمكن أن تؤدي إلى انحراف الأسعار عن العالم الحقيقي حيث توجد هذه العوامل.