كيف يعمل التوزيع ذو الحدين

ما هو التوزيع ذو الحدين؟

التوزيع ذو الحدين هو توزيع الاحتمالات التي تلخص احتمالية أن تأخذ القيمة واحدة من قيمتين مستقلتين ضمن مجموعة معينة من المعلمات أو الافتراضات. الافتراضات الأساسية للتوزيع ذي الحدين هي أن هناك نتيجة واحدة فقط لكل تجربة ، وأن كل تجربة لها نفس احتمالية النجاح ، وأن كل تجربة لا يعتمدوا على بعض، أو مستقلة عن بعضها البعض.

فهم التوزيع ذي الحدين

التوزيع ذو الحدين شائع منفصلة التوزيع المستخدم في الإحصاء ، على عكس التوزيع المستمر ، مثل التوزيع الطبيعي. هذا لأن التوزيع ذي الحدين يحسب حالتين فقط ، وعادة ما يتم تمثيلهما على أنهما 1 (للنجاح) أو 0 (للفشل) في ضوء عدد من التجارب في البيانات. وبالتالي ، يمثل التوزيع ذي الحدين احتمال نجاحات x في تجارب n ، بالنظر إلى احتمال نجاح p لكل تجربة.

يلخص التوزيع ذو الحدين عدد التجارب أو الملاحظات عندما يكون لكل تجربة نفس احتمالية تحقيق قيمة معينة. يحدد التوزيع ذو الحدين احتمالية ملاحظة عدد محدد من النتائج الناجحة في عدد محدد من التجارب.

غالبًا ما يستخدم التوزيع ذي الحدين في إحصاءات العلوم الاجتماعية كحجر بناء لنماذج متغيرات النتائج ثنائية التفرع ، مثل ما إذا كان الجمهوري أو الديمقراطي سيفوز في الانتخابات القادمة أو ما إذا كان الفرد سيموت خلال فترة زمنية محددة ، إلخ.

تحليل التوزيع ذي الحدين

يتم حساب القيمة المتوقعة ، أو المتوسط ​​، للتوزيع ذي الحدين ، بضرب عدد المحاولات باحتمالية النجاحات. على سبيل المثال ، القيمة المتوقعة لعدد الرؤوس في 100 تجربة للرأس والحكايات هي 50 ، أو (100 * 0.5). مثال آخر شائع للتوزيع ذي الحدين هو تقدير فرص نجاح رمية الرمية الحرة في كرة السلة حيث 1 = تم صنع سلة و 0 = خطأ.

متوسط ​​التوزيع ذي الحدين هو np ، وتباين التوزيع ذي الحدين هو np (1 - p). عندما يكون p = 0.5 ، يكون التوزيع متماثلًا حول المتوسط. عندما تكون p> 0.5 ، يكون التوزيع منحرفًا جهة اليسار. عندما تكون p <0.5 ، يكون التوزيع منحرفًا جهة اليمين.

التوزيع ذو الحدين هو مجموع سلسلة من تجارب برنولي المتعددة المستقلة والمتشابهة الموزعة. في تجربة برنولي ، قيل أن التجربة عشوائية ولا يمكن أن يكون لها سوى نتيجتين محتملتين: النجاح أو الفشل.

على سبيل المثال ، يعتبر تقليب العملة المعدنية تجربة برنولي ؛ يمكن أن تأخذ كل تجربة واحدة فقط من قيمتين (رؤوس أو ذيول) ، ولكل نجاح نفس الاحتمال ( احتمال قلب الرأس هو 0.5) ، ولا تؤثر نتائج تجربة واحدة على نتائج اخر. توزيع برنولي هو حالة خاصة للتوزيع ذي الحدين حيث عدد المحاولات n = 1.

مثال على التوزيع ذي الحدين

ال توزيع ثنائي يتم حسابها بضرب احتمالية النجاح المرفوعة إلى قوة عدد النجاحات و رفع احتمال الفشل إلى قوة الفرق بين عدد النجاحات وعدد محاكمات. بعد ذلك ، اضرب المنتج في الجمع بين عدد المحاولات وعدد مرات النجاح.

على سبيل المثال ، افترض أن كازينو أنشأ لعبة جديدة يستطيع المشاركون فيها المراهنة على عدد الرؤوس أو الذيل في عدد محدد من تقلبات العملات. افترض أن أحد المشاركين يريد وضع رهان بقيمة 10 دولارات على أنه سيكون هناك ستة رؤوس بالضبط في 20 تقليبًا للعملة. يريد المشارك حساب احتمالية حدوث ذلك ، وبالتالي يستخدم الحساب للتوزيع ذي الحدين.

تم حساب الاحتمال على النحو التالي: (20! / (6! * (20 - 6)!)) * (0.50)^(6) * (1 - 0.50) ^ (20 - 6). وبالتالي ، فإن احتمال حدوث ستة رؤوس بالضبط في 20 تقليبًا للعملة هو 0.037 ، أو 3.7٪. كانت القيمة المتوقعة 10 رؤوس في هذه الحالة ، لذلك قدم المشارك رهانًا ضعيفًا.