Sådan bruges Monte Carlo -simulering med GBM
En af de mest almindelige måder at estimere risiko er brugen af en Monte Carlo -simulering (MCS). For eksempel at beregne værdi i fare (VaR) af en portefølje, kan vi køre en Monte Carlo -simulering, der forsøger at forudsige det værste sandsynlige tab for en portefølje givet en konfidensinterval over en bestemt tidshorisont (vi skal altid angive to betingelser for VaR: tillid og horisont).
I denne artikel vil vi gennemgå en grundlæggende MCS anvendt på en aktiekurs ved hjælp af en af de mest almindelige modeller inden for finansiering: geometrisk Brownian motion (GBM). Selvom Monte Carlo -simulering kan henvise til et univers af forskellige tilgange til simulering, starter vi her med det mest basale.
Hvor skal man starte
En Monte Carlo -simulering er et forsøg på at forudsige fremtiden mange gange. Ved afslutningen af simuleringen producerer tusinder eller millioner af "tilfældige forsøg" en fordeling af resultater, der kan analyseres. De grundlæggende trin er som følger:
1. Angiv en model (f.eks. GBM)
Til denne artikel vil vi bruge Geometric Brownian Motion (GBM), som teknisk set er en Markov -proces. Det betyder, at aktiekursen følger a tilfældig gåtur og er i overensstemmelse med (i det mindste) den svage form for effektiv markedshypotese (EMH) - tidligere prisoplysninger er allerede indarbejdet, og den næste prisbevægelse er "betinget uafhængig" af tidligere prisbevægelser.
Formlen for GBM findes herunder:
SΔS=μΔt+σϵΔthvor:S=aktiekursenΔS=ændringen i aktiekursenμ=det forventede afkastσ=standardafvigelsen for afkastϵ=den tilfældige variabel
Hvis vi omarrangerer formlen for at løse kun for ændringen i aktiekursen, ser vi, at GBM siger ændring i aktiekurs er aktiekursen "S" ganget med de to udtryk, der findes inde i parentesen under:
ΔS=S×(μΔt+σϵΔt)
Det første udtryk er et "drift", og det andet udtryk er et "chok". For hver tidsperiode antager vores model, at prisen vil "glide" op af det forventede afkast. Men driften vil blive chokeret (tilføjet eller fratrukket) af et tilfældigt chok. Det tilfældige chok vil være standardafvigelsen "s" ganget med et tilfældigt tal "e". Dette er simpelthen en måde at skalere standardafvigelsen på.
Det er essensen af GBM, som illustreret i figur 1. Aktiekursen følger en række trin, hvor hvert trin er et drift plus eller minus et tilfældigt stød (i sig selv en funktion af aktiens standardafvigelse):
figur 1
2. Generer tilfældige forsøg
Bevæbnet med en modelspecifikation, fortsætter vi derefter med at køre tilfældige forsøg. For at illustrere det har vi brugt Microsoft Excel at køre 40 forsøg. Husk, at dette er en urealistisk lille prøve; de fleste simuleringer eller "sims" kører mindst flere tusinde forsøg.
Lad os i dette tilfælde antage, at aktien begynder på dag nul med en pris på $ 10. Her er et diagram over resultatet, hvor hvert tidstrin (eller interval) er en dag, og serien kører i ti dage (i resumé: fyrre forsøg med daglige trin over ti dage):
Figur 2: Geometrisk brunisk bevægelse
Resultatet er fyrre simulerede aktiekurser ved udgangen af 10 dage. Ingen er tilfældigvis faldet til under $ 9, og en er over $ 11.
3. Behandl output
Simuleringen frembragte en fordeling af hypotetiske fremtidige resultater. Vi kunne gøre flere ting med output.
Hvis vi for eksempel vil estimere VaR med 95% tillid, så behøver vi kun at lokalisere det ottendedels-rangerede resultat (det tredje-værste resultat). Det skyldes, at 2/40 er lig med 5%, så de to værste resultater ligger i de laveste 5%.
Hvis vi stabler de illustrerede resultater i skraldespande (hver bin er en tredjedel af $ 1, så tre skraldespande dækker intervallet fra $ 9 til $ 10), får vi følgende histogram:
Husk, at vores GBM -model forudsætter normalitet; prisafkast fordeles normalt med forventet afkast (middelværdi) "m" og standardafvigelse "s." Interessant nok ser vores histogram ikke normalt ud. Faktisk vil det med flere prøvelser ikke have tendens til normalitet. I stedet vil den have en tendens til en lognormal fordeling: et skarpt fald til venstre for middelværdien og en meget skæv "lang hale" til højre for middelværdien.
Dette fører ofte til en potentielt forvirrende dynamik for første gangs studerende:
- Pris vender tilbage er normalt fordelt.
- Pris niveauer er log-normalt fordelt.
Tænk over det på denne måde: En aktie kan vende op eller ned 5% eller 10%, men efter en vis periode kan aktiekursen ikke være negativ. Desuden har prisstigninger på opadrettede en sammensætning effekt, mens prisfald på bagsiden reducerer basen: tab 10%, og du står tilbage med mindre at tabe næste gang.
Her er et diagram over den lognormale fordeling lagt over vores illustrerede antagelser (f.eks. Startpris på $ 10):
Bundlinjen
En Monte Carlo -simulering anvender en udvalgt model (der specificerer et instruments adfærd) på et stort sæt tilfældige forsøg i et forsøg på at producere et sandsynligt sæt af mulige fremtidige resultater. Med hensyn til simulering af aktiekurser er den mest almindelige model geometrisk brunisk bevægelse (GBM). GBM antager, at en konstant drift ledsages af tilfældige stød. Mens periodeafkastet under GBM normalt er fordelt, er den deraf følgende flerperiode (f.eks. Ti dage) prisniveauer er lognormalt fordelt.
