Teoria cen arbitrażowych: to nie tylko wymyślna matematyka

Arbitrażowa teoria cen (APT) jest alternatywą dla model wyceny aktywów kapitałowych (CAPM) do wyjaśnienia zwrotów aktywów lub portfeli. Został opracowany przez ekonomistę Stephen Ross W latach siedemdziesiątych. Z biegiem lat teoria cen arbitrażowych zyskała na popularności ze względu na swoje stosunkowo prostsze założenia. Arbitrażowa teoria cen jest jednak dużo trudniejsza do zastosowania w praktyce, ponieważ wymaga dużej ilości danych i złożonej analizy statystycznej.

Zobaczmy, czym jest teoria cen arbitrażowych i jak możemy ją zastosować w praktyce.

1:27

Teoria cen arbitrażowych

Co to jest APT?

APT to wieloczynnikowy model techniczny oparty na relacji między oczekiwanym zwrotem z aktywów finansowych a jego ryzykiem. Model ma na celu uchwycenie wrażliwości zwrotów aktywów na zmiany w pewnych makroekonomiczny zmienne. Inwestorzy i analitycy finansowi mogą wykorzystać te wyniki do wyceny papierów wartościowych.

Nieodłącznym elementem teorii arbitrażu cenowego jest przekonanie, że błędnie wycenione papiery wartościowe mogą stanowić krótkoterminowe, wolne od ryzyka możliwości zysku. APT różni się od bardziej konwencjonalnego

instagram viewer

CAPM, który wykorzystuje tylko jeden czynnik. Podobnie jak CAPM, APT zakłada jednak, że model czynnikowy może skutecznie opisywać korelację między ryzykiem a zwrotem.

Trzy podstawowe założenia APT

W przeciwieństwie do modelu wyceny aktywów kapitałowych, teoria wyceny arbitrażu nie zakłada, że inwestorzy posiadają efektywne portfele.

Teoria opiera się jednak na trzech podstawowych założeniach:

Zwroty aktywów są wyjaśnione przez czynniki systematyczne.
Inwestorzy mogą budować portfel aktywów, gdzie specyficzne ryzyko jest eliminowany poprzez dywersyfikację.
Wśród dobrze zdywersyfikowanych portfeli nie ma możliwości arbitrażu. Jeśli istnieją jakiekolwiek możliwości arbitrażowe, zostaną one wykorzystane przez inwestorów. (Tak wzięła się nazwa teorii.)

Założenia modelu wyceny aktywów kapitałowych

Widzimy, że są to bardziej zrelaksowane założenia niż te z modelu wyceny aktywów kapitałowych. Model ten zakłada, że wszyscy inwestorzy mają jednakowe oczekiwania co do: oznacza zwrot i wariancji aktywów. Zakłada również, że to samo efektywna granica jest dostępny dla wszystkich inwestorów.

W przypadku dobrze zdywersyfikowanego portfela podstawową formułę opisującą teorię cen arbitrażowych można zapisać w następujący sposób:

$\begin{matrix} MI. ({R.}_{P.}) = {R.}_{F.} + {β.}_{1.} {F.}_{1.} + {β.}_{2.} {F.}_{2.} + \dots + {β.}_{n.} {F.}_{n.} \\ gdzie: \\ MI. ({R.}_{P.}) = Spodziewany powrót. \\ {R.}_{F.} = Zwrot bez ryzyka. \\ {β.}_{n.} = Wrażliwość na czynnik. n. \\ {F.}_{n.} = {n.}^{T. h.} cena czynnika. \end{matrix}$ mi(rP)=rF+β1F1+β2F2+…+βnFngdzie:mi(rP)=Spodziewany powrótrF=Zwrot bez ryzykaβn=Wrażliwość na czynnik nFn=nTh cena czynnika

r_F jest to, że zwrot aktywów nie był narażony na żadne czynniki, to znaczy wszystko.

${β.}_{n.} = 0.$ βn=0

W przeciwieństwie do modelu wyceny aktywów kapitałowych, teoria cen arbitrażowych nie określa czynników. Jednak według badań Stephena Rossa i Richarda Rolla najważniejszymi czynnikami są:

Zmień w inflacja
Zmiana poziomu produkcja przemysłowa
Zmiany w premie za ryzyko
Zmiana w kształcie struktura terminowa stóp procentowych

Według badaczy Rossa i Rolla, jeśli nie nastąpi żadna niespodzianka w zmianie powyższych czynników, rzeczywisty zwrot będzie równy zwrotowi oczekiwanemu. Jednak w przypadku nieprzewidzianych zmian czynników, rzeczywisty zwrot zostanie określony w następujący sposób:

$\begin{matrix} {R.}_{P.} = MI. ({R.}_{P.}) + {β.}_{1.} {F.}_{1.}^{'} + {β.}_{2.} {F.}_{2.}^{'} + \dots + {β.}_{n.} {F.}_{n.}^{'} + mi. \\ gdzie: \\ \begin{matrix} {F.}_{n.}^{'} = & Nieoczekiwana zmiana czynnika lub. \\ czynnik zaskoczenia. \end{matrix} \\ mi. = Pozostała część rzeczywistego zwrotu. \\ 7. % = 2. % + 3.45. * {F.}_{1.} + 0.033. * {F.}_{2.} \\ {F.}_{1.} = 1.43. % \\ {F.}_{2.} = 2.47. % \\ MI. ({R.}_{i.}) = 2. % + 1.43. % * {β.}_{1.} + 2.47. % * {β.}_{2.} \end{matrix}$ rP=mi(rP)+β1F1′+β2F2′+…+βnFn′+migdzie:Fn′= Nieoczekiwana zmiana czynnika lub czynnik zaskoczeniami=Pozostała część rzeczywistego zwrotu7%=2%+3.45∗F1+0.033∗F2F1=1.43%F2=2.47%mi(ri)=2%+1.43%∗β1+2.47%∗β2

Zauważ, że f'_nto nieoczekiwana zmiana czynnika lub czynnik zaskoczenia, e to pozostała część rzeczywistego zwrotu.

Szacowanie wrażliwości czynników i premii czynnikowych

Jak właściwie możemy wyprowadzić wrażliwość na czynniki? Przypomnijmy, że w modelu wyceny aktywów kapitałowych wyprowadziliśmy test beta aktywów, który mierzy wrażliwość aktywów na zwrot rynkowy, po prostu odnosząc rzeczywiste zwroty z aktywów do zwrotów rynkowych. Wyprowadzenie współczynników beta to prawie ta sama procedura.

W celu zilustrowania techniki szacowania ß_n(wrażliwość na czynnik n) i F_n(n-ta cena czynnika), weźmy Indeks całkowitego zwrotu S&P 500 i NASDAQ Composite Total Return Index jako pełnomocnicy dla dobrze zdywersyfikowanych portfeli, dla których chcemy znaleźć ß_n oraz F_n. Dla uproszczenia założymy, że wiemy r_F(zwrot bez ryzyka) wynosi 2 proc. Zakładamy również, że roczny oczekiwany zwrot portfeli wynosi 7 procent dla indeksu całkowitego zwrotu S&P 500 i 9 procent dla indeksu całkowitego zwrotu NASDAQ Composite Total Return.

Krok 1: Określ czynniki systematyczne

Musimy określić systematyczne czynniki wyjaśniające zwroty portfela. Załóżmy, że prawdziwy Produkt krajowy brutto (PKB) tempo wzrostu i zmiana rentowności 10-letnich obligacji skarbowych to czynniki, których potrzebujemy. Ponieważ wybraliśmy dwa indeksy o dużych składnikach, możemy być pewni, że nasze portfele są dobrze zdywersyfikowane, a ryzyko specyficzne bliskie zeru.

Krok 2: Zdobądź wersję beta

Pobiegliśmy regresja na historycznych danych kwartalnych każdego indeksu w porównaniu z kwartalną dynamiką realnego PKB i kwartalną zmianą rentowności obligacji skarbowych. Należy zauważyć, że ponieważ obliczenia te służą wyłącznie celom ilustracyjnym, pominiemy techniczne strony analizy regresji.

Oto wyniki:

Indeksy (zapośredniczenia dla portfeli)	ß₁tempa wzrostu PKB	ß₂ zmiany rentowności obligacji skarbowych
Indeks całkowitego zwrotu S&P 500	3.45	0.033
NASDAQ Composite Total Return Index	4.74	0.098

Wyniki regresji mówią nam, że oba portfele mają znacznie wyższą wrażliwość na tempo wzrostu PKB (co jest logiczne, ponieważ wzrost PKB zwykle odzwierciedla zmiany na rynku akcji) i bardzo małe wrażliwości na zmiany rentowności obligacji skarbowych (to też jest logiczne, ponieważ akcje są mniej wrażliwe na zmiany rentowności niż więzy).

Krok 3: Uzyskaj ceny faktorów lub premie faktorowe

Teraz, gdy uzyskaliśmy czynniki beta, możemy oszacować ceny czynników, rozwiązując następujący zestaw równań:

$7. % = 2. % + 3. . 4. 5. * {F.}_{1.} + 0. . 0. 3. 3. * {F.}_{2.}$ 7%=2%+3.45∗F1+0.033∗F2

$9. % = 2. % + 4. . 7. 4. * {F.}_{1.} + 0. . 0. 9. 8. * {F.}_{2.}$ 9%=2%+4.74∗F1+0.098∗F2
Rozwiązując te równania otrzymujemy:

${F.}_{1.} = 1. . 4. 3. %$ F1=1.43%i.

${F.}_{2.} = 2. . 4. 7. %$ F2=2.47%

Dlatego generał ex-anterównanie teorii cen arbitrażowych dla dowolnego i portfolio będzie wyglądać następująco:

$MI. ({R.}_{i.}) = 2. % + 1. . 4. 3. % * {β.}_{1.} + 2. . 4. 7. % * {β.}_{2.}$ mi(ri)=2%+1.43%∗β1+2.47%∗β2

Korzystanie z możliwości arbitrażu

Ideą warunku braku arbitrażu jest to, że jeśli na rynku występuje błędna wycena papieru wartościowego, inwestorzy zawsze mogą zbuduj portfel o wrażliwości czynnikowej podobnej do błędnie wycenionych papierów wartościowych i wykorzystaj arbitraż możliwość.

Załóżmy na przykład, że oprócz naszych portfeli indeksowych istnieje portfel ABC z odpowiednimi danymi przedstawionymi w poniższej tabeli:

Portfele	Spodziewany powrót	ß₁	ß₂
Indeks całkowitego zwrotu S&P 500	7%	3.45	0.033
NASDAQ Composite Total Return Index	9%	4.74	0.098
Portfel ABC (lub portfel arbitrażowy)	8%	3.837	0.0525
*Połączony portfel indeksów = 0,7S&P500+0,3NASDAQ*	7.6%	3.837	0.0525

Możemy zbudować portfel z dwóch pierwszych portfeli indeksowych (z wagą indeksu S&P 500 Total Return Index na poziomie 70 procent i NASDAQ Waga złożonego wskaźnika całkowitego zwrotu wynosząca 30 procent) z podobnymi wrażliwościami czynników jak portfel ABC, jak pokazano w ostatnim surowym stół. Nazwijmy to Połączonym Portfelem Indeksów. Połączony portfel indeksów ma takie same współczynniki beta w odniesieniu do czynników systematycznych jak portfel ABC, ale niższy oczekiwany zwrot.

Oznacza to, że portfel ABC jest niedowartościowany. Następnie skrócimy Połączony Portfel Indeksów i za te wpływy kupimy akcje ABC Portfel, zwany też portfelem arbitrażowym (ponieważ wykorzystuje arbitraż) możliwość). Ponieważ wszyscy inwestorzy sprzedaliby przewartościowany i kupiliby niedowartościowany portfel, odrzuciłoby to wszelkie zyski z arbitrażu. Dlatego teoria ta nazywana jest teorią cen arbitrażowych.

Dolna linia

Arbitrażowa teoria wyceny, jako model alternatywny do modelu wyceny aktywów kapitałowych, stara się: wyjaśnij zwroty z aktywów lub portfela za pomocą czynników systematycznych i wrażliwości aktywów/portfela na takie czynniki. Teoria szacuje oczekiwane zwroty z dobrze zdywersyfikowanych portfeli przy założeniu, że portfele są dobrze zdywersyfikowana, a każda rozbieżność od ceny równowagi na rynku zostałaby natychmiast odepchnięta przez inwestorów. Każda różnica między zwrotem rzeczywistym a zwrotem oczekiwanym jest wyjaśniana przez niespodzianki czynnikowe (różnice między oczekiwanymi a rzeczywistymi wartościami czynników).

Wadą teorii cen arbitrażowych jest to, że nie określa ona czynników systematycznych, ale analitycy mogą je znaleźć, cofając historyczne zwroty portfela przeciwko takim czynnikom jak: realny PKB stopy wzrostu, zmiany inflacji, zmiany struktury terminowej, zmiany premii za ryzyko i tak dalej. Równania regresji umożliwiają ocenę, które czynniki systematyczne wyjaśniają zwroty z portfela, a które nie.