Co to jest wzrost wykładniczy?

Co to jest wzrost wykładniczy?

Wzrost wykładniczy to wzorzec danych, który wykazuje większe wzrosty w miarę upływu czasu, tworząc krzywą funkcji wykładniczej. Załóżmy na przykład, że populacja myszy rośnie wykładniczo każdego roku, zaczynając od dwóch w pierwszym roku, następnie czterech w drugim roku, 16 w trzecim roku, 256 w czwartym roku i tak dalej. Populacja rośnie w tym przypadku do potęgi 2 każdego roku.

Zrozumienie wzrostu wykładniczego

W finansach zwroty złożone spowodować wykładniczy wzrost. Siła łączenia jest jedną z najpotężniejszych sił w finansach. Ta koncepcja pozwala inwestorom tworzyć duże sumy przy niewielkim inicjale stolica. Konta oszczędnościowe, które posiadają procent składany stopy są typowymi przykładami wzrostu wykładniczego.

Zastosowania wzrostu wykładniczego

Załóżmy, że wpłacasz 1000 USD na konto, które zapewnia gwarantowane oprocentowanie 10%. Jeśli konto prowadzi proste oprocentowanie, zarobisz 100 USD rocznie. Kwota zapłaconych odsetek nie ulegnie zmianie, dopóki nie zostaną wniesione dodatkowe depozyty.

Jeśli jednak rachunek jest oprocentowany składany, otrzymasz odsetki od łącznej sumy rachunku. Co roku pożyczkodawca zastosuje oprocentowanie do sumy początkowego depozytu wraz z wszelkimi wcześniej zapłaconymi odsetkami. W pierwszym roku zarobione odsetki nadal wynoszą 10% lub 100 USD. Jednak w drugim roku stawka 10% jest stosowana do nowej sumy 1100 USD, co daje 110 USD. Z każdym kolejnym rokiem kwota płaconych odsetek rośnie, tworząc szybko przyspieszający lub wykładniczy wzrost. Po 30 latach, bez dodatkowych depozytów, Twoje konto będzie warte 17 449,40 USD.

Formuła na wykładniczy wzrost

Na wykresie krzywa ta zaczyna się powoli, przez jakiś czas pozostaje prawie płaska, po czym szybko rośnie, aż do niemal pionowej. Wynika ze wzoru:

$\mathrm{V.}=\mathrm{S.}\times (1.+\mathrm{R.}{)}^{\mathrm{T.}}$V=S×(1+r)T

Bieżącą wartość V początkowego punktu początkowego podlegającego wzrostowi wykładniczemu można wyznaczyć mnożąc wartość początkową wartość, S, przez sumę jeden plus stopa procentowa, R, podniesiona do potęgi T, lub liczba okresów, które upłynęły.

Uwagi specjalne

Podczas gdy wzrost wykładniczy jest często używany w modelowaniu finansowym, rzeczywistość jest często bardziej skomplikowana. Zastosowanie wzrostu wykładniczego sprawdza się dobrze na przykładzie konta oszczędnościowego, ponieważ oprocentowanie jest gwarantowane i nie zmienia się w czasie. W większości inwestycji tak nie jest. Na przykład, Giełda Papierów Wartościowych zwroty nie są płynnie zgodne z długoterminowymi średnimi każdego roku.

Inne metody przewidywania długoterminowych zwrotów — takie jak symulacja Monte Carlo, która wykorzystuje: rozkłady prawdopodobieństwa w celu określenia prawdopodobieństwa różnych potencjalnych wyników — zyskały na popularności. Modele wzrostu wykładniczego są bardziej przydatne do przewidywania zwrotu z inwestycji, gdy tempo wzrostu jest stabilne.