Теория на игрите: Отвъд основите

Използвайки теория на играта, могат да бъдат изложени реални сценарии за такива ситуации като ценова конкуренция и пускане на продукти (и много други) и прогнозирането на техните резултати. Компаниите, които използват (и се придържат) към това устройство, за да определят Равновесието на Наш виждат огромна полза в своите бюджетни стратегии.

Чий ред е?

Докато последователните игри се играят на свой ред, се играят едновременни игри, като всеки играч взема решение едновременно. При едновременните игри вече не използваме обичайния въвеждащ метод за индукция назад. Привърженици на теория на играта често изброяват различните резултати в това, което се нарича матрица (по -долу).

Играч един / Играч два	Наляво	Точно така
Нагоре	(1, 3)	(4, 2)
Надолу	(3, 2)	(3, 1)

Тази матрица се нарича нормална форма. Изборът на играча е показан на лявата вертикална ос, а изборът на двама на горната хоризонтална ос. Изплащанията за всеки играч са в съответните им кръстовища и се показват, както следва (играч първи, играч втори).

Равновесието на Наш

Равновесието на Наш е постигнат резултат, който след като бъде постигнат, означава, че никой играч не може да увеличи печалбата, като променя решенията едностранно. Също така може да се мисли като „без съжаление“, в смисъл, че след като се вземе решение, играчът няма да съжалява за решения, отчитащи последствията.

В повечето случаи равновесието на Наш се достига с течение на времето. Въпреки това, след като се достигне равновесието на Наш, няма да се отклони от него. След като научим как да намерим равновесието на Наш, погледнете как едностранният ход би повлиял на ситуацията. Има ли някакъв смисъл? Не би трябвало и затова равновесието на Наш е описано като „без съжаление“.

Намиране на равновесието на Наш

Първа стъпка: Определете най -добрия отговор на играча към действията на играча двама.
Когато разглеждаме изборите, които могат да увеличат максимално изплащането на играча, трябва да разгледаме как играчът трябва да отговори на всяка от опциите, които играчът двама има. Лесен начин да направите това визуално е да прикриете избора на играч втори. Помислете за матрицата, изобразена в началото на тази статия, докато прилагаме този метод.

Играч един / Играч два	Наляво	Точно така
Нагоре	(1, -)	(4, -)
Надолу	(3, -)	(3, -)

Играч един има два възможни избора да играе: "нагоре" или "надолу". Играч втори също има два избора да играе: "ляво или дясно." В тази стъпка за определяне на равновесието на Наш, ние разглеждаме отговорите на отговорите на играча двама действия. Ако играч двама избере да играе „наляво“, можем да играем „нагоре“ с изплащането на 1 или да играем „надолу“ с изплащането на 3. Тъй като 3 е по -голямо от 1, ние ще удебелим 3, указвайки опцията да играем "долу" тук.

Ако играч двама избере да играе „вдясно“, можем или да изберем да играем „нагоре“ за изплащане 4 или да играем „надолу“ за плейоф от 3. Тъй като 4 е по -голямо от 3, ние удебеляваме 4, за да посочим опцията да играем "нагоре" тук. Удебелените резултати са показани по -долу на пълната матрица.

Играч един / Играч два	Наляво	Точно така
Нагоре	(1, 3)	(4, 2)
Надолу	(3, 2)	(3, 1)

Стъпка втора: Определете най -добрия отговор на играча двама към действията на играча.
Както направихме преди с играча с две печалби за играч първи, ще скрием печалбите на играч един, когато определяме най -добрите отговори за играч втори.

Играч един / Играч два	Наляво	Точно така
Нагоре	(-, 3)	(-, 2)
Надолу	(-, 2)	(-, 1)

Точно както при гледане на играч един, всеки играч има два избора да играе. Ако един играч избере да играе „нагоре“, можем да играем „наляво“, с изплащане 3 или „надясно“, с печалба 2. Тъй като 3 е по -голямо от 2, ние удебеляваме 3, за да покажем опцията да играем "наляво" тук. Ако един играч избере да играе "надолу", можем да играем "наляво", за изплащане на 2 или "надясно", за изплащане на 1. Тъй като 2 е по -голямо от 1, ние удебеляваме 2, указвайки опцията да играете "наляво" тук. Удебелените резултати са показани по -долу на пълната матрица.

Играч един / Играч два	Наляво	Точно така
Нагоре	(1, 3)	(4, 2)
Надолу	(3, 2)	(3, 1)

Стъпка трета: Определете кои резултати имат и двата изплащания удебелени. Този конкретен резултат е равновесието на Наш.
Сега комбинираме смелите опции и за двамата играчи в пълната матрица.

Играч един / Играч два	Наляво	Точно така
Нагоре	(1, 3)	(4, 2)
Надолу	(3, 2)	(3, 1)

Потърсете кръстовища, където и двете печалби са удебелени. В този случай откриваме, че пресечната точка на (Down, Left) с изплащането на (3, 2) отговаря на нашите критерии. Това показва нашето равновесие по Наш.

Този метод за намиране на равновесието на Наш е подходящ за намиране равновесие в игри, които са едновременни, тъй като разглеждаме как един играч би реагирал независимо от това как действа другият. Този сценарий на едновременна игра често се разиграва в предприятия като авиокомпаниите. По -долу е даден пример, подобен на играта по -горе, за това как могат да се развият цените на авиокомпаниите. Изплащанията са в хиляди долари. Не забравяйте, че това са изплащанията, а не цените. Методът, който приложихме по -рано, вече е приложен, за да покаже къде се появява равновесието на Наш.

Авиокомпания едно / Авиокомпания две	Ниска цена	Висока цена
Ниска цена	(3,000, 3,000)	(4,000, 2,000)
Висока цена	(2,000, 4,000)	(3,500, 3,500)

Разглеждайки само избора на A1, можем да видим, че ако A2 избере да играе на ниска цена, ние избираме между ниска цена за 3 000 или висока цена за 2 000. Избираме ниско, тъй като 3 000> 2 000. Правим същото за A2, играейки висока цена, и виждаме, че играем ниско, защото 4 000> 3 500. Обратно, гледайки само избора на A2, можем да видим, че ако A1 избере да играе на ниска цена, ние избираме между „ниска цена“ за 3 000 и „висока цена“ за 2 000. Тъй като 3000> 2000, ние избираме опцията за ниска цена тук. Ако A1 играе висока цена, можем да таксуваме ниска цена за 4000 или висока цена за 3500. Тъй като 4000> 3500, ние избираме да играем ниска цена тук.

Равновесието на Наш е, че и двете авиокомпании ще начисляват ниска цена (показва се, когато изборът за всяка страна е подчертан). Ако и двете авиокомпании начисляват висока цена, всяка от тях би била по -добре, отколкото е при равновесието в Наш.

Така че защо не са съгласни да направят това? Първо, това е незаконно споразумение. Второ, ако това се случи, едностранно действие от името на една авиокомпания за начисляване на ниска цена би било от полза, което би довело до това тази авиокомпания да спечели повече пари на свой ред. Тази логика също показва как се достига равновесието на Наш и защо не е полезно да се отклоняваме от него, след като бъде достигнато.

Множествени равновесия по Наш

По принцип може да има повече от едно равновесие в играта. Това обаче обикновено се случва в игри с по -сложни елементи от два избора от двама играчи. В едновременните игри, които се повтарят с течение на времето, едно от тези множествени равновесия се достига след известен опит и грешка. Този сценарий на различни избори във времето преди достигане на равновесие е най -често разиграван в бизнес света, когато две фирми определят цени за силно взаимозаменяеми продукти, като самолетни билети или меки напитки.

Долния ред

С тези усъвършенствани методи могат да се моделират и разрешат по-реални ситуации. Различните видове Nash Equilibria, които обсъждахме, са най-често срещаните решения за моделирани игри в реалния свят. Работещите познания по теория на игрите могат да ви помогнат да оформите стратегия, независимо дали играете на тик-така или се борите за най-големи печалби.