Obstawiaj mądrzej dzięki symulacji Monte Carlo

W finansach istnieje spora niepewność i ryzyko związane z oszacowaniem przyszła wartość liczb lub kwot ze względu na dużą różnorodność potencjalnych wyników. Symulacja Monte Carlo (MCS) to jedna z technik, która pomaga zmniejszyć niepewność związaną z szacowaniem przyszłych wyników. MCS można zastosować do złożonych, nieliniowych modeli lub wykorzystać do oceny dokładności i wydajności innych modeli. Może być również wdrożony w zarządzaniu ryzykiem, zarządzaniu portfelem, instrumentach pochodnych cenowych, planowaniu strategicznym, planowaniu projektów, modelowaniu kosztów i innych dziedzinach.

Definicja MCS

MCS to technika, która przekształca niepewności zmiennych wejściowych modelu na rozkłady prawdopodobieństwa. Łącząc rozkłady i losowo wybierając z nich wartości, wielokrotnie przelicza symulowany model i wydobywa prawdopodobieństwo wyjścia.

Podstawowe cechy

MCS pozwala na jednoczesne użycie kilku danych wejściowych w celu stworzenia rozkładu prawdopodobieństwa jednego lub większej liczby danych wyjściowych.

instagram viewer

Wejściom modelu można przypisać różne typy rozkładów prawdopodobieństwa. Gdy rozkład jest nieznany, można wybrać ten, który reprezentuje najlepsze dopasowanie.
Użycie liczb losowych charakteryzuje MCS jako a stochastyczny metoda. Liczby losowe muszą być niezależne; nie korelacja powinno istnieć między nimi.
MCS generuje dane wyjściowe jako zakres zamiast wartości stałej i pokazuje prawdopodobieństwo wystąpienia wartości wyjściowej w zakresie.

Niektóre często używane rozkłady prawdopodobieństwa w MCS

Rozkład normalny/Gaussowski: Rozkład ciągły stosowany w sytuacjach, gdy średnia i odchylenie standardowe są podane, a średnia reprezentuje najbardziej prawdopodobną wartość zmiennej. Jest symetryczny wokół średniej i nie jest ograniczony.

Rozkład logarytmiczny: Rozkład ciągły określony przez średnią i odchylenie standardowe. Jest to odpowiednie dla zmiennej od zera do nieskończoności, z dodatnim skośność oraz z logarytmem naturalnym o rozkładzie normalnym.

Rozkład trójkątny: Rozkład ciągły ze stałymi wartościami minimalnymi i maksymalnymi. Jest ograniczony wartościami minimalnymi i maksymalnymi i może być symetryczny (wartość najbardziej prawdopodobna = średnia = mediana) lub asymetryczny.

Dystrybucja równomierna: Rozkład ciągły ograniczony znanymi wartościami minimalnymi i maksymalnymi. W przeciwieństwie do rozkładu trójkątnego prawdopodobieństwo wystąpienia wartości pomiędzy minimum a maksimum jest takie samo.

Rozkład wykładniczy: Rozkład ciągły używany do zilustrowania czasu między niezależnymi zdarzeniami, pod warunkiem, że znany jest wskaźnik zdarzeń.

Matematyka za MCS

Rozważmy, że mamy funkcję o wartościach rzeczywistych g (X) z funkcją częstości prawdopodobieństwa P(x) (jeśli X jest dyskretne) lub funkcją gęstości prawdopodobieństwa f (x) (jeśli X jest ciągłe). Następnie możemy zdefiniować oczekiwaną wartość g (X) odpowiednio w kategoriach dyskretnych i ciągłych:

$\begin{matrix} MI. (g. (X.)) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} g. (x.) P. (x.), \\ gdzie. P. (x.) > 0. oraz. \sum_{- \infty}^{+ \infty} P. (x.) = 1. \\ MI. (g. (X.)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} g. (x.) F. (x.) D. x., \\ gdzie. F. (x.) > 0. oraz. \int_{- \infty}^{+ \infty} F. (x.) D. x. = 1. \\ Następnie zrób. n. losowe rysunki. X. ({x.}_{1.}, \dots, {x.}_{n.}), zwany. \\ przebiegi próbne lub symulacje, obliczyć. g. ({x.}_{1.}), \dots, g. ({x.}_{n.}) \\ i znajdź średnią. g. (x.) próbki: \end{matrix}$ mi(g(x))=−∞∑+∞g(x)P(x), gdzie P(x)>0 oraz−∞∑+∞P(x)=1mi(g(x))=∫−∞+∞g(x)F(x)Dx, gdzie F(x)>0 oraz ∫−∞+∞F(x)Dx=1Następnie zrób n losowe rysunki x(x1,…,xn), zwanyprzebiegi próbne lub symulacje, obliczyć g(x1),…,g(xn)i znajdź średnią z g(x) próbki:

$\begin{matrix} {g.}_{n.}^{μ.} (x.) = \frac{1.}{n.} \sum_{i. = 1.}^{n.} g. ({x.}_{i.}), który reprezentuje ostateczną symulację. \\ wartość. MI. (g. (X.)) . \\ W związku z tym. {g.}_{n.}^{μ.} (X.) = \frac{1.}{n.} \sum_{i. = 1.}^{n.} g. (X.) będzie Monte Carlo. \\ estymator. MI. (g. (X.)) . \\ NS. n. \to \infty, {g.}_{n.}^{μ.} (X.) \to MI. (g. (X.)), tak teraz jesteśmy w stanie. \\ obliczyć dyspersję wokół szacowanej średniej z. \\ bezstronna wariancja. {g.}_{n.}^{μ.} (X.) : \\ V. a. r. ({g.}_{n.}^{μ.} (X.)) = \frac{1.}{n. - 1.} \sum_{i. = 1.}^{n.} (g. ({x.}_{i.}) - {g.}_{n.}^{μ.} (x.))^{2.} . \end{matrix}$ gnμ(x)=n1i=1∑ng(xi), który reprezentuje ostateczną symulacjęwartość mi(g(x)).W związku z tym gnμ(x)=n1i=1∑ng(x) będzie Monte Carloestymator mi(g(x)).NS n→∞,gnμ(x)→mi(g(x)),dzięki temu jesteśmy teraz w stanieobliczyć dyspersję wokół oszacowanej średniej zbezstronna wariancja gnμ(x):Var(gnμ(x))=n−11i=1∑n(g(xi)−gnμ(x))2.

Prosty przykład

Jak niepewność ceny jednostkowej, sprzedaży jednostkowej i kosztów zmiennych wpłynie na EBITD?

Obraz — Zdjęcie autorstwa Sabriny Jiang © Investopedia 2021

( Sprzedaż jednostkowa)-(Koszty zmienne + Koszty stałe)

Wyjaśnijmy niepewność danych wejściowych — cenę jednostkową, sprzedaż jednostkową i koszty zmienne — za pomocą rozkład trójkątny, określony przez odpowiednie minimalne i maksymalne wartości wejść z stół.

Prawo autorskie.

Wykres czułości

A wrażliwość wykres może być bardzo przydatny, jeśli chodzi o analizę wpływu danych wejściowych na wynik. Mówi się, że sprzedaż jednostkowa odpowiada za 62% wariancji symulowanego EBITD, koszty zmienne za 28,6%, a cena jednostkowa za 9,4%. Korelacja pomiędzy sprzedażą jednostkową a EBITD oraz pomiędzy ceną jednostkową a EBITD jest dodatnia lub wzrost sprzedaży jednostkowej lub ceny jednostkowej doprowadzi do wzrostu EBITD. Natomiast koszty zmienne i EBITD są ujemnie skorelowane, a zmniejszając koszty zmienne zwiększymy EBITD.

Należy pamiętać, że definiowanie niepewności wartości wejściowej przez rozkład prawdopodobieństwa, który nie odpowiada rzeczywistemu i pobieranie z niego próbek, da błędne wyniki. Ponadto założenie, że zmienne wejściowe są niezależne, może nie być prawidłowe. Wprowadzające w błąd wyniki mogą pochodzić z danych wejściowych, które wzajemnie się wykluczają lub jeśli zostanie stwierdzona znacząca korelacja między dwoma lub większą liczbą rozkładów danych wejściowych.

Dolna linia

Technika MCS jest prosta i elastyczna. Nie może wyeliminować niepewności i ryzyka, ale może ułatwić ich zrozumienie poprzez przypisanie probabilistycznych cech wejściowych i wyjściowych modelu. Może być bardzo przydatny do określania różnych ryzyk i czynników, które wpływają na prognozowane zmienne, a zatem może prowadzić do dokładniejszych prognoz. Należy również zauważyć, że liczba prób nie powinna być zbyt mała, ponieważ symulacja modelu może być niewystarczająca, powodując grupowanie wartości.