Grunderna i den binomiska fördelningen

Även om du inte vet binomial fördelning vid namn, och tog aldrig en avancerad högskolestatistik, du förstår det medfött. Det gör du verkligen. Det är ett sätt att bedöma sannolikheten för a diskret händelse antingen händer eller att det inte händer. Och det har gott om ansökningar inom finans. Så här fungerar det:

Du börjar med att försöka något - myntladdningar, frikast, roulettehjulssnurr, vad som helst. Den enda kvalifikationen är att något i fråga måste ha exakt två möjliga utfall. Framgång eller misslyckande, det är det. (Ja, ett roulettehjul har 38 möjliga resultat. Men ur en spelares synvinkel finns det bara två. Antingen kommer du att vinna eller förlora.)

Vi kommer att använda fria kast för vårt exempel, eftersom de är lite mer intressanta än den exakta och oföränderliga 50% chansen att få ett myntlandningshuvud. Säg att du är Dirk Nowitzki från Dallas Mavericks, som slog 89,8% av hans straffkast säsongen 2017–2018. Vi kommer att kalla det 90% för våra syften. Om du skulle sätta honom på linjen just nu, vad är chansen att han slår (minst) nio av tio?

Nej, de är inte 100%. De är inte heller 90%.

De är 74%, tro det eller ej. Här är formeln. Vi är alla vuxna här, det finns ingen anledning att vara rädd för exponenter och grekiska bokstäver:

 n är antalet försök. I det här fallet, 10.

 i är antalet framgångar, som antingen är nio eller tio. Vi beräknar sannolikheten för varje och lägger sedan till dem.

sid är sannolikheten för framgång för varje enskild händelse, som är 0,9.

Chansen att nå målet, det vill säga binomial fördelning av framgångar och misslyckanden, är denna:

​i=0∑k​(ni​)sidi(1−sid)n−i​

Avhjälpande matematisk notation, om du behöver termerna i det uttrycket uppdelat ytterligare:

​(ni​)=(n−i)!i!n!​​

Det är "binomial" i binomial distribution: dvs två termer. Vi är inte bara intresserade av antalet framgångar, inte bara antalet försök, utan båda. Var och en är värdelös för oss utan den andra.

Mer korrigerande matematisk notation:! är faktoriell: multiplicera ett positivt heltal med varje mindre positivt heltal. Till exempel,

$5.!=5.\times 4.\times 3.\times 2.$5!=5×4×3×2

Koppla in siffrorna och kom ihåg att vi måste lösa för både 9 av 10 straffkast och 10 av 10, så får vi.

$(\frac{10.!}{9.!1.!}\times .{9.}^{.9.}\times .{1.}^{.1.})+(\frac{10.!}{10.!}\times .{9.}^{1.}\times .{1.}^{0.})$(9!1!10!​×.9.9×.1.1)+(10!10!​×.91×.10)

= 0,387420489 (vilket är chansen att slå nio) + 0,3486784401 (chansen att slå alla tio)

= 0.736098929

Det här är kumulativ distribution, i motsats till det enda sannolikhet distribution. Den kumulativa fördelningen är summan av flera sannolikhetsfördelningar (i vårt fall skulle det vara två.) Den kumulativa distribution beräknar chansen att träffa ett antal värden - här, nio eller tio av tio straffkast - istället för ett enda värde. När vi frågar vad chansen är att Nowitzki slår nio av tio är det klart att vi menar "nio eller bättre av tio", inte "exakt nio av tio".

Om du vill räkna ut binomialfördelningsfunktionen för en viss serie händelser behöver du inte beräkna det själv. De hjälpsamma personerna på Stat Trek har en binomial räknare som gör jobbet åt dig. Allt du behöver göra är att leverera n, i och sid värden.

Så vad har detta att göra med finansiering? Mer än du kanske tror. Låt oss säga att du är en bank, en långivare, som inom tre decimaler vet sannolikheten för att en viss låntagare fallerar. Vilka är chanserna för att så många låntagare försummar att de skulle göra banken insolvent? När du väl har använt den kumulativa binomialfördelningsfunktionen för att beräkna det numret har du en bättre uppfattning om hur man prissätter försäkring, och i slutändan hur mycket pengar man ska låna och hur mycket man ska ha kvar boka.

Har du någonsin undrat hur alternativens initialpriser bestäms? Samma sak, typ. Om en flyktig underliggande aktie har en sid chans att träffa ett visst pris kan du titta på hur aktien rör sig över en serie av n perioder för att avgöra vilket pris alternativen borde sälja till.

Att tillämpa den binomiala fördelningsfunktionen för att finansiera ger några överraskande, om inte helt kontraintuitiva resultat; ungefär som chansen att en 90% frikastskytt som träffar 90% av sina straffkast blir något mindre än 90%. Antag att du har en säkerhet som har lika stor chans till 20% vinst som 20% förlust. Om säkerhetspriset skulle sjunka med 20%, vad är chansen att det återgår till sin ursprungliga nivå? Kom ihåg att en enkel motsvarande vinst på 20% inte kommer att minska den: En aktie som faller 20% och sedan får 20% kommer fortfarande att minska med 4%. Håll omväxlande 20% fall och vinster, och så småningom kommer aktien att vara värdelös.

Poängen

Analytiker med grepp om binomialfördelningen har ytterligare en uppsättning verktyg av hög kvalitet till hands när fastställa prissättning, bedöma risk och undvika obehagliga resultat än vad som kan uppstå på grund av otillräckliga förberedelse. När du förstår den binomiska fördelningen och dess ofta överraskande resultat kommer du att ligga långt före massorna.