Spelteori: bortom grunderna

Använder sig av spel teori, verkliga scenarier för sådana situationer som prissättningskonkurrens och produktreleaser (och många fler) kan läggas fram och deras resultat förutses. Företag som använder (och håller sig till) denna enhet för att bestämma Nash jämvikt ser en stor fördel i sina budgetstrategier.

Vems tur är det?

Medan sekventiella spel spelas i tur och ordning spelas samtidigt spel där varje spelare tar sitt beslut samtidigt. Med samtidiga spel använder vi inte längre den vanliga introduktionsmetoden för bakåtinduktion. Förespråkare för spel teori tabulerar ofta de olika resultaten i det som kallas en matris (nedan).

Spelare ett / Spelare två	Vänster	Rätt
Upp	(1, 3)	(4, 2)
Ner	(3, 2)	(3, 1)

Denna matris kallas normal form. Spelarens val visas på den vänstra vertikala axeln och spelarens två val visas på den övre horisontella axeln. Utbetalningarna för varje spelare finns i motsvarande korsningar och visas enligt följande (spelare ett, spelare två).

Nash -jämvikten

Nash Equilibrium är ett resultat som uppnåtts, när det väl uppnåtts betyder det att ingen spelare kan öka utbetalningen genom att ändra beslut ensidigt. Det kan också ses som "inga ånger", i den meningen att när ett beslut väl fattats kommer spelaren inte att ångra beslut som tar hänsyn till konsekvenserna.

Nash -jämvikten uppnås med tiden, i de flesta fall. Men när Nash -jämvikten nåtts kommer den inte att avvikas från. När vi har lärt oss hur man hittar Nash -jämvikten, ta en titt på hur ett ensidigt drag skulle påverka situationen. Gör det någon mening? Det borde det inte, och det är därför Nash -jämvikten beskrivs som "ingen ånger".

Hitta Nash Equilibria

Steg ett: Bestäm spelarens bästa svar på spelarens två handlingar.
När vi undersöker de val som kan maximera en spelares utbetalning måste vi titta på hur spelare en ska reagera på vart och ett av alternativen som spelare två har. Ett enkelt sätt att göra detta visuellt är att dölja valet av spelare två. Tänk på matrisen som visas i början av denna artikel när vi tillämpar denna metod.

Spelare ett / Spelare två	Vänster	Rätt
Upp	(1, -)	(4, -)
Ner	(3, -)	(3, -)

Spelare ett har två möjliga val att spela: "upp" eller "ner". Spelare två har också två val att spela: "vänster eller höger." I detta steg för att bestämma Nash Equilibrium tittar vi på svar på spelare två åtgärder. Om spelare två väljer att spela "vänster" kan vi spela "upp" med utbetalningen av 1, eller spela "ner" med utbetalningen av 3. Eftersom 3 är större än 1, kommer vi att markera de 3 som indikerar alternativet att spela "ner" här.

Om spelare två väljer att spela "rätt" kan vi antingen välja att spela "upp" för en vinst på 4 eller spela "ner" för ett slutspel på 3. Eftersom 4 är större än 3, markerar vi fet 4 för att ange alternativet att spela "upp" här. De djärva resultaten visas nedan i hela matrisen.

Spelare ett / Spelare två	Vänster	Rätt
Upp	(1, 3)	(4, 2)
Ner	(3, 2)	(3, 1)

Steg två: Bestäm spelare två bästa svar på spelarens handlingar.
Som vi gjorde tidigare med spelaren två utbetalningar för spelare ett, kommer vi att dölja utbetalningarna för spelare ett när vi bestämmer de bästa svaren för spelare två.

Spelare ett / Spelare två	Vänster	Rätt
Upp	(-, 3)	(-, 2)
Ner	(-, 2)	(-, 1)

Precis som när man tittar på spelare ett har varje spelare två val att spela. Om spelare väljer att spela "upp" kan vi spela "vänster", med en utbetalning på 3 eller "höger", med en vinst på 2. Eftersom 3 är större än 2, visar vi fetstil 3 för att visa alternativet att spela "vänster" här. Om spelare väljer att spela "ner" kan vi spela "vänster", för en utbetalning av 2 eller "höger", för en utbetalning av 1. Eftersom 2 är större än 1, markerar vi fet 2 som indikerar alternativet att spela "vänster" här. De djärva resultaten visas nedan i hela matrisen.

Spelare ett / Spelare två	Vänster	Rätt
Upp	(1, 3)	(4, 2)
Ner	(3, 2)	(3, 1)

Steg tre: Bestäm vilka resultat som har båda utbetalningarna fet. Just det resultatet är Nash -jämvikten.
Nu kombinerar vi de djärva alternativen för båda spelarna på hela matrisen.

Spelare ett / Spelare två	Vänster	Rätt
Upp	(1, 3)	(4, 2)
Ner	(3, 2)	(3, 1)

Leta efter korsningar där båda utbetalningarna är djärva. I det här fallet finner vi skärningspunkten mellan (Ned, Vänster) med utbetalningen av (3, 2) som passar våra kriterier. Detta indikerar vår Nash -jämvikt.

Denna metod för att hitta Nash Equilibrium är väl lämpad att hitta jämvikt i spel som är samtidiga eftersom vi tittar på hur en spelare skulle reagera oberoende av hur de andra agerar. Detta scenario av ett samtidigt spel spelas ofta ut i företag som flygbolag. Nedan följer ett exempel, liknande spelet ovan, på hur flygbolagets prissättning kan se ut. Utbetalningarna är i tusentals dollar. Kom ihåg att det här är utbetalningarna, inte priserna. Metoden vi använde tidigare tillämpas redan för att visa var Nash -jämvikten dyker upp.

Flygbolag ett / Flygbolag två	Lågt pris	Högt pris
Lågt pris	(3,000, 3,000)	(4,000, 2,000)
Högt pris	(2,000, 4,000)	(3,500, 3,500)

Om vi ​​bara tittar på A1: s val kan vi se att om A2 väljer att spela lågt pris, väljer vi mellan lågt pris för 3000 eller högt pris för 2000. Vi väljer lågt, sedan 3000> 2000. Vi gör samma sak för A2 som spelar högt pris och ser att vi spelar lågt eftersom 4000> 3500. Omvänt, om vi bara tittar på A2: s val kan vi se att om A1 väljer att spela lågt pris, väljer vi mellan "lågt pris" för 3000 och "högt pris" för 2000. Sedan 3000> 2000 väljer vi alternativet lågpris här. Om A1 spelar högt pris kan vi ta ut ett lågt pris för 4000 eller högt pris för 3500. Sedan 4000> 3500 väljer vi att spela lågt pris här.

Nash -jämvikten är att båda flygbolagen tar ut ett lågt pris (visas när val för varje part markeras). Om båda flygbolagen tar ut ett högt pris skulle de båda ha det bättre än vad de är vid Nash -jämvikten.

Så varför går de inte med på att göra detta? För det första är det olagligt att kolliderar. För det andra, om detta skulle ske skulle en ensidig åtgärd för ett flygbolags räkning för att ta ut ett lågt pris vara fördelaktigt, vilket resulterar i att det flygbolaget tjänar mer pengar i sin tur. Denna logik visar också hur Nash -jämvikten nås, och varför det inte är fördelaktigt att avvika från den när den väl har nåtts.

Multipel Nash -jämvikt

I allmänhet kan det finnas mer än en jämvikt i ett spel. Detta sker dock vanligtvis i spel med mer komplexa element än två val av två spelare. I samtidiga spel som upprepas över tid, nås en av dessa multipla jämvikt efter lite försök och fel. Detta scenario med olika val över tiden innan vi når jämvikt är det som oftast spelas ut i näringslivet när två företag bestämmer priser för mycket utbytbara produkter, till exempel flygbiljetter eller mjuka drycker.

Poängen

Med dessa avancerade metoder kan fler verkliga situationer modelleras och lösas. De olika typerna av Nash Equilibria som vi diskuterade är de vanligaste lösningarna på verkliga modellerade spel. En fungerande kunskap om spelteori kan hjälpa dig att utforma en strategi, oavsett om du spelar tic-tac-toe eller tävlar om de största vinsterna.